四川省仪陇中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.)
1. 设命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题p：，全称命题，
结合特称命题的否定是全称命题，
其否定是，.
故选：B
2. 设函数，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意直接求解即可.
【详解】解：因为，所以．
故选：D．
3. 对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选:C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指对数运算和对数函数的图象性质可得结果.
【详解】，所以．
故选：A.
5. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当 与重合时，，所以，故选D.
6. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数为奇函数，可排除B、D项，再由的函数值的分布，可判定选项A符合题意，即可求解.
【详解】由函数，可得的定义域为，
且，所以函数为奇函数，
则函数的图象关于 轴对称，可排除B、D项；
当时，可得，所以；
当时，可得，所以，
所以选项A中的图象符合题意，故函数的图象为选项A.
故选：A.
7. 已知函数满足，则的解析式是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解.
【详解】当时，（1）
在（1）中将替换为，则 （2）
在（1）中将替换为，则 （3）
可得：且
故选：B.
8. 已知函数，，下列说法错误的是（ ）
A. 的值域为
B. 若有2个零点，则或
C. 若的3个零点分别为：，，，则的取值范围为
D. 若有1个零点，则或
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数的图象，即可得到的值域，判断A选项，将的零点问题转化为的图象与函数的图象的交点的问题，数形结合即可判断B，C，D三个选项.
【详解】作出函数的图象，

对于A选项，当时，，当时，，
的值域为，故A正确；
令，则，
对于B选项，若有2个零点，则的图象与有两个交点，则或，故B正确；
对于C选项，若的3个零点，则的图象与有三个交点，则，
，，
且，则，
，故C正确；
对于D选项，若有1个零点，则的图象与有一个交点，则或，故D错误.
故选：D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.)
9. 下列结论中，正确的是（ ）
A. 函数是指数函数
B. 函数的单调增区间是
C 若则
D. 函数的图象必过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，复合型函数的单调性根据同增异减来判断；C选项，要结合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得.
【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错；
B选项，函数中，，在上递增，在上递减，因此函数的单调增区间是，B正确；
C选项，时，由得，C错；
D选项，函数中，由得，即函数图象过点，D正确．
故选：BD
10. 关于函数的零点，下列选项说法正确的是（ ）
A. 是的一个零点
B. 在区间内存在零点
C. 至少有2零点
D. 的零点个数与的解的个数相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据零点的定义和零点存在定理，结合选项逐个判断.
【详解】因为，所以是的一个零点，A不正确；
因为，，
所以在区间内存在零点，B正确；
令，得，
因为方程的判别式，且不是的根，
所以有3个零点，C正确；
由零点的定义可知D也是正确的.
故选：BCD.
11. 设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先定义一阶不动点，且得到二阶不动点包括两种情况，且证明出当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，A选项，找到一阶不动点，并画出函数图象，得到有且仅有一个二阶不动点；B选项，找到两个二阶不动点，不满足要求；C选项，单调递增，画出函数图象，找到仅有一个一阶不动点，即仅有一个二阶不动点，C正确；D选项，寻找到不止一个二阶不动点，D错误.
【详解】若，称为一阶不动点，
显然若，则满足，故一阶不动点显然也是二阶不动点，
若，则有，即都在函数图象上，即上存在两点关于对称，此时这两点的横坐标也为二阶不动点，
下证：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，
因为，若，因为单调递增，所以，
即，矛盾，
若，因为单调递增，所以，即，矛盾，
综上：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价；
由题意得：只需与直线的交点个数为1，
A选项，，解得：，有且仅有1个根，
画出与的图象，如下：
显然上不存在两点关于对称，
综上：有且仅有一个二阶不动点，满足要求，A正确；
B选项，令，定义域为，
显然，则均为的二阶不动点，不满足要求，B错误；
C选项，定义域为R，单调递增，只需寻找一阶不动点即可，
令，整理得：，
令，则，单调递减，
再同一坐标系总画出两函数与图象，如下：
两函数只有1个交点，满足要求，C正确；
令，若或，有，即，无解，
若，有，即，
解得：，其中，
故舍去，
又，且，
故也是二阶不动点，D错误；
故选：AC
【点睛】结论点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.)
12. 已知函数为奇函数，且当时，则当时，________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数为奇函数，
所以当时，，
故答案为：
13. 设矩形（）的周长为20，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P，设，则的最大面积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】设，由图形对称可得，，在中，由勾股定理可得，求出，利用基本不等式求出最值.
【详解】设，由题可得，则，
又，，，，
在中，，即，
解得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以面积的最大值为.
故答案为：.
14. 在数学中，高斯函数是一个重要的函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义，作出的图象，再求出图象关于原点对称的图象对应的函数解析式，由交点个数并结合图象列式求解.
【详解】解：根据新定义，作出的图象如下：
由的图象上恰有3对点关于原点对称，
得函数图象关于原点对称的图象与，的图象有3个交点，
由，得，
则，
因此函数的图象与的图象恰有3个交点，
当时，函数的图象与的图象只有2个交点，不符合题意；
则，即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知．
（1）求的定义域；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）的定义域为的定义域为；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据分母不为零可得的定义域，易知的定义域为；
（2）将分别代入计算即可；
（3）先计算出的值，再代入即可.
【小问1详解】
对于，因为分母不为，所以，解得；
因此的定义域为，
由可得其定义域为.
【小问2详解】
由知
，
；
【小问3详解】
因为，
所以.
16. 已知集合，.
（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出集合，由“”是“”的充分条件，得，求得实数的取值范围；
（2）“”是“”的必要不充分条件得到集合是的真子集，求得实数的取值范围；
【小问1详解】
由题可知，
又“”是“”的充分条件，所以，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得
综上所述，实数的取值范围为
【小问2详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，所以且，
又，，
则，解得，
故实数的取值范围是.
17. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：（分贝）]定义为，其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.当声强级为时，声场中某点的声强度为.
（1）求；
（2）如果，求相应的声强级；
（3）声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？
【答案】（1）
（2）
（3）1000
【解析】
【分析】（1）代入，求即可；
（2）根据（1）确定函数关系，令代入求解可得相应的声强级；
（3）根据已知可得、，作商即得倍数关系.
【小问1详解】
由题意，当声强级为时，声场中某点的声强度为，
即函数，当时，，
代入函数解析式得，解得.
故基准值为.
【小问2详解】
由（1）知，，令，
则dB.
因此，若，则相应的声强级为.
【小问3详解】
由，则，同理，
所以.
故声强级为时的声强度是声强级为50dB时的声强度的倍.
18. 设函数.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）求证：；
（3）若在区间上的最小值为，求的值.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶函数的定义进行证明奇偶性；
（2）求出和即可证明；
（3）令，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解.
【小问1详解】
由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称，
而，所以为奇函数.
【小问2详解】
因为，
，
所以.
【小问3详解】
由，
令，易得函数为增函数，由，则，
又，则令，
对称轴，
当，即时，，
解得；
当，即时，，
解得，又，因此不符合题意，舍去；
当，即时，，
解得，
综上所述，.
19. 设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.
（1）已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，求的值；
（2）若.
（i）已知为中心对称函数，且有唯一的对称中心，请写出其对称中心并给出证明；
（ii）若，其中均为正数，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）（i），证明见解析；（ii）3.
【解析】
【分析】（1）利用对称中心的定义列式，再赋值计算即得.
（2）
（i）写出对称中心，再利用定义推理证明.
（ii）由函数的对称性可得，由基本不等式可得，则可得，由此即可解出答案.
【小问1详解】
因为是定义在上的函数且其图象关于点中心对称，
所以，
又因为，
所以.
【小问2详解】
（i）图象的对称中心是.证明如下：
由题可知，的定义域为且，关于对称，
.
故的图象关于点中心对称.
（ii）由可得，，
所以，
令，
则，
两式相加可得，所以，
所以.
因为，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
同理，
当且仅当时，等号成立，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
综上，的最小值为3.