甘肃省兰州市第三十二中学上学期九年级数学期中考试试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州市第三十二中学上学期九年级数学期中考试试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）
1. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，2cm，4cm
C. 2cm，4cm，6cm，8cmD. 3cm，6cm，9cm，12cm
【答案】B
【解析】
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】解：A、由于2×3≠4×1，所以不成比例，不符合题意；
B、由于2×2=1×4，所以成比例，符合题意；
C、由于2×8≠4×6，所以不成比例，不符合题意；
D、由于3×12≠6×9，所以不成比例，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
2. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A. 频率就是概率B. 频率与试验次数无关
C. 概率是随机的，与频率无关D. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【答案】D
【解析】
【详解】因为大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，
可以用这个常数估计这个事件发生的概率,
所以D选项说法正确,
故选D．
3. 如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例求解即可．
【详解】∵AC＝3，CE＝4，
∴AE=7，
∵a∥b∥c，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例．
4. 已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A. 1 ：3B. 1：6C. 1：9D. 3：1
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：C．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
5. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ）
A. B. 2C. 2或D. 4或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得．
故选：A．
6. 已知则（ ）
A. B. C. ．D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
利用等比性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故选：B．
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 任意两个直角三角形都相似B. 任意两个矩形都相似
C. 任意两个菱形都相似D. 任意两个位似三角形一定相似
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似图形的判定和菱形、矩形、直角三角形和位似三角形的性质逐一判断即可得．
【详解】解：A．任意两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意；
B．任意两个矩形也不一定相似，此选项不符合题意；
C．任意两个菱形不一定相似，此选项不符合题意；
D．任意两个位似三角形一定相似，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的概念和菱形、矩形、直角三角形和位似三角形的性质．
8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（ ）
A. 若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B. 若AB＝BC，AC＝BD，四边形ABCD是正方形
C. 若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
D. 若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理可以推出此四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩形、菱形、正方形的判定即可判断．
【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
A．∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；
B. ∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD，
∴菱形ABCD是正方形；故该选项不符合题意；
C. ∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
D．∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形判定和性质，矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形的判定证得四边形ABCD为平行四边形是解决问题的关键．
9. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结，作的垂直平分线分别交，，于，，，连结，，则四边形是（ ）
A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】利用MN垂直平分AC得到AO=CO，∠AOM=90°，再由AD∥BC得到∠MAC=∠NCA，则可证明△AOM≌△CON，所以OM=ON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形ANCM是菱形；
【详解】证明：
∵MN垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOM=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠MAC=∠NCA，
△AOM和△CON中，
∴△AOM≌△CON，
∴OM=ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四边形ANCM是菱形；
故选A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
10. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE＝30°，则的度数为（ ）
A. 120°B. 100°C. 150°D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，根据平角定义可求出∠BED的度数，即得∠BEF的度数，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴∠AEB=60°，
由折叠的性质知：∠BEF=∠DEF=∠BED，
∵∠BED=180°∠AEB=120°，
∴∠BEF=60°，
∵BE∥C′F，
∴∠BEF+∠EFC′=180°，
∴∠EFC′=180°∠BEF=120°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记折叠的性质及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
11. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正方形二维码的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，然后进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故选C．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12. 如图，四边形是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理及正方形的性质即可得出OA的值，从而得出答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，
正方形边长为8，
点A的坐标为
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
二、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分）
13. 一元二次方程的根是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
根据两因式乘积等于0，则每个因式都可能等于0，得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【详解】解：，
或，
，．
故答案为：，．
14. 某种型号的电脑，原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售价为4860元/台，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程：_____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据降价后的价格=降价前的价格×（1平均每次降价的百分率），可列出方程为.
15. 已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55=0的根，则第三边长是______．
【答案】5
【解析】
【详解】x²−16x+55=0，(x−11)(x−5)=0，x−11=0，x−5=0，解得：=11，=5，
①当x=11时，三角形的三边是4、7、11，∵4+7=11，∴此时不符合三角形的三边关系定理，舍去；②当x=5时，三角形的三边是4、7、5，∵此时符合三角形的三边关系定理，
∴第三边长是5.故答案为5.
16. 现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，画出树状图，找出颜色恰好都发生变化的等可能情况和所有等可能情况，根据概率公式进行求解即可．
【详解】解：蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，画树状图如下：

∵颜色恰好都发生变化的是取到的情况有两种，共有12种等可能情况，
∴颜色恰好都发生变化的概率是，
故答案为：
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，找出所有等可能情况数是解题的关键．
三、解答题（本题共计12小题，共计72分）
17. 用指定方法解下列方程
（1）用公式法解方程：
（2）用配方法解方程：
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：公式法与配方法是解题的关键．
（1）根据公式法的步骤求解即可；
（2）根据配方法的步骤求解即可．
【小问1详解】
解：
，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
∴，．
18. 当m取什么值时，关于x的方程
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：△时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的情况与判别式的关系确定的取值．
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
【小问1详解】
解：，
，
．
当时，解得，
∴当时，方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：当时，解得，
∴当时，方程有两个相等的实数根；
【小问3详解】
解：当时，解得，
∴当时，方程没有实数根．
19. 已知a、b、c为△ABC的三边长，且，，求△ABC三边的长．
【答案】、、
【解析】
【分析】设，根据，求得，即可求得△ABC三边的长．
【详解】解：设，则、、
又∵
∴
解得
∴、、
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的有关性质是解题的关键．
20. 下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．
【答案】12米
【解析】
【分析】证明，利用相似三角形的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：由题意，得，
∴，
则，
即，
解得，
所以，小河的宽度为12米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
21. 中华文化源远流长，每个阶段都有独属于那个时代的文化瑰宝，让后人叹为观止，例如，汉赋、晋字、唐诗、宋词、元曲、明清小说等等，其中最为人津津乐道的莫过于唐诗，而唐诗中最“狂”、最浪漫的莫过于盛唐诗．某学校为了让学生了解盛唐气象，感受盛唐诗的雄浑豪放，举行了“走近盛唐诗人，品味盛唐诗歌”的系列活动．活动中，学校提供了四位盛唐代表诗人：A．王维、B．孟浩然、C．岑参、D．李白，让学生们随机选择一位诗人学习其作品并分享自己的学习收获和感悟．
（1）若小华从四位诗人中随机选择一位诗人，选到“D．李白”的概率是______；
（2）若小智先随机选择一位诗人，小刚再在剩余三位诗人中也随机选择一位，请通过列表法或画树状图法求两位同学选到“A．王维”“B．孟浩然”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查画树状图求概率．
（1）根据题意，直接列举出所有情况，再找出符合题意的情况即可；
（2）先画树状图，再求出一共的情况，最后找出符合题意的情况即可．
【小问1详解】
解：小华从四位诗人中随机选择一位诗人，一共有4种选法，其中选到“D．李白”有1种选法，故其概率为；
【小问2详解】
小智先随机选择一位诗人，小刚再在剩余三位诗人中也随机选择一位，其树状图如下：
、
共12种情况，其中两位同学选到“A．王维”“B．孟浩然”的有2种，
故其概率为．
22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、B的对应点、的坐标．
（2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．
【答案】（1），，作图见解析
（2）能，点M，作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据平移变换的性质画出图形，再根据位似中心的性质可得答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所作图形；
其中，，；
【小问2详解】
如图所示，与是关于点M为位似中心的位似图形．
【点睛】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
23. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长32米、宽20米的长方形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，小道以外的区域用于种植有关植物，要使种植总面积为570平方米，则小道的宽为多少米？
【答案】1米
【解析】
【分析】设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（32﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（32﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，由题意，得：
（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
解得：x1＝1，x2＝35（不合题意），
答：小道的宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24. 如图，在正三角形中，，分别在，上，且，．
求证：
（1）；
（2）若，试求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）的长度为
【解析】
【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解，
（2）根据相似三角形的性质，得到，即可求解，
本题考查了，相似三角形判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【小问1详解】
证明：，
，
是正三角形，
，
，
，
，
，
∴，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：的长度为．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）如果∠B=60°，BC=2，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）直接利用平行四边形的判定方法得出四边形AECD是平行四边形，再利用直角三角形的性质得出CD=AD，即可得出四边形AECD是菱形；
（2）利用菱形的性质和平行四边形的性质得出AC，ED的长，进而得出菱形面积．
【详解】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：连接DE．
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°
∴AB=4，AC=2，
∵四边形AECD是菱形，
∴EC=AD=DB，
又∵EC∥DB
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴ED=CB=2，
∴S菱形AECD=×AC×ED=2．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质以及直角三角形的性质，正确利用菱形的性质是解题关键．
26. 如图，中，对角线、交于点，在上截取．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求证：平分．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，进而证明，由此即可证明四边形是矩形；
（2）先证明四边形是正方形，得到，即可证明四边形是菱形，则由菱形的性质可得平分．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，；
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
证明：∵四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键．
27. 如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒．
（1）根据题意知： （用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，的面积等于面积的？
（3）当运动几秒时，与相似？
【答案】（1）
（2）或秒
（3）或秒
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论．
（1）结合题意，直接得出答案即可；
（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若，②若，然后列方程求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：经过t秒后，；
【小问2详解】
解：根据题意得：经过t秒后，，则；
当的面积等于面积的时，
即，
解得；或；
答：经过或秒后，的面积等于面积的；
【小问3详解】
解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若则，即，解得；
②若则，即，解得；
由P点在BC边上的运动速度为，Q点在边上的速度为，可求出t的取值范围应该为，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．
答：当运动的时间为或秒时，与相似．
28. 材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．

初步感知：
（1）如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______；
（2）如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：
（3）已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立．
【答案】（1），
（2）；；
（3）存在t为4或，使等式成立
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键．
（1）根据材料阅读，即可求解；
（2）根据材料阅读，可表示和，即可求解；
（3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
∵，
∴，
故答案为：，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当点Q到达点A之前时，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q到达点A返回时，此时，
∴
∵，
∴，
∵
∴
∴
题目
测量小河的宽度（的长）
测量目标示意图

相关数据
，，