四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学南校区2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学南校区2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），文件包含四川省仁寿第一中学南校区2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题原卷版docx、四川省仁寿第一中学南校区2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 某种细菌在生长过程中，每 10 分钟分裂一次（由一个分裂为两个），经过 50 分钟后，此细菌可由一个分
裂成（ ）
A 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 分钟后共有 个，将 代入求解即可.
【详解】由题意可得一个细菌 10 分钟后共有 个，20 分钟后共有 个，……，
从而得到 分钟后共有 个，
所以经过 5 次分裂(即 50 分钟后)，有 个.
故选；D.
2. 已知随机变量 X 服从正态分布 ，则 （ ）
（参考数据： ， ）
A. 0.3413 B. 0.4772 C. 0.6826 D. 0.9544
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的性质写出 ，再根据正态分布知识即可求解.
第 1页/共 17页
【详解】 随机变量 X 服从正态分布 ,
,
,
根据正态分布对称性可得
故选：B.
3. 已知数列 满足对任意 ，都有 ．若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件赋值可求得结果.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：D.
4. 曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用商的导数来求切线斜率即可.
【详解】求导得： ，
当 时，切线斜率 ，
故选：A.
5. 已知随机变量 服从二项分布 ，且 ，则 （ ）
第 2页/共 17页
A. 10 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】应用二项分布的方差 ，计算求得 ，结合二项分布的期望计算可得结果.
【详解】因为 ，解得 ，
所以 ，则 .
故选：D
6. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点
数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先确定甲骰子的点数为偶数的可能情况和概率，然后求甲骰子的点数为偶数的每种情况下乙骰
子的点数小于甲骰子的点数可能情况和概率，最后相加即是最后结果.
【详解】设事件 A 为“甲骰子的点数为偶数”，那么点数的可能性为 2，4，6，
而且每种可能性的概率为 .
当甲骰子的点数为 2 时，要使得乙骰子的点数小于甲骰子的点数，此时乙骰子的点数只能是 1，
此种情况概率为 .
当甲骰子的点数为 4 时，要使得乙骰子的点数小于甲骰子的点数，此时乙骰子的点数是 1，2，3，
此种情况概率为 .
当甲骰子的点数为 6 时，要使得乙骰子的点数小于甲骰子的点数，此时乙骰子的点数是 1，2，3，4，5，
此种情况概率为 .
所以甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为：
.
第 3页/共 17页
故在已知骰子甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为
故选：C.
7. 一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A. 8 种 B. 48 种 C. 192 种 D. 384 种
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，要全部参观并且路线不重复，分为四步，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，若要全部参观并且路线不重复，可得分为四步：
第 1 步，选择四个“环形”路线中的一个，有 4 种选法，再按顺时针和逆时针方向参观有 2 种选法，共有
；
第 2 步，选择三个“环形”路线中的一个，有 3 种选法，再按顺时针和逆时针方向参观有 2 种选法，共有
；
第 3 步，选择两个“环形”路线中的一个，有 2 种选法，再按顺时针和逆时针方向参观有 2 种选法，共有
；
第 4 步，最后一个“环形”路线，按顺时针和逆时针方向参观有 2 种选法，共有 ，
由分步计数原理，则不同的参观路线共有 种不同的路线.
故选：D.
8. 已知数列 满足 ， ， ，若数列 的前 项和为 ，
不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A. B.
第 4页/共 17页
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得数列 的通项公式，进而可得 ，进而分 为偶数与奇数两种情况求
得 ，进而可得 ，求解即可．
【详解】因为数列 满足 ， ，
所以数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，记 ，
则 ，即
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
因为不等式 恒成立，即 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以解得 ，所以 的取值范围为 ．
故选：D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
B. 已知 X 是随机变量，则
第 5页/共 17页
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可判断 A，根据方差的性质可判断 B，根据残差图的性质可判断 C，根据相关
系数的性质可判断 D．
【详解】对于 A，对于等差数列，无论项数 n 为奇数或偶数，中位数均为首项与末项的平均数，
根据等差数列的性质可知，首项与末项的平均数即为整体的平均数，
所以等差数列的中位数和平均数相等，故 A 正确；
对于 B，由方差的性质可知， ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故 C 正确；
对于 D，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1，故 D 错误．
故选：ABC．
10. 已知 ，若
，则正确的是（ ）
A. B.
C. 除以 6 所得余数为 5 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 ，已知式变为 ，可求得 判断 A；
令 ，二项式化为 ，可求得 判断 B；
,利用二项式展开式可判断除以 6 所得余数，判断 C；
二项式两边都对 求导后令 可求得 ，从而判断 D．
【详解】令 ，得 ∴ ，所以 A 正确；
第 6页/共 17页
令 ∴ ，所以 ，所以 B 错误；
由 A 知 ，
所以 ，
所以 除以 6 的余数为 5，C 正确；
对于 D，由 ，
两边求导可得 ，
令 ，得 ，所以 D 正确．
故选：ACD
11. 已知 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 处的切线方程为 B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为 D. 方程 有两个不同的解
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，利用导数的几何意义求解，对于 B，求导后，由导数小于零求解，对于 C，求导后求极值，
对于 D，函数 与 的交点个数判断
【详解】对于 A，由 （ ），得 ， ，则 ，所以 在
处的切线方程为 ，所以 A 错误，
对于 B，由 ，得 ， ，所以 的单调递减区间为 ，所以 B 正确，
对于 C，由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，所以当 时，
取得极大值 ，所以 C 正确，
对于 D，由 C 选项可知 的最大值为 ，且当 时， ，当 时，
， 所以函数 与 的交点个数为 1，所以 有 1 个解，所以 D 错误，
故选：BC
第 7页/共 17页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 为等差数列， ，则 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用等差数列的下标性质求解即可.
【详解】因为 是等差数列且 ，
所以，由等差数列的性质可得 ,故答案为 2.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属容易题．等差数列的性质:若 ，则
．
13. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占 80%，乙厂产品占 20%，甲厂产品的合格率是 70%，
乙厂产品的合格率是 80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是______.
【答案】0.72##
【解析】
【分析】利用全概率公式求解从该地市场上买到一个合格产品的概率，需要先确定不同厂家产品的概率以
及在各厂家产品条件下买到合格产品的概率，再根据全概率公式计算最终结果.
【详解】设“买到的产品是甲厂产品”为事件 ，“买到的产品是乙厂产品”为事件 .
已知甲厂产品占 ，乙厂产品占 ，所以 ， .
记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件 .
因为甲厂产品 合格率是 ，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率 ；
又因为乙厂产品的合格率是 ，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率 .
根据全概率公式 .
将 ， ， ， 代入上式可得：
故答案为： .
14. 若不等式 （ 是自然对数的底数）对任意 恒成立，则当 取最大值时，实
数 __________.
第 8页/共 17页
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令 ，可知当 时符合题意，利用导数可得函数 的单
调性和最小值 ，其中 ，令最小值大于或等于 0，
进而得解.
【详解】由题意可知 ，令 ，
当 时，研究函数 与 的图象，
因为 ，当 时， ，所以函数 单调递减，
当 时， ，所以函数 单调递增，
所以函数 有最小值为 ，
而 为单调递减的直线，如图，
此时 不恒成立，不符合题意；
当 时， ，
令 ， ，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
且由于函数 有最小值为 ，所以当 时，方程 有解，
设解为 ，则 ，且 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
第 9页/共 17页
所以 的最小值为 ，
由题意 恒成立，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，此时 .
【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程 有解，设解为 ，则 ，从而表示出 的
最小值，进而求解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列 的公差不为零， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）98
【解析】
【分析】（1）利用等差数列性质 列方程，设公差 求解，舍去 ，再用通项公式求 .
（2）先求 ，对 裂项，用裂项相消法算 ，根据 解不等式求 最大值.
【小问 1 详解】
设 的公差为 ，则
，解得 或 （舍去）
即 的通项公式为 ；
【小问 2 详解】
第 10页/共 17页
， ，
由 ，即 ，解得
的最大值为 98．
16. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐
年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限 （单位：年）与失效费 （单位：
万元）的统计数据如下表所示：
使用年限 （单位：年） 2 4 5 6 8
失效费 （单位：万元） 3 4 5 6 7
（1）根据上表数据，计算 与 的相关系数 ，并说明 与 的线性相关性的强弱．
（已知： ，则认为 与 线性相关性很强； ，则认为与 线性相关性一般；
，则认为 与 线性相关性较弱）（ 的结果精确到 0.0001）
（2）求 关于 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用 10 年的失效费．
附：样本 的相关系数 ，经验回归方程 的
斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ．
【答案】（1） ，线性相关性很强
（2） ，8.5 万元
【解析】
【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强
弱即可；
第 11页/共 17页
（2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数 ，写出回归方程，并预测 10 年的失
效费即可.
【小问 1 详解】
由表知， ， ，
，
， ，
，
故 ，认为 与 线性相关性很强；
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
又 ， ，
故 关于 的线性回归方程为 ，
当 时， ，即估算 10 年的失效费为 8.5 万元．
17. 据世界田联官方网站消息，原定于 2023 年 5 月 日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至 2025
年 4 月至 5 月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加 2025 年 4 月至 5 月在广州举行的 米接力的
角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获
胜的概率分别为 和 ；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和 ；丙队在预赛和半决赛中获胜的
概率分别为 和 .
（1）甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为 ，求 的分布列.
【答案】（1）乙进入决赛的可能性最大
第 12页/共 17页
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；
（2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列.
【小问 1 详解】
甲队进入决赛的概率为 ，
乙队进入决赛的概率为 ，
丙队进入决赛的概率为 ，
显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．
【小问 2 详解】
由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为 ，
的可能取值为 ，
，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
18. 已知 （e 为自然对数的底数）
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
第 13页/共 17页
（2）求证：当 时， 恒成立；
（3）已知 ，如果当 时， 恒成立，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，然后利用导数的几何意义求切线方程；
（2）将不等式转化为 恒成立，构造函数 ， ，然后求其最小值即可；
（3）将不等式转化为 恒成立，构造函数 ，然后求导研究其最值即可.
【小问 1 详解】
由已知 ，
则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
【小问 2 详解】
，
设 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以当 时， 恒成立；
【小问 3 详解】
当 ， 时， ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
第 14页/共 17页
令 ，得 ，令 ，得 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，即 恒成立，
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，不符合 恒成立，
所以 ，
所以当 时， 恒成立， 的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是等价转化为证明 在 上恒成立，然后再设
新函数，利用导数得到范围.
19. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆” 性质，即第 次状态的概
率分布只跟第 次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每
餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他
第一天选择米饭套餐的概率为 ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 ，前一天
选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为 ，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第 天选择米饭套餐的概率为 ；
①证明： 为等比数列；
②当 时， 恒成立，求 取值范围．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）设 为“第 天选择米饭套餐”， 为“第 天选择米饭套餐”，根据条件求出
，再利用全概率公式，即可求解；
第 15页/共 17页
（2）①设 为“第 天选择米饭套餐”，根据条件得到 ，
，利用全概率公式得到 ，即可证明结果；②由①得到 ，再对
分类讨论，利用单调性，即可求解.
【小问 1 详解】
设 为“第 天选择米饭套餐”， 为“第 天选择米饭套餐”，则 为“第 1 天不选择米饭套餐”，
根据题意 ，
由全概率公式得： .
【小问 2 详解】
①设 为“第 天选择米饭套餐”，则 ，
根据题意 ，
由全概率公式得： ，
因此 ，因为 ，
所以 是以 为首， 为公比的等比数列．
②由①可得 ，
当 为大于 的奇数时，
当 为正偶数时，
因此，当 时， ，所以 ．
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的第①问，利用全概率公式得到 ，
即可求解.
第 16页/共 17页
第 17页/共 17页