甘肃省兰州十一中八年级上学期期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州十一中八年级上学期期中数学试卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：120分；考试时间：120分钟
出题人：孙芳娟 审题人：吴晓英
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 在数，，，，，5中，无理数的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：，
所以无理数有：，，共2个．
故选：B
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 是9的平方根B. 负数没有平方根
C. 25的平方根为D. 的平方根为
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根，平方根的概念，解题的关键是熟练掌握算术平方根，平方根的概念．
根据算术平方根，平方根的概念求解即可．
【详解】解：A．是9的平方根，正确，不符合题意；
B．负数没有平方根，正确，不符合题意；
C．25的平方根为，正确，不符合题意；
D．的平方根为，故选项错误，符合题意．
故选：D．
3. 已知中，、、分别是、、的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
【详解】解：A、，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
B、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、，，
，
为直角三角形，故此选项不符合题意；
、，，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
4. 下列选项中，是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数定义，根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案．
【详解】解：对于选项A，给定一个值，都只有唯一的与之对应，故能表示是的函数．
对于选项B、C、D，给定的的值，会出现多个的值与之对应，故不能表示是的函数．
故选A．
5. 如图，一艘船在处遇险后向相距50海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（ ）
A. 南偏西，50海里B. 南偏西，50海里
C. 北偏东，50海里D. 北偏东，50海里
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键．
直接根据题意得出的长以及的度数，进而得出答案．
详解】解：由题意可得：，海里，
故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西，50海里，
故选：B．
6. 平面直角坐标系内有一点，点到轴的距离是2，到轴距离是4，且点在第四象限内，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征．熟练掌握点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征是解题的关键．
由A到x轴的距离是2，到y轴距离是4，可得，，由A点在第四象限内，可得，，然后作答即可．
【详解】解：∵A到x轴的距离是2，到y轴距离是4，
∴，，
∵A点在第四象限内，
∴，，
∴点A的坐标是，
故选：A．
7. 若与最简二次根式可以合并，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握最简二次根式的性质和同类二次根式的定义．把化简为最简二次根式，根据同类二次根式的定义，求出即可．
【详解】解：∵，
又∵与最简二次根式可以合并，
∴，
解得：．
故选：B．
8. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用勾股定理得出正方形对角线长，再利用数轴性质得出点表示的数．
【详解】解：∵以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，
，
∵以表示数的点为圆心，
∴点表示的数是：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴．正确掌握实数与数轴的关系是解题关键．
9. 长征是中国共产党和中国革命从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为，表示遵义会议的点的坐标为，那么表示会宁会师的点的坐标为（ ）
A. 2,0B. 2,1C. 0,2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
根据已知点的坐标建立平面直角坐标，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如下（每个方格的长度即为单位长度1）
∴表示会宁会师的点的坐标为0,2．
故选：C．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A. 4B. 4πC. 8πD. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝
＝
＝4，
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
11. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）
A. 4米B. 4.5米C. 5米D. 5.5米
【答案】B
【解析】
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG=4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
【详解】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，
∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COG=∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG=AF=BD=4米，
设AO=x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，
解得x=8.5．
则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．
故选：B．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
12. 如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（ ）
A. B. 2C. 2或D. 2或
【答案】D
【解析】
分析】本题主要考查了勾股定理，过点作，利用勾股定理先求出，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：过点作，
点到的距离为，
，
，
根据勾股定理，得，
当时，如图所示：
此时点与点重合，则
根据题意，得，
解得；
当时，如图所示：
，，，，
，
根据勾股定理，得，，
，
解得；
综上所述，当为直角三角形时，t的值为或，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为，在弹性限度内，每挂重物体，弹簧伸长，则挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数表达式是______.
【答案】
【解析】
【分析】弹簧总长=挂上的重物时弹簧伸长的长度+弹簧原来的长度，把相关数值代入即可.本题考查了根据实际问题列一次函数关系式；得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
【详解】解：∵每挂重物弹簧伸长，
∴挂上的物体后，弹簧伸长，
∴弹簧总长．
故答案为：．
14. 若点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab＝_____．
【答案】9
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化，横坐标不变，纵坐标互为相反数求a,b的值，从而求解.
【详解】解：∵点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）2＝9．
故答案为9．
【点睛】熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律是本题的解题关键.点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为（a,-b）,关于y轴对称的点的坐标为（-a,b）,关于原点对称的点的坐标为(-a,-b).
15. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为________．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，由轴对称的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元一次方程即可求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，
由折叠可得，，
设，则，
在中，由勾股定理可得：
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键．
16. 已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，由数轴可得，，即可得，，，再根据二次根式的性质化简即可求解，由数轴确定的符号是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，，
∴，，，
∴原式，
故答案为：．
三、解答题（共72小题）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键．结合二次根式的混合运算法则，先根据乘法运算律进行计算，再进行乘法运算，然后进行加减计算即可得解．
【详解】解：
．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据乘方的定义、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
．
19. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组求出，进而求出，再代入求值即可．
【详解】解：由题意可得：且，
，
则，
．
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握立方根和平方根定义，是解题的关键．
（1）先方程两边同乘以9，然后再开平方即可；
（2）先移项，然后方程两边同除以8，再开立方即可．
【小问1详解】
解：，
方程两边同乘以9得：，
开平方得：，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
移项得：，
方程两边同除以8得：，
开立方得：，
解得：．
21. 已知的算术平方根为3，的立方根为4．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由算术平方根的定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值；
（2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案．
【小问1详解】
解：的算术平方根为3，
，
解得，
的立方根为4，
，
，
解得，
，．
【小问2详解】
解：，，
，
的平方根是．
22. 数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，．
（1）请你判断的形状，并说明理由：
（2）求三角形腰的长度．
【答案】（1）为直角三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理；
（1）依据勾股定理的逆定理，即可得到，即可得到；
（2）设腰长，则，由（1）可知，解方程，即可得到腰长．
【小问1详解】
解：为直角三角形，理由如下：
，，，
，，
∴，
根据勾股定理逆定理可知，为直角三角形；
【小问2详解】
设腰长为，则，
由（1）可知，
∴由勾股定理可知，，
即：，
解得，
腰AB长为．
23. 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是，将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分，根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是______ ，小数部分是______ ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
【答案】（1）4，；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、估算无理数的大小，根据算术平方根的定义进行无理数的估算是解题的关键．
（1）推导求出的整数部分和小数部分；
（2）先求出、，再根据算术平方根计算，得到答案．
【小问1详解】
，
∴，
的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
【小问2详解】
，
∴，
，即，
的整数部分是，小数部分，
，
∴，
，
，即，
的整数部分，
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）请画出关于轴的对称图形；
（2）若与关于轴对称，请直接写出，，三点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）图见解析
（2），，
（3）
【解析】
【分析】（1）按照画轴对称图形的方法画出关于轴的对称图形即可；
（2）根据轴对称的性质写出，，三点的坐标即可；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作；
【小问2详解】
解：与关于轴对称，，，，
，，；
【小问3详解】
解：的面积．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
25. 风筝是由中国古代劳动人民发明于春秋时期，至今已有2000多年的历史，北宋张择端的《清明上河图》，苏汉臣的《百子图》里都有放风筝的生动景象．某校八年级五班的实践探究小组的同学学习了“勾股定理”之后，在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度CE（如图，线段AE表示水平地面），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②已经放出的风筝线的长为39米（其中风筝本身的长宽忽略不计）；③牵线放风筝的小辉同学的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降到距地面21.7米，则小辉同学应该往回收线多少米？
【答案】（1）37.7米
（2）14米
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，
（1）根据勾股定理求出，进而求解即可；
（2）首先求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【小问1详解】
由题意，得，，．
在中，由勾股定理，得．
（米）．
答：风筝的高度为37.7米．
【小问2详解】
如图，由题意，得．
．
在中，由勾股定理，得
．
（米）．
答：小辉同学应该往回收线14米．
26. 已知点，解答下列各题．
（1）点在轴上，求出点的坐标：
（2）点的坐标为，直线轴；求出点的坐标；
（3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，代数式求值等知识点，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）由轴上的点的坐标特征可知点的纵坐标为，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后代入即可求出点的横坐标，于是得解；
（2）由直线轴可知点、的横坐标相等，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后代入即可求出点的纵坐标，于是得解；
（3）由“点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等”可知点的横纵坐标之和为，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后代入求值即可．
【小问1详解】
解：点在轴上，
点的纵坐标为，
，
解得：，
，
；
【小问2详解】
解：直线轴，
点、的横坐标相等，
，
解得：，
，
；
【小问3详解】
解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，
解得：，
．
27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．
（1）点的“长距”为______；
（2）若点是“完美点”，求的值；
（3）若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”．
【答案】（1）2 （2）或
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得点到轴的距离为2，到轴的距离为1，
∴点A的“长距”为2．
故答案为：2；
【小问2详解】
解：∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得或；
【小问3详解】
解：∵点的长距为4，且点C 在第四象限内，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为，
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点D是“完美点”．
28. 综合与实践
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理．
（2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；
（3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离．
（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）千米
（4）
【解析】
【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案；
（2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离；
（3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离；
（4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：依题意得：，，，，
，
，
四边形为直角梯形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理，得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，连接，过点作于点，

，，
四边形是矩形，
千米，千米，
千米，
千米，
两个村庄的距离为千米，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由题意可知，点在的垂直平分线上，
如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，
设千米，则千米，
在中，根据勾股定理可得：
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
解得：，
即：千米；
【小问4详解】
解：如图，，
先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，
设，
则就是代数式的最小值，
代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点，
由轴对称的性质可得：，
，，，
四边形是矩形，
，，
从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值，
代数式的最小值为：
．