甘肃省兰州市城关区志成中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州市城关区志成中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 卡西尼卵形线B. 笛卡尔爱心曲线
C. 费马螺线D. 蝴蝶曲线
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2. 2024年5月3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极﹣艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000千米，将384000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】解：，
故选B．
3. 下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐个分析，即可作答．
【详解】解：①是分式方程，故①不是一元二次方程；
②中含有两个未知数，故②不是一元二次方程；
③符合一元二次方程的定义，故③是一元二次方程；
④，当时，方程化为，不含二次项，故④不是一元二次方程；
⑤将整理得：，不含二次项，故⑤不是一元二次方程．
综上，只有③是一元二次方程．
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂相乘和相除、幂的乘方等知识，根据相关的法则运算即可得到答案.
【详解】A. 与不能进行合并，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C
5. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，是常数，，随的增大而减小，且，则它的图象经过的象限正确的是（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的性质，先根据一次函数，是常数，，随的增大而减小可知，再由可知，据此可得出结论．
【详解】解：一次函数，是常数，，随的增大而减小，
，
，
，
一次函数，是常数，的图象经过第二、三、四象限．
故选：D．
6. 根据下列表格对应值，估计方程的一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可．
【详解】解：由表中数据得：
当时，，
当时，，
使方程成立的一个解应该在与之间，
．
故选C
7. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求的值，进而可求．
【详解】解：如图，连接，
由正方形的性质可得，，
∴，
∵ H是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
8. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案即可．
【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，
则抽到的节气在夏季的概率为，
故选：D．
9. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90场．设有个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】有x个球队参加比赛，每两队之间都进行两场比赛即每个队伍都要进行(x－1)场比赛，共进行x(x－1)场比赛，根据题意列方程即可．
【详解】由题意可得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题关键．
10. 《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为人，羊价钱，则下面所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设合伙人人数为人，羊价钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【详解】设合伙人人数为人，羊价钱，根据题意，可列方程组为：，即．
故选：B
【点睛】本题考查了实际问题抽象列出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
11. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A. 10B. 14C. 10或14D. 8或10
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
12. 如图1，在菱形中，，点E是边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，当点P从B向点D运动时，y与x的函数关系图2所示，其中H（a，b）是图象上的最低点，则点H的坐标为( )
A. （，）B. （，）C. （，）D. （，）
【答案】A
【解析】
【分析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，则求出，，最后得，
【详解】解：连接，作，垂足为，交于，
由菱形是关于对角线所在直线的对称可知：，，
，，
，，
由三角形三边关系和垂线段最短知，
，
即有最小值，
菱形中，，，
在中，，
解得，
，
在中，，
又，
，
是图象上的最低点
，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查动点及最小值问题，解题的关键是在于菱形的轴对称性质得出，然后利用三角形三边关系及垂线段最短，判断出最小值为．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 因式分解： ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后再用平方差公式进行计算即可．
详解】解：
．
故答案为：．
14. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是___．
【答案】且
【解析】
【分析】根据关于x的一元二次方程有两个实数根得到且，求解即可得到实数k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，正确计算是解题的关键．
15. 如图，在中，，于点E，若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】证明，，由，可得，结合，可得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．
16. 为增强员工身体素质，营造“健康生活、快乐工作”的氛围，某公司开展了健步走计步打卡活动．以下统计图反映的是某位员工6月1日-14日连续两个星期健步走的步数．根据统计图提供的信息，有下列三个结论：

①该员工这天健步走的步数的众数和中位数都是万步；
②该员工两个星期健步走的步数从高到低排名，月日所走步数在这天中排名第三；
③若该员工月日-7日健步走的步数的方差记作，月日日健步走的步数的方差记作，则．其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
【分析】①利用众数和中位数的定义即可求解；
②利用图中数据即可求解；
③根据折线统计图结合方差的意义即可判断．
【详解】解：①将该员工这天健步走的步数按从大到小的顺序排列为(单位：万步)：，，，，，，，，，，，，，，
在这组数据中，出现了次，次数最多，
这组数据的众数是万步；
将这组数据按照从大到小的顺序排列，其中处于中间位置的两个数分别是，，
这组数据的中位数是(万步)．
故本结论错误，不符合题意；
②该员工两个星期健步走的步数从高到低排名，月日所走步数在这天中排名第三．故本结论正确，符合题意；
③根据折线统计图可知，该员工月日日健步走的步数偏离平均值的范围较大，所以方差较大，而月日日健步走的步数相对比较集中，偏离平均值的范围较小，所以方差较小，即，故本结论正确，符合题意；
故答案：②③．
【点睛】本题考查的是折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了众数、中位数、方差．
三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据乘法的分配律和二次根式的乘法法则进行计算，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的性质与二次根式的运算法则是解题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】不等式组的解集为x≥3．
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
【详解】解：解不等式 得：x≥3，
解不等式得：x＞-2，
则不等式组的解集为x≥3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中a＝－．
【答案】,2
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，正确运用计算法则是解题的关键．
先算括号里的，再算除法，最后代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，．
20 解方程：
（1）；（公式法）
（2）．（配方法）
【答案】（1），．
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和配方法解一元二次方程成为解答本题的关键．
（1）先利用根的判别式判定根的情况，然后再运用求根公式求解即可；
（2）先移项后配方，然后再利用直接开平方法求解即可．
【小问1详解】
解：，
∵，，，
∴
∴
∴，．
【小问2详解】
解：．
．
．
∴，．
21. 如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】分析：根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．
详解：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠EAF=∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°=∠B，
在△ABM和△EFA中，
∵，
∴△ABM≌△EFA（AAS），
∴AB=EF．
点睛：本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
22. 我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生50名．将测试结果统计如下：
被抽取初三女生40秒垫球个数统计图
根据上述信息回答下列问题：
（1）求得______，______．
（2）被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是______．
（3）若我校今年参加中考的考生有500人，其中男生有300人，女生有200人，请你估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数．（男生40秒垫球45个及以上为满分，女生40秒内垫球40个及以上为满分）
【答案】（1）19；22
（2）
（3）136人
【解析】
【分析】（1）用抽取男生人数分别减去其他垫球范围的人数，即可求出的值，用频数除以频率可先求出抽取女生人数，再分别减去其他垫球范围的人数，即可求出的值；
（2）直接根据中位数的定义求解即可；
（3）用参加中考的男生人数乘以垫球个数在45个及以上的人数所占的百分比再加上用参加中考的女生人数乘以垫球个数在40个及以上的人数所占的百分比，即可求出答案．
【小问1详解】
由题意可知：
（人）
抽取女生人数为：（人），
∴（人）
故答案为：19；22．
【小问2详解】
由（1）知，共抽取初三女生有50名，最中间的数是第25、26个数的平均数，
∴被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是，
故答案为：．
【小问3详解】
由题意可知：
（人）
∴我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数为136人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图，利用统计图获取关键信息是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，BA⊥AD，点E是线段AD上的一点，连接BE．
（1）在线段BC上求作一点F，使得∠FDC＝∠ABE（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，证明：四边形BFDE为平行四边形的结论．
解：（2）证明：在平行四边形ABCD中，
∵BA⊥AD
∴
∴四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC
在ABE和CDF
∴ABE≌CDF（ASA）
∴ ，BE＝DF．
∴AD﹣AE＝CB﹣CF
∴
∴四边形BFDE为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）
【答案】（1）见解析 （2）∠ A＝90°；AB＝CD；AE＝CF；ED=BF；
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图的要求和作一个角等于已知角的步骤即可得出；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=CF，再根据等量代换得到DE=BF，才可结合ED// FB利用“一组对边平行且相等”判定平行四边形．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
证明：在平行四边形ABCD中，
∵BA⊥AD，
∴∠ A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，
在ABE和CDF
∴ABE≌CDF（ASA），
∴AE＝CF，BE＝DF，
∴AD﹣AE＝CB﹣CF
∴ED=BF，
∴四边形BFDE为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）．
故答案是：∠ A＝90°；AB＝CD；AE＝CF；ED=BF．
【点睛】本题主要考查了尺规作图－作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理以及矩形的判定定理和性质定理．熟记相关性质和判定定理是解题关键．
24. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【解析】
【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25. 阅读下列材料，完成相应任务．
材料一 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．
材料二 若，是一元二次方程的两个根，求的值．
解：，是一元二次方程的两个根，
，．
．
任务：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________．
（2）拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根．
①求m的取值范围；
②若此方程的两根分别为，，且，求m的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键．
（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
（2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
②根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，进而可得出结论．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
解：①∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得；
②∵关于x的方程的两根分别为α，β，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
由①知，
∴．
26. 如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若．
（1）求证：矩形为正方形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）由翻折得，，，则，所以，而，即可证明，而四边形是矩形，所以四边形是正方形；
（2）由翻折和正方形的性质得出，根据，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可．
【小问1详解】
证明：由翻折得，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形．
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的长是8．
【点睛】此题重点考查正方形的判定、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
27. 综合与实践
小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．

（1）【初步探究】请你探究线段之间的数量关系；
（2）【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ；
（3）【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论；
（2）证明，则，，即可得到；
（3）证明，则，，由即可得到．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
即，
故答案为：；
【小问3详解】
，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
28. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若，为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点，的“坐标直角三角形”，图1为点，的“坐标直角三角形”示意图．
如图2，点A的坐标为．
（1）若点的坐标为，求点，的“坐标直角三角形”的面积；
（2）点在轴上，若点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，直接写出直线的表达式；
（3）点在直线上，且点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）点D的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据坐标与图形，结合新定义，根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据新定义得出是斜边，且与坐标轴的夹角为，则或，进而待定系数法求解析式即可求解；
（3）由（2）可知点一定在直线或上，又点在直线上，联立解方程组即可求解．
【小问1详解】
解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴．
【小问2详解】
解：∵点的坐标为，点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，
是斜边，且与坐标轴的夹角为
∵到轴的距离为，
∴或，
设经过，的解析式为，
则，解得，
∴，
设经过，的解析式为，
则，解得：，
∴，
综上所述，直线的表达式为或．
【小问3详解】
∵点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形
∴由（2）可知点一定在直线或上，
又∵点在直线上，
∴可列方程组或，
解得或，
∴点D的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数交点问题，理解新定义，等腰三角形的性质，一次函数的性质是解题的关键．
x
0.4
05
0.6
0.7
0.8
40秒内垫球个数（x）
频数（男生）
2
10
9
10
频数（女生）
1
8
14
5