甘肃省武威四中联片教研上学期九年级数学期末考试试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省武威四中联片教研上学期九年级数学期末考试试卷（解析版）-A4，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共30分，每小题3分，每小题四个选项中只有一个答案是正确的）
1. 下列剪纸图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2. 已知为方程的解，则a的值为（ ）
A. B. 6C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．把代入，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：把代入，得
，
∴．
故选A．
3. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可．
本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：原方程变形得：，
配方得：，
即，
故选：B．
4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数的性质结合函数图象分析即可求解．抛物线开口向下，即可判断A选项；抛物线与y轴交于正半轴，即可判断B选项；抛物线与x轴有2个交点，即可判断C选项；当时，，即可判断D选项．
【详解】A、二次函数的图象开口向下，∴，∴选项不正确；
B、二次函数的图象交y轴于正半轴，∴，∴选项不正确；
C、二次函数的图象与x轴有两个交点，∴ ，∴选项不正确；
D、当时，，∴选项正确．
故选：D．
5. 已知抛物线（a、b、c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧，下列结论中，错误的是（ ）
A. B. 方程没有实数根
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可．
本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴对称轴为直线，
∵抛物线（a、b、c为常数，）经过点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，，解得，此时无解；
当时，，解得，此时取值范围为，
∴，，
∴，
故A，C选项都正确；
∵抛物线开口向下，与x轴的一个交点坐标为，且在对称轴的右侧，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵，且当时，，
∴，
∴，
故D选项正确；
∵，
∴方程，
∵抛物线开口向下，且经过点，
∴抛物线分布在四个象限中，
∴当时，与抛物线一定有两个不同的交点，
∴方程有实数根，
故B选项错误．
故选：B．
6. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转，得到，交于点F，当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质，得，，继而得到，，结合得到，根据解答即可．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握旋转性质，三角形外角性质是解题的关键．
【详解】解：根据旋转的性质，得，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7. 如图，是的直径，弦交于点，连接，，．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识点，熟练掌握直径所对的圆周角是直角及同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，于是得解．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：．
8. 已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（ ）
A. 25B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，几何图形面积最值的计算，掌握圆内接四边形的性质，得到当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为是解题的关键．
如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，由内接四边形可得，由圆周角定理可得，则，，所以有，由题意可得当的值最大时，四边形面积有最大值，即与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，
∵的半径是5，
∴，，
∵点都在圆上，
∴四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴当的值最大时，四边形面积有最大值，
∴当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，
∴四边形面积的最大值是，
故选：D ．
9. 如图，边长为1的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．
根据正方形的性质和勾股定理得的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，即的半径为，
∴=．
故选：A．
10. 数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A. 黑色B. 红色C. 黄色D. 白色
【答案】C
【解析】
【分析】利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可．
本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，
故，，
，，
根据图象，得该球频率稳定在，
故其概率约为．
故选：C．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11. 已知是方程的根，则代数式的值为__________．
【答案】2018
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键．
由一元二次方程的根的定义可得，即，整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，即，
∴，
∴代数式的值为2018．
故答案为：2018．
12. 如果代数式与的值相等，那么_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键．根据题意得出，然后解方程求出x的值，最后代入求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
即，
解得，
∴，
故答案为：6．
13. 如图，已知矩形，，，点为边上一点，连接，以为一边在与点的同侧作正方形，连接．当点在边上运动时，的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，，设，则，，利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴当时，取得最小值为，
∴的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些性质．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
设抛物线的对称轴交于点，可求，则，而，由勾股定理得，求出，再代入抛物线解析式即可求解．
【详解】解：设抛物线的对称轴交于点，

当，则，
解得：或，
∴，
对称轴：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入，得：，
解得：，
故答案为：．
15. 点与点关于原点对称，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，是的切线，P，C，D为切点，若，则的长为_____________．
【答案】6
【解析】
【分析】此题考查切线长定理，由与相切于点C、与相切于点P，可得，同理得，再由求得结果．
【详解】解：∵与相切于点C、与相切于点P，
∴，
∵，
∴，
∵与相切于点D、与相切于点P，
∴，
∴的长为6，
故答案为：6．
17. 如图，借助圆，易画出正六边形；取每段弧的中点，得正十二边形．若，则完善后的正十二边形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质．根据六边形是的内接正六边形，可知是正三角形，根据点是弧的中点，可知且，利用三角形的面积公式可得，从而可求完善后的正十二边形的面积．
【详解】解：如下图所示，连接、、，
六边形是正六边形，
是正三角形，
，，
又点是弧的中点，
，，
，
完善后的正十二边形的面积为
故答案为： ．
18. 一个不透明的口袋中有3种颜色的小球，其中红球个，黄球个，白球个（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，若摸出白球的概率为，则的的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率、一元一次方程的解法．首先根据随机摸出一个小球，摸出白球的概率为，可知白球占总数的，所以小球的总数可以表示为，也可以表示为，从而得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可．
【详解】解：随机摸出一个小球，摸出白球的概率为，
白球占总数的，
根据题意可得：，
解方程得：，
的值为．
故答案为： ．
三、解答题（共66分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）请画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接；求出的面积；
（3）在轴上找一点，使得点到点的距离之和最小，直接写出点的坐标．
【答案】（1）画图见解析，点坐标为，点坐标为；
（2）6； （3）．
【解析】
【分析】本题考查了作图中心对称变换，求三角形面积，轴对称的性质，求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）作出各点关于原点O的对称点，顺次连接各点即可；
（2）连接，过点作轴，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，然后得到当点，P，C三点共线时，点到点的距离之和最小，然后求出直线表达式为，进而求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
点坐标为，点坐标为；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，过点作轴
∴的面积；
【小问3详解】
解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P即为所求；
∵
∴当点，P，C三点共线时，点到点的距离之和最小，即的长度
∵，
∴设直线表达式为
∴
解得
∴直线表达式为
∴当时，．
∴．
20. 解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，．
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，．
21. 某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具售价应定为多少元?
【答案】（1）
（2）2元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算．
（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售400个，3月份的销售量达到576个列出方程，解方程即可；
（2）设这种台灯每个降价y元时，根据总利润单个的利润总销量，列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：该这种台灯应降价2元．
22. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到上方，使，连接．
（1）判断的形状，并证明．
（2）作于F，求证：．
【答案】（1）是等边三角形，证明见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识．
（1）先证明是等腰三角形，再证明，即可证明是等边三角形；
（2）证明，则，由是等边三角形，则，即可证明结论成立．
【小问1详解】
解：是等边三角形，
证明：∵，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转到上方，
∴，，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
证明：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴．
23. 如图，是的直径，点D在射线上，点C是上一点，过点B作于点E，平分．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题考查的是切线的判定、勾股定理、平行线的性质和判定等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）根据题意可得，根据等腰三角形的性质和角平分线得出，证明，得出，即可证明．
（2）在中根据勾股定理求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵于点E，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
【小问2详解】
解：∵，且，，，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为12．
24. 如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）若，求的半径；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质；
（1）由垂径定理得，设，由勾股定理得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质得，即可得证；
掌握垂径定理，等腰三角形的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵是的半径，是的弦，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴．
25. 如图，是的直径，点C是右边半圆上的动点，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，过点A作的切线交的延长线于点F，与交于点E．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）当平分时，求证：；
（3）点C运动过程中，直线总经过一个定点P，若，当所对的圆心角为时，求的面积．
【答案】（1）为等边三角形，理由见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由旋转得，，即可证明；
（2）由圆周角定理以及切线的性质证明，由平分，得到，再根据外角的性质得到，那么，即可证明；
（3）延长交于点，连接，由（1）知是等边三角形，那么，则，即直线总经过一个上定点，过点作于，则，，过点作交于点，则，导角得到，过点作于点，设，在中，，，在中，，，，在中，，化简得，而，再代入求解即可．
【小问1详解】
解：为等边三角形，理由如下，
证明：由旋转得，，
∴等边三角形；
【小问2详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
小问3详解】
解：延长交于点，连接，
由（1）知是等边三角形，
∴，
∴，
即直线总经过一个上定点，
∵，
∴，
过点作于，
则，
∴，
过点作交于点，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，设，
∴在中，，
则由勾股定理得，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴
化简得：，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，涉及圆周角定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定该与性质，旋转的性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，二次根式的性质等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．
26. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班人数约为_________人．
（2）请将以上两个统计图补充完整．
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
【答案】（1）50，300
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键．
（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢舞蹈的学生所占百分比即可得；
（2）先求出喜欢篮球的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜绘画和舞蹈的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得；
（3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【小问1详解】
解：本次抽取调查学生的总人数为（人），
估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人），
故答案为：50，300．
【小问2详解】
解：喜欢篮球的学生人数人（人），
喜欢绘画的学生所占百分比为，
喜欢舞蹈的学生所占百分比为．
则补全两个统计图如下：
【小问3详解】
解：由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，
则两人恰好选择同一类的概率为，
答：两人恰好选择同一类的概率为．
27. 如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设四边形的面积为，求的最大值；
（3）如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）S的最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可；
（3）由题意得到，则，设，由，求出即可．
【小问1详解】
解：将，代入，得：
，
，
；
【小问2详解】
解：过点P作轴于点N，如图所示，

令，则，
∴，
∴，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，S有最大值，．
【小问3详解】
解：如图，

∵轴，轴，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键．