甘肃省兰州市榆中县2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州市榆中县2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了求 AD 的长度等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷满分120分，考试用时120分钟．
2．答题全部在“答题卡”上完成，试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A. 6，8，10B. 13，12，5C. 12，16，18D. 15，8，17
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，本组数是勾股数，不符合题意；
B、，本组数是勾股数，不符合题意；
C、，本组数不是勾股数，符合题意；
D、，本组数是勾股数，不符合题意，
故选：C．
2. 已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可．
【详解】解：，
三角形的形状是直角三角形，
故选：B．
3. 已知a＞0，b＜0，那么点P(a，b)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据a＞0，b＜0和第四象限内的坐标符号特点可确定p在第四象限．
【详解】解： ∵a＞0，b＜0，
∴点P（a，b）在第四象限，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，解答本题的关键是掌握好四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于对称轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】点关于x轴的对称点的坐标为．
故选：A．
5. 下列运算中错误有（ ）个
① ② ③ ④ ⑤±
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根、立方根及算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解：①，正确；
②，错误；
③该等式无意义，错误；
④，正确；
⑤，错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，解题注意平方根和算术平方根的区别：一个非负数的平方根有两个，算术平方根有一个，是非负数．
6. 若的小数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A. 0B. 1C. -1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解．
【详解】解：，
，
．，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
7. 如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母所代表的正方形的边长为（ ）
A. 64B. 16C. 8D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据面积求得两个较大正方形的边长，再根据勾股定理，求解即可．
【详解】解：两个较大正方形的面积分别为225、289，则它们的边长分别为，，
由勾股定理可得：字母A所代表的正方形的边长为，
故选：C．
8. 下列根式中能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式的定义．根据题意，能够与合并即与为同类二次根式，逐项判断即可．
【详解】解：A.能与合并，此项符合题意；
B.不能与合并，此项不符合题意；
C.不能与合并，此项不符合题意；
D.不能与合并，此项不符合题意．
故选：A．
9. 一次函数的图象情况如图所示，则关于k，b的分析正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据一次函数的图象判断的符号，根据直线经过的象限，进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：直线经过一、二、三象限，
∴，；
故选A．
10. 下列语句：①－1是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③－1的立方根是－1．④的立方根是2．⑤(－2)2的算术平方根是2．⑥－125的立方根是±5．⑦有理数和数轴上的点一一对应．其中正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的意义求出±（a≥0），即可判断①，根据无理数的意义即可判断②；根据立方根的意义求出，即可判断③④⑥，根据算术平方根求出（a≥0），即可判断⑤；根据实数和数轴上的点能建立一一对应关系，即可判断⑦．
【详解】解：1的平方根是±1，①正确；
如=2，但是有理数，②错误；
-1的立方根是-1，③正确；
=2，2的立方根是，④错误；
（-2）2=4，4的算术平方根是=2，⑤正确；
-125的立方根是-5，⑥错误；
实数和数轴上的点一一对应，⑦错误；
∴正确的有3个．
故选：B．
11. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时， ；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解．
【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，；
当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且
∴，
∴筷子露在外面的部分的长度为，
∴的取值范围为：，
故选：B ．
12. 如果有意义，那么代数式的值为（ ）
A. B. 8C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简绝对值和二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴；
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，利用面积法求直角三角形的高等知识，熟练掌握勾股定理和利用面积法求直角三角形的高是解答本题的关键，首先利用勾股定理求出斜边的长，再利用面积法可求出斜边上的高．
【详解】设斜边长为c，高为h，
由勾股定理可得 ，
，
，
直角三角形的面积，
，
故答案为：．
14. 已知一个正数的平方根是和，则这个正数是________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了平方根，根据“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”列方程求出方程的解得到x的值，即可得到这个正数．熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得，
，，
∴这个正数是．
故答案为：16
15. 若，则的值是________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以得到，再根据分母不能为0确定出x的值，从而得到y的值，代入即可.本题主要考查了二次根式的非负性及分式有意义的条件当时由意义，分式的分母不为0时分式有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解： ，且，
，且，
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：4
16. 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是_______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可．
【详解】解：
∴
，
故答案为：0．
三、解答题（共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式分别化简各二次根式，然后再合并即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，正确化简各式是解答本题的关键．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
按照二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
19. 已知：如图，在 △ABC 中，∠C=90°，D 是 BC 的中点，AB=10，AC=6．求 AD 的长度．
【答案】
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得BC的长，再由D 是BC 的中点，求得DC的长，最后在Rt△ADC中，再由勾股定理求得的长即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得： ．
∵D是BC 的中点，
∴．
在Rt△ADC中，∠C=90°，再由勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键．
20. 将下列各数填入相应的集合内．在，，0，，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了实数分类，零指数幂，开平方，开立方，解题的关键是掌握实数的范围以及分类方法．先利用零指数幂、开平方、开立方运算法则化简各项，再根据实数的分类，进行解答即可．
【详解】解：，，，
有理数集合：{，，0，，，}；
无理数集合：{ ，， ，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）…}；
负实数集合：{ ，…}．
21. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，，分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度（结果保留根号）．
【答案】小虫爬行最短路线的长度为
【解析】
【分析】本题考查圆柱侧面展开图，勾股定理，以及两点之间线段最短，掌握圆柱体的侧面张开图是长方形，并且理解两点之间线段最短这一基本事实是本道题解题的关键．沿将圆柱的侧面展开如下图，连接，由两点之间线段最短可知小虫爬行的最短路线是，利用圆的周长公式和勾股定理求出，即可解题．
【详解】解：沿将圆柱的侧面展开如下图，连接，一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，由两点之间线段最短可知小虫爬行的最短路线是，
圆柱体底面圆的半径为，
，
圆柱高为2，
，
答：小虫爬行的最短路线的长度为．
22. 已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，CD＝12，DA＝9
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）AC＝15；（2）四边形ABCD的面积为114 ．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理可求AC的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可判断∠D＝90°，四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ADC的面积．
【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°
∴AC2＝AB2－BC2＝172－82＝225
∴AC＝15
（2） ∵AD2＋CD2＝92＋122＝225＝AC2
∴∠D＝90°
∴S四边形ABCD＝ S△ABC＋ S△ACD＝ 8×15÷2＋12×9÷2＝114
23. △ABC在直角坐标系内的位置如图所示．
（1）在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）图形见解析；（2）5
【解析】
【分析】（1）根据平面直角坐标系的对称性，可知关于x轴对称的点的坐标：横坐标变为相反数，纵坐标不变，求出对称点坐标，画图即可.
（2）在方格中，根据分割组合的方法，用长方形的面积减去三个小三角形的面积，求解△ABC的面积即可
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）△ABC的面积为：4×3﹣×1×4﹣×3×2﹣×2×2=5．
24. 一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．
（1）请求出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的关系式；
（2）该蚊香可点燃多长时间？
【答案】（1）y=105−10t(0⩽t⩽10.5)；（2）该蚊香可点燃10.5小时.
【解析】
【分析】（1）根据蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度用t表示出y即可；
（2）当蚊香的长度y为0时，即蚊香燃尽的时候求出相应的时间即可．
【详解】(1)∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴y=105−10t(0⩽t⩽10.5)；
(2)∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y=0，
∴105−10t=0，
解得：t=10.5，
∴该蚊香可点燃10.5小时.
【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系列出方程.
25. 如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOD的面积．
【答案】（1）y=x+1；（2）C（0，1）；（3）1
【解析】
【详解】试题分析：（1）首先根据正比例函数解析式求得m的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的解析式，令x=0求得点C的坐标；
（3）根据（1）中的解析式，令y=0求得点D的坐标，从而求得三角形的面积．
试题解析：
（1）∵正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），
∴2m=2，
m=1．
把（1，2）和（-2，-1）代入y=kx+b，得

解得：

则一次函数解析式是y=x+1；
（2）令x=0，则y=1，即点C（0，1）；
（3）令y=0，则x=-1．
则△AOD的面积=.
【点睛】运用了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法．
26. 先阅读理解，再解答问题．
因为，所以；
因为，
所以；
因为，所以．
依次类推．
（1）你会发现什么规律？用字母n（正整数）来表示．
（2）请用你发现的规律计算式子的值．
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案．
本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．
【小问1详解】
解：当n是正整数时， ；
【小问2详解】
解：
．
27. 小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）小敏去超市途中的速度是多少，在超市逗留了多少时间；
（2）小敏几点几分返回到家．

【答案】（1）300米/分， 30分；（2）8：55．
【解析】
【分析】（1）根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段；
（2）求出返回家时的函数解析式，当y=0时，求出x的值，即可解答．
【详解】解：（1）速度为：3000÷10=300（米/分）
逗留的时间为：40－10=30（分钟）
（2）设返回家时，y与x的函数解析式为y=kx+b，把（40,3000），（45,2000）代入得：
解得：
∴函数解析式为：y=－200x+11000
当y=0时，x=55
∴返回到家的时间为8：55．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获取信息是解题关键．
28. 综合与实践
【思考尝试】
先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②；
③．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
【实践探究】
（2）请你按照上面各等式反映规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）；
【拓展延伸】
（3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算．
【答案】（1），验证见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键．
（1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案；
（2）利用根据前面等式的规律求解；
（3）先代入得，根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案．
【详解】（1）解：猜想：；
验证：，
∴猜想正确．
（2）解：第n个式子为：；
（3）解：
．