四川省凉山州民族中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求.
1. 在空间直角坐标系 ，点 关于 平面的对称点 B 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点关于平面对称点的知识确定正确答案.
【详解】点 关于 平面的对称点是 ，
所以点 关于 平面的对称点 B 的坐标为 .
故选：C
2. 某小组有 名男生和 2 名女生，从中任选 名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不
对立的是（ ）
A. 至少有 名女生 B. 至少两名男生
C. 至多一名女生 D. 全是男生
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥与对立事件 概念直接判断即可.
【详解】A 选项：事件“至少有 名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A
选项错误；
B 选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B 选项错误；
C 选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”，与事件“至多一名男生”为对立事件，
，C 选项错误；
D 选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念，
又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D 选项正确；
故选：D.
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3. 已知点 ， ，若直线 AB 的斜率为 2，则 （ ）
A. 7 B. 3 C. 1 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由斜率的定义式计算即可.
【详解】因为点 ， ，
所以直线 AB 的斜率为 ．
由题意得 ，解得 .
故选：D．
4. 直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，以线段 为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，进而求出圆的方程.
【详解】依题意，点 ，线段 中点为 ，且 ，
所以以线段 为直径的圆的方程为 ，即 .
故选：A
5. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将原方程化为椭圆的标准形式后，根据焦点在 轴上计算即可.
【详解】将 化为 ，
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方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
则有 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D.
6. 已知 分别为双曲线 的左､右焦点，点 是双曲线 上的一点，且
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义结合 ，求得 ，再在 中，利用勾股定理求得
之间的关系，从而得解.
【详解】因为在双曲线 中，因为 ，所以 ，
则 ，
在 中， ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
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故选：D
7. 设 A，B 是两个随机事件，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 A，B 是互斥事件，则
B. 若 ，则
C. 若 A，B 相互独立事件，则
D. 若 ，则 A，B 是相互独立事件
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥事件、事件的包含关系、相互独立事件的概念及概率公式逐一分析即可.
【详解】若 A，B 是互斥事件，则 A，B 不可能同时发生，即 ，故 A 错误；
若 ，则 ，所以 ，故 B 错误；
若 A，B 是相互独立事件，则 ，所以
，故 C 正确；
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即
，所以 A，B 不是相互独立事件，故 D 错误.
故选：C.
8. 已知 、 、 三点不共线，点 在平面 外，点 满足 ，则当点 、
、 、 四点共面时，实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，利用空间向量的基本定理可求出 的值.
【详解】因为 、 、 三点不共线，点 在平面 外，点 满足 ，
设 ，
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由题意可知 、 、 不共面，所以 ，故 .
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若两个非零向量 的夹角 是钝角，则
C. 已知 ，平面 的法向量为 ，则
D. 已知向量组 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用共面向量定义判断 A；利用数量积定义判断 B；利用空间位置关系 向量证明判断 C；利用空
间基底的意义判断 D.
【详解】对于 A，由空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，
A 正确；
对于 B，由非零向量 的夹角 是钝角，得 ，B 正确；
对于 C，由 ，得 ，则 或 ，C 错误；
对于 D，由 是空间的一个基底，得 不共面，假定向量 共面，
则存在实数对 使得 ，整理得 ，
于是 ，方程组无解，即假设错误，因此 也是空间的一个基底，D 正确.
故选：ABD
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10. 已知椭圆 ，则（ ）
A. M 与 N 离心率相等
B. M 与 N 的焦距相等
C. M 与 N 的长轴长不相等
D. M 的短轴长是 N 的短轴长的两倍
【答案】BC
【解析】
【分析】通过椭圆的标准方程得到 的值，求解离心率、焦距、长轴长和短轴长，即可判断各个选项.
【详解】椭圆 的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
椭圆 的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
对于 A，椭圆 M 的离心率 ，椭圆 N 的离心率 ，A 错误；
对于 B，椭圆 M 与 N 的焦距长都为 ，相等，B 正确；
对于 C，椭圆 M 与 N 的长轴长不相等，C 正确；
对于 D，椭圆 M 的短轴长不是 N 的短轴长的两倍，D 错误.
故选：BC.
11. 已知双曲线 的离心率为 2，左､右焦点分别为 是 上的动点，且
，若直线 与 的右支交于 两点， 的中点为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 若 的斜率分别为 ，则
C. 若 为坐标原点，且 的斜率分别为 ，则
D. 若 经过 ，则 的内心与 三点共线
【答案】ACD
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【解析】
【分析】根据双曲线的定义和离心率求出双曲线的标准方程即可判断 A；根据两点表示斜率公式计算即可
判断 B；利用点差法，结合两点表示斜率公式计算即可判断 C；如图，根据双曲线的定义和切线的性质可得
，则切点 与点 重合，即内心 的横坐标为 2，同理可得内心 的横坐标也为 2，即
可判断 D.
【详解】对于 A，由题意知 的离心率为 ，
所以 ，所以 的方程为 ，故 A 正确；
对于 B， ，设点 ，则 ，即 ，
所以 不是定值，故 B 错误；
对于 C，设 ，则 ，
因为 在 上，所以 ，
两式相减，得 ，即 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，如图，设 和 的内心分别为 ，设 的内切圆的切点为 ，
由双曲线的定义得 ，又 ，
所以 ，又 ，
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所以 ，又 ，
所以切点 与点 重合，内心 的横坐标为 2，
同理可得内心 的横坐标也为 2，所以 三点共线，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用 3 场 2 胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛
比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为 ，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据对立事件的概率公式求出（7）班每场获胜的概率，再运用互斥事件的概率加法公式和相互
独立事件的概率乘法公式计算即可.
【详解】因（6）班每场获胜的概率为 ，则（7）班每场获胜的概率为 ，每场输掉比赛的概率为
，
依题意比赛采用 3 场 2 胜制，（7）班赢得比赛的情况有“胜胜”，“胜败胜”，“败胜胜”共 3 种，
则其赢得比赛的概率为 .
故答案为： .
13. 已知 两点分别在圆 和圆 上，则 的最小值为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】判断出两圆外离，根据 求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以圆 与圆 外离，
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所以
故答案为：
14. 若对 ，直线 与双曲线 最多有一个公共点，则该曲线的离心率为______
．
【答案】 或
【解析】
【分析】由已知得到 关系，代入双曲线方程表示出 ，得到离心率.
【详解】由 得 ，
因为对 ，直线 与双曲线 最多有一个公共点，
所以 ，即 ，
所以双曲线方程为 ，
若双曲线焦点在 轴，则标准方程为 ，所以 ， ，
此时离心率为 ；
若双曲线焦点在 轴，则标准方程为 ，所以 ，
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此时离心率 ，
故答案为： 或 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 甲、乙两人参加面试，每人需回答 2 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是 0.7，乙答对每道
题目的概率都是 0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响
（1）求甲只答对第二题的概率；
（2）求甲乙两人答对题目数之和为 1 的概率.
【答案】（1）0.21
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解，
（2）根据相互独立事件以及互斥事件的概率性质即可求解.
【小问 1 详解】
设 “甲只答对第二题”，则 ,
【小问 2 详解】
记 “甲只答对一道题”， “乙只答对一道题”， “甲两道题都答错”， “乙两道题都答
错”，
故 , ,
, ,
记 “甲乙两人答对题目数之和为 1”，
由于事件 相互独立，事件 相互独立，
则
16. 根据下列条件分别写出直线方程或圆的方程.
（1）求与直线 的距离为 的直线的方程
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（2）已知圆 经过 ， ， 三点，求圆 的方程：
【答案】（1） 或 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）设所求直线为 ，应用平行线的距离公式列方程求参数值，即可得；
（2）设 ，应用待定系数求参数值，即可得.
【小问 1 详解】
设与直线 的距离为 的直线的方程为 ，
所以 ，可得 或 ，
所求直线为 或 ；
【小问 2 详解】
设圆 过 ， ， 三点，
所以 ，可得 ，
所以所求圆为 .
17. 如图所示实验装置，由矩形 ABCD 和 ABEF 构成，且 ， ， .活动点 M
，N 分别在对角线 BD，AE 上移动，且 .记 ， ， ，且 ，
.
（1）用向量 ， ， 表示 ， .
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（2） 为何值时， 最小，最小值是多少？
（3）当 时，证明： 平面 ABCD.
【答案】（1） ，
（2） ，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合图形，利用空间向量线性运算，即可用向量 ， ， 表示 ， .；
（2）借助空间向量数量积的运算律结合二次函数的性质计算即得答案；
（3）由 平面 ABCD 等价于 ， ，利用向量数量积公式计算即得结论.
【小问 1 详解】
由题意得， ， ， ，
可知 ，
则
.
【小问 2 详解】
因 ， ， ， ，
则
，
则当 时， 有最小值，最小值为 .
【小问 3 详解】
当 时， ，
则 ，
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，
所以 ， ，
因为 AB， 平面 ABCD， ， 平面 ABCD.，
所以 平面 ABCD.
18. 如图所示，正四棱锥 中，点 E 是棱 PB 的中点， ．
（1）证明： 平面 AEC；
（2）已知异面直线 PD 与 AE 所成角的余弦值为 ，
（ⅰ）求二面角 的正弦值；
（ⅱ）在线段 AD 上是否存在点 F，使 平面 PBC．若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）连接 ， ，连接 ，根据中位线得出 ，从而可得 平面
；
（2）（ⅰ）设 ，建立空间直角坐标系，根据向量法结合异面直线 与 所成角的余弦值为
得出 ，进而求 所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解；
（ⅱ）假设存在点 F，设 ，使 平面 ，计算得出 .
【小问 1 详解】
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连接 ， ，连接 ，
因为 是 中点，点 是棱 的中点，
则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
【小问 2 详解】
（ⅰ）在正四棱锥 中， 平面 ， ，
所以 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
由 ，则 ，设 ， ，
则 ，
所以 ，
又异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
所以 ，解得 ，
故 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
取 ，得 ，
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易得平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，观察图形可知 为锐角，
所以 ，则 ；
（ii）设线段 上存在点 ，且 ，
因为 ，
设 ， ，
，
又因为 ， 平面 PBC，
所以 ，
所以 ，解得 ，
当 时， 平面 ，
所以 平面 ，
所以当 时， 平面 .
19. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 P 为 上一点，
周长为 ，其中 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与 交于 A，B 两点，
①求 面积的最大值；
②设 ，试证明点 Q 在定直线上，并求出定直线方程.
【答案】（1）
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（2）① ；②证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出 及 ，即可得解；
（2）①设 ， .联立直线 和椭圆 组成的方程组，利用韦达定理求出 ，再求出点 O
到直线 的距离 ，即可得 的面积 ，再利用基本不等式即可求出最大值；②设 ,
由 得到 三点坐标之间的关系，再利用韦达定理转化成 之间的关系，即可得证.
【小问 1 详解】
设椭圆 的焦距为 2c，
依题意有 ，解得 .
又因为 ，所以椭圆 的方程为 ；
【小问 2 详解】
①设 ， .
由 消去 ,得 *.
因为直线 与 交于 A，B 两点，
所以方程*的 ，解得 .
又由韦达定理可知 ， ，
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所以弦长
，
又因为点 O 到直线 的距离 ，
所以 的面积
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 面积的最大值为 ；
②设 ，
由 可得 ，即 .
因为 ，所以 ，故 ，
于是有 ，所以点 Q 在定直线 .
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