甘肃省兰州市城关区上学期八年级期末数学试卷　（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州市城关区上学期八年级期末数学试卷　（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. 4，6，8C. ，，D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，，不是正整数，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
3. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等B. 两直线平行，同位角相等
C. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等D. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了逆命题的真假性，正确掌握逆命题的真假性是解题的关键．
写出各个选项的逆命题，再判断真假．
【详解】解：A、原命题的逆命题是：如果三角形的三个角对应相等，则这两个三角形是全等三角形，是假命题，不合题意；
B、原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
C、原命题的逆命题是：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题，不合题意；
D、原命题的逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角，是假命题，不合题意．
故选B．
4. 一次数学课后，李老师布置了6道选择题作为课后作业，课代表小丽统计了本班35名同学的答题情况，结果如右图所示，则在全班同学答对的题目数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A. 5，6B. 6，5C. 6，5.5D. 6，6
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义从图中可得．
【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；
把35名同学的答对的题目数从小到大排列，排在最中间的数是5，故这组数据的中位数是5；
故选：B．
点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．解题的关键是准确认识条形图．
5. 下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的概念，函数的图象，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意；
故选：D．
6. 已知点和关于轴对称，则的值为（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，已知字母的值求代数式的值，关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标化为相反数，据此求出，代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，解得：，
∴，
故选：B．
7. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象不经过第二象限
B. 图象与轴的交点是
C. 将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为
D. 点和在一次函数的图象上，若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐项判断即可解求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不合题意；
、把代入得，，
∴，
∴一次函数图象与轴的交点坐标为，该选项错误，不合题意；
、将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为，该选项正确，符合题意；
、∵，
∴随的增大而减小，
若，则，该选项错误，不合题意；
故选：．
8. 勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 34
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的背景图，解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，据此即可求解．
【详解】解：如图，令直角三角形的三边长分别为，
∴，
∴正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积，
∴正方形B的面积是，
∴正方形B的边长是2，
故选：C ．
9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确．
【详解】解：∵，
∴一次函数过点，故B、C、D不合题意，
A、由一次函数的图象可得即，而正比例函数图象可得，符合题意．
故选：A．
10. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（占时1斤等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11. 如右图，三角形纸片ABC中，∠A=75º，∠B=60º，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35º，则∠β等于 （ ）
A. 48ºB. 65ºC. 55ºD. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，整理可得∠β=55°．故选C．
考点：翻折变换（折叠问题）．
12. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 客人距离厨房门口；B. 慧慧比聪聪晚出发；
C. 聪聪的速度为；D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为；
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解．
【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，
∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，
设的解析式为，图象经过点，
∴，
解得，，
∴的解析式为，
由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为，
∴A、客人距离厨房门口，正确，不符合题意；
B、慧慧比聪聪晚出发，正确，不符合题意；
C、∵，
∴聪聪的速度为，正确，不符合题意；
D、当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，
∴当时，，
当时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，
当时，，
∴，
当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到，
∵,
∴D选项不正确，符合题意 ；
故选：D ．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 若x是的算术平方根，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】先化简，再求解9算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴x是9的算术平方根，
∴，
故答案为：3
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键．
14. 函数的自变量x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，可知：，解得x的范围．
【详解】解：根据题意，则，
解得：，
∴自变量x的取值范围是的一切实数；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15. 已知单项式和是同类项，则_____，_____．
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了同类项的定义，解一元一次方程，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵单项式和是同类项，
∴，
∴，，
故答案为：；；
16. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答．
【详解】解：把代入得：，
∴，
∵点P为一次函数与的图象交点，
∴方程组的解是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解．
三、解答题（12小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合计算：
（1）先计算乘方，算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案；
（2）根据乘法公式先去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
解：
整理得：，
得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴原方程组的解为．
19. 已知的立方根是2，的算术平方根是3，的小数部分为c．
（1）分别求出a、b、c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根，无理数的估算求解，即可得到答案；
（2）将a、b、c的值丢计算出，即可求解．
【小问1详解】
解：∵的立方根是2，
,
，
的算术平方根是3，
，
，
的小数部分为c，且，
；
【小问2详解】
解：
，
的平方根为．
【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、无理数的估算，平方根、完全平方公式代数式求值，熟练掌握相关计算方法是解题关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求出的面积；
（2）画出关于轴的对称图形；
（3）在轴上找一点，使点到、两点的距离之和最小（保留作图痕迹）．
【答案】（1）
（2）画图见解析 （3）作图见解析
【解析】
【分析】（）根据三角形的面积公式计算即可；
（）根据轴对称的性质作图即可；
（）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，由轴对称可得，即得到，根据两点之间线段最短，可知此时点到、两点的距离之和最小，故点即为所求；
本题考查了利用网格求三角形的面积，作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，点即为所求．
21. 如图，在，分别是的平分线，分别是的平分线．证明：当的大小变化时，的值不变．请将以下证明过程补充完整．
∵是角平分线，
∴（依据：角平分线的定义），
∴（依据： ），
，
∵，
分别是角平分线，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∴（写具体度数），
∴当大小变化时，的值不发生变化．
【答案】；三角形内角和定理；；；；
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，根据角平分线的定义和三角形内角和定理分别用和的度数表示出和的度数，进而求出的结果即可证明结论．
【详解】证明：∵是角平分线，
∴（依据：角平分线的定义），
∴（依据：三角形内角和定理），
，
∵，
分别是的角平分线，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴当大小变化时，的值不发生变化．
22. 如图，一次函数y＝2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求当x＝－2时，y的值，当y＝10时，x的值；
(3)过点B作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．
【答案】（1）A， B(0，3)；（2）y＝－1,x＝；（3）,.
【解析】
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标；
（2）把x＝－2代入解析式即可求出y的值,把 y＝10代入解析式即可求出x的值;
（3）为两种情况：①当P在x轴的负半轴上时，②当P在x轴的正半轴上时，求出AP和OB，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】(1)当y＝0时，2x＋3＝0，
得x＝－32，则A.
当x＝0时，y＝3，则B(0，3)．
(2)当x＝－2时，y＝－1；
当y＝10时，x＝.
(3)OP＝2OA，A，则点P的位置有两种情况，点P在x轴的正半轴上或点P在x轴的负半轴上．
当点P在x轴负半轴上时，P(－3，0)，
则△ABP的面积为××3＝；
当点P在x轴的正半轴上时，P(3，0)，
则△ABP的面积为×3×＝.
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点的应用，关键是能求出符合条件的两种情况．
23. 如图，，，，求证：.

【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】先由已知证明AD∥EF，得到∠2＝∠CAD，再证明AC∥DG，得到∠1＝∠CAD，等量代换得出∠1＝∠2．
【详解】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠2＝∠CAD，
又∵∠3＝∠C，
∴AC∥DG，
∴∠1＝∠CAD，
∴∠1＝∠2．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及判定．熟知：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等是解题关键．
24. 小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键．
设的长为，由建立方程即可求解．
【详解】解∶设的长为，则，
，
，
，，
中，，即，
解得，
答∶ 的长为．
25. “一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．

（1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？
（2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元
（2）购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元
【解析】
【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键．
（1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个，根据“总利润甲种型号头盔的总利润乙种型号头盔的总利润”，写出与的函数关系式，根据随的增减性和的取值范围，确定当取何值时最大，求出的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可．
【小问1详解】
解：设甲种型号头盔的进货单价是元，乙种型号头盔的进货单价是元．
根据题意，得，
解得，
甲、乙两种型号头盔进货单价分别是45元和60元．
【小问2详解】
解：设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个．
根据题意，得，
，
随的增大而增大，
，
当时，取最大值，，此时（个，
购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元．
26. 探究活动：探究函数的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．
（1）下表是与的几组对应值．
直接写出的值是_________；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点，然后画出该函数的图象：
（3）观察图象，写出函数的一条性质：___________．
【答案】（1）2 （2）见详解
（3）的图象关于y轴对称
【解析】
【分析】（1）根据负数的绝对值是其相反，即可求解；
（2）根据所描的点依次连接即可；
（3）根据函数图象的对称性即可作答．
【小问1详解】
当x=-2时，有，
即m的值为2；
【小问2详解】
点(-22)如图A点所示，
函数图象如图折线AO-OB所示；
【小问3详解】
由图以及（1）中表格x和y的值，可知：的图象关于y轴对称，
故答案为：的图象关于y轴对称．
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，根据图表数据画出函数图象是解答本题的关键．
27. 某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）____________；
（2）求丙同学的面试成绩；
（3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是______（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】（1）9，8 （2）丙同学的面试成绩为83分
（3）乙 （4）乙
【解析】
【分析】本题考查折线统计图，中位数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
(1）根据中位数的定义可得m的值， 根据众数的定义可得 n的值；
(2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分；
(3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可；
（4）根据加权平均数公式计算即可得出结论．
【小问1详解】
解∶由折线统计图得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6，
把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数，
乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8，
其中8出现次数最多，故众数．
故答案为：9，8；
【小问2详解】
解∶ 丙同学的面试成绩（分），
答∶丙同学的面试成绩为83分；
【小问3详解】
解∶乙的平均得分为（分），
乙的方差为，，可知，乙的得分的波动比甲和丙小，
所以甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致，
故答案为∶乙．
【小问4详解】
解∶ 甲的综合成绩为∶ (分)，
乙的综合成绩为∶ (分)，
丙的综合成绩为∶ (分)，
．
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为∶乙．
28. 【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”．
下面是小华的深究过程：
①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
（1）当时，的最小值为 ；
（2）当时，的最小值为 ；
（3）当时，求的最小值．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质：
（1）直接由题中规律即可完成；
（2）当时，，则可由题中规律完成；
（3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即x=1时取得最小值2.
故答案为：2；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即时取得最小值.
故答案为：；
【小问3详解】
解：
，
∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即时取得最小值26.
∴，
∴，
∴的最小值为．
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
3
1
0
1
2
3
…
同学
评委打分的中位数
评委打分的众数
面试成绩
方差
甲
m
9和10
85
1.85
乙
8.5
8
87
丙
8
n
p
2.01