四川省凉山州民族中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角.
【详解】直线 的斜率 ，倾斜角范围为 ，
所以直线 倾斜角为 .
故选：B
2. 在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性质结合题意求解即可.
【详解】在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点坐标为 ，
故选：A
3. 已知直线 和直线 平行，则这两条线之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解.
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【详解】设两平行线间的距离为 ，则 .
故选：B
4. 已知点 P(－1,1)与点 Q(3,5)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为( )
A. x－y＋1＝0 B. x－y＝0
C. x＋y－4＝0 D. x＋y＝0
【答案】C
【解析】
【详解】 中点 ，直线斜率 ，所以直线为 ，
即 ，故选 C．
5. 经过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】当直线过原点时直线方程为 ，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代
入点坐标可得解.
【详解】当直线过原点时，直线方程为 ，即 ，在两坐标轴上的截距均为 ，满足题意；
当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数，
设直线方程为 ，
代入点 ，得 ，
解得 ，
则直线方程为 ，即 ，
综上所述直线方程为 或 ，
故选：C.
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6. 班上有 5 名数学爱好者，其中 3 人选修了《数学史》.若从这 5 人中随机选出 2 人，则恰好 2 人都选修了
《数学史》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出样本空间的样本数和恰好 2 人都选修了《数学史》的样本个数，再利用古典概率公式，即
可求解.
【详解】由题知班上有 5 名数学爱好者，其中 3 人选修了《数学史》，
记选修了《数学史》的 3 人为 ，其余的 2 人为 ，
从 5 人中选取 人有： ，共有 10 种情况，
恰好 2 人都选修了《数学史》的有 ，共 3 种情况，
所以从这 5 人中随机选出 2 人，则恰好 2 人都选修了《数学史》的概率为 .
故选：A.
7. 过点 作一条直线 ，它夹在两条直线 ： 和 ： 之间的线段恰被点 平
分，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为 ，进而得出交点，
根据点 为两交点的中点建立等式，求出 的值，从而即可解决问题.
【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为： ，不符合题意；
所以直线斜率存在设为 ，
则直线 方程为 ，
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联立直线 得： ，
联立直线 得：， ，
所以直线 与直线 ，直线 的交点为：
，
又直线 夹在两条直线 和 之间的线段恰被点 平分，
所以 ，
解得： ，
所以直线 的方程为： ，
故选：B.
8. 如图，在棱长为 的正四面体 中，侧棱 与底面 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知点 在平面 的射影 为正 的重心，结合线面角的定义知侧棱 与底面
所成角为 ，并求出 的长，即可求出 .
【详解】如图，因为四面体 为正四面体，所以点 在平面 射影 为正 的重心，
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延长 交 于点 ，则 为 的中点，且 ，
易知 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
所以直线 与平面 所成角为 ，
由勾股定理可得 ，
故 ，故 ，
因此侧棱 与底面 所成角的余弦值为 .
故选：B.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知事件 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果 ，那么
B. 如果 与 互斥，那么
C. 如果 与 相互独立，那么
D 如果 与 相互独立，那么
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A 根据包含事件的定义可得，对 B 根据互斥事件的定义及概率的加法公式可得，对 C、D 则根
据相互独立事件的定义及公式可得.
【详解】对 A 选项：由 ，所以 ， ，
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因此 ， ，故 A 正确；
对 B 选项：若 与 互斥，因此 是不可能事件，所以 ，
再由概率的加法公式 ，故 B 正确；
对 C 选项：若 与 相互独立，则 与 也相互独立， .
因 表示“A 不发生且 B 不发生”，即 ，且 与 也相互独立，
所以 ，故 C 错误；
对 D 选项：因 与 相互独立，所以 ，
再由概率的加法公式 ，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 的一个方向向量为 ，则直线 的斜率等于
B. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
C. 当点 到直线 的距离最大时， 的值为
D. 已知直线 过定点 且与以 为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取值
范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】由方向向量定义与斜率关系可判断 A 错误，根据两直线垂直关系可知 时也符合题意，因此 B
错误，利用直线过定点以及垂直关系可判断 C 正确，由两点间的斜率公式以及斜率的取值范围可得 D 正确.
【详解】对于 A，当方向向量为 时直线 的斜率等于 ，因此 A 错误，
对于 B，当 时，两直线 和 ，此时两直线互相垂直，即充分性成立；
若两直线垂直，当 时，两直线分别为 和 ，满足互相垂直，因此必要性不成立，即 B 错误；
对于 C，将直线 整理可得 ，
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显然直线恒过定点 ，当 与直线垂直时距离最大，
此时满足 ，即可得 ，解得 ，因此 C 正确；
对于 D，如下图所示：
易知 ，直线 与 轴平行，
显然直线 必须在 至 之间，以及 至 之间才满足题意，
所以可知直线 的斜率 的取值范围是 .
故选：CD
11. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ， ，
，则（ ）
A.
B.
C. 异面直线 与 夹角的余弦值为
D. 点 到平面 的距离为 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知建立空间直角坐标系，应用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的定义判断 B、C、
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D；由空间向量加减、数乘的几何意义用相关向量表示出 判断 A.
【详解】因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
在正方形 中，有 ，所以 两两互相垂直，
以 A 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
而 ， ，故 为 的中点，
从而 ，
对于 A， ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 错误；
对于 C， ，
则直线 与 夹角的余弦值为 ，故 C 正确；
对于 D，因为 平面 ，则点 到平面 的距离为 ，
故点 到平面 的距离为 ，所以 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知直线 ： ， ： ，若 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行的判定列方程，解方程即可.
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【详解】由直线 ： ， ： ，
因为 ，可得 ，即 ，解得 .
故答案为：
13. 已知 为直线 的一个方向向量，点 ， ，则点 P 到直线 的距离
为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间点到直线的距离计算方法求得正确答案.
【详解】因为 ， ，
所以点 P 到直线 的距离为 .
故答案为：
14. 已知点 ，直线 将 分割为面积相等的两部分，则实数
的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可知直线 过点 ，又直线 将 分割为面积相等的两部分，
则直线 必需过 中点 ，得到 即可求解．
【详解】 ，
，即 时， ，
过定点 ，即点 ，
又直线 将 分割为面积相等的两部分，
所以直线 必需过 中点 ，
，解得 ．
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故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间中三点 ．
（1）若 ，求 a 的值；
（2）若 与 夹角为 ，求 a 的值.
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算、数量积的坐标运算列方程即可求解；
（2）由向量数量积的坐标运算列方程即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 或 ．
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，则 ，
．
因为 与 的夹角为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
解得 或 ．
16. 已知 ， ， 的平分线所在的直线的方程为 ．
（1）求 的中垂线的一般方程；
（2）求直线 的一般方程．
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出 的中点坐标及 ，故可得到 的中垂线斜率，点斜式求出方程；
（2）利用 关于 的对称点 在直线 AC 上，求出 ，利用两点式求出直线方程，
得到答案.
【小问 1 详解】
的中点坐标为 ，
又 ，故 的中垂线斜率为 4，
故 的中垂线方程为 ，即 ．
【小问 2 详解】
由对称性可知， 关于 的对称点 在直线 上，
故 ，解得 ，故 ，
故直线 的方程为 ，即 ．
17. 如图，已知正方体 的棱长为 1， 和 分别是 和 的中点．
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（1）求 的值；
（2）求证： ；
（3）求直线 和 所成角的大小．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）60°
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得；
（2）计算 即可证明；
（3）根据向量的夹角公式计算即可.
【小问 1 详解】
由题易知 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
证明：因为 和 分别是 和 的中点，则 为 的中点，
所以 且 ，即 ，
所以
，
所以 ．
【小问 3 详解】
设直线 和 所成角为 ，
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又
，
，则 ，
所以 和 所成的角为 60°．
18. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 3 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是 ，
乙答对每道题目的概率都是 ，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
（1）求甲、乙两人共答对 5 道题目的概率．
（2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止，
求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解；
（2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然
后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解.
【小问 1 详解】
设 “甲答对 3 道题目”, “甲答对 2 道题目”
“乙答对 3 道题目”， “乙答对 2 道题目”，根据独立事件的性质，可得，
， ，
， ，
设 为 “甲、乙两人共答对 5 道题目”，
则 ，因为 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立，
，
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所以甲、乙两人共答对 5 道题目的概率 ．
【小问 2 详解】
C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”， 与 相互独立，
，
E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则 ，因为 与 互斥，
与 ， 与 分别相互独立，
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率
19. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 且 ， 平面
， 为 的中点
（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成的角；
（3）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）连接 BD 交 AC 于 O，连接 OE，据此可得 ，可完成证明；
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（2）如图做 ，由题可得 平面 ，连接 ，则 为 与平面 所成的角，
据此可得答案；
（3）如图建立空间直角坐标系，可得平面 的法向量，然后由空间向量知识可得答案.
【小问 1 详解】
连接 BD 交 AC 于 O，连接 OE.易得 O 为 BD 中点，又 为 的中点，
则 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ；
【小问 2 详解】
如图作 ，因 平面 ， 平面 ，
则 ，又 平面 ， ，则 平面 .
连接 ，则 为 与平面 所成的角.
由题可得 ， ， ，则 .
【小问 3 详解】
如图，取 CD 中点为 ，连接 AH，易得 .
则以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AP 所在直线为 z 轴，AH 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系.则
.
, .
设平面 法向量为 ，则 .
令 ，则 ，故取 .
则点 到平面 的距离为 .
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