四川省荣县中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题（共 40 分，每小题 5 分）
1. 若直线 与 垂直，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线垂直的充要条件得解.
【详解】因为直线 与 垂直，
所以 ，解得 ，
故选：A
2. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量 定义，结合空间向量公式计算可求结果.
【详解】因为向量 ， ，
所以 ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C.
3. 方程 ，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.
【详解】由 ，可得点 到定点 ， 的距离之
和等于 12，
即 ，
所以动点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，设其方程为 ，
则 ， ，
所以 ， ，
故方程 .
故选：B.
4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是 ， ，则密码被成功破译的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由相互独立事件概率 乘法公式可得密码没有被破译的概率，由对立事件的概率性质可得答案．
【详解】根据题意，密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率为 ，
故该密码被成功破译的概率为 ．
故选：B.
5. 已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶 10 次，射中环数频率分布如图所示：
令 ， 分别表示甲、乙射中环数的均值； ， 分别表示甲、乙射中环数的方差，则（ ）
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A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率分布图分别计算 ， ，比较大小可得.
【详解】由图可知，
，
，
所以 ， .
故选：D.
6. 在四面体 中， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解
【详解】连接 , ,
由已知得
，
故选：D
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7. 已知椭圆 的左右焦点为 ，点 在椭圆上，则 的最大值是（ ）
A. 9 B. 16 C. 25 D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆定义得 ，然后由基本不等式可得结论．
【详解】由题意 ， ，
，当且仅当 时等号成立，
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆的定义，考查基本不等式求最值．掌握椭圆的定义是解题基础．
8. 在直角坐标系 中，已知直线 与圆 相交于 两点，则 的面积的最大值
为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离 ，利用勾股定理可表示出弦长
，代入面积公式，结合二次函数求最值即可求解.
【详解】圆心到直线的距离 ，
，
又 ，所以 ，即 .
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故选：D.
二、多选题（共 18 分，每小题 6 分）
9. 已知抛物线 过点 ， 的焦点为 ， .直线 与抛物线 交于
两点（均不与坐标原点 O 重合），且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 两点的纵坐标之积为－64 D. 直线 l 恒过点
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，利用抛物线焦半径公式可求得 ；对于 B，将点代入抛物线方程即可得解；对于 C，
由向量的数量积公式得到 ，进面求得 ；对于 D，联立直线与抛物线方程求得 ，从
而得解.
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，则 的方程为 ，故 A 正确；
将点 的坐标代入 C 的方程得 ，故 ，故 B 错误；
设 ， ，∵ ，∴ ，
∴ ，又 ，∴ ，故 C 正确；
由题意知，直线 的斜率不为 ，故设 ，
联立 ，消去 得 ，
∴ ，∴ ，此时满足 ，
∴直线 的方程为 ，显然恒过点 ，故 D 正确.
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故选：ACD.
10. 如图，棱长为 2 的正方体 中， 分别为棱 的中点， 为面对角线
上一个动点，则下列选项中正确的有（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值 ．
B. 无论点 在线段 的什么位置，都有平面 平面
C. 线段 上存在 点，使平面 平面 ．
D. 为 上靠近 的四等分点时，直线 与 所成角最小
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用锥体的体积公式可判断 A 选项的正误；选项 B，根据条件，可得 面 ，利用面
面垂直的判定定理可得平面 平面 ，即可作出判断，以点 为坐标原点， 、 、
所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断 C 和 D 选项的正误．
【详解】对于选项 A，因为 平面 ，平面 平面 ，
所以，点 到平面 的距离等于 ，
的面积为 ，
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所以， ，故选项 A 正确；
对于选项 B，连接 ，易知 面 ，又 面 ，所以 ，
又 分别为棱 的中点，则 ，而 ，所以 ，
又 面 ， ，所以 面 ，
又 面 ，所以平面 平面 ，故选项 B 正确，
对于选项 C，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、
、 、 ， 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
设 ，可得点 ，其中 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
故平面 与平面 不平行，所以选项 C 错误，
对于选项 D，由选项 C 知， ， ，
设直线 与 所成角 ，
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则
，
当 时， 取得最大值，此时 最小，所以选项 D 正确，
故选：ABD.
11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线 就是其中之一，其形状酷似数学符号
“ ”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 与直线 有 3 个公共点；
B. 的最大值为 4
C. 曲线 所围成的图形的面积为
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，联立 ，根据解的个数即可判断；对于 B，作出曲线 的图形，
令 ，则 ，确定该直线与 相切时直线与 轴的截距最大，利用直线与圆的位
置关系计算即可判断；对于 C，求出一个弓形 的面，则可求出曲线 所围成的图形的面积，即可判断；
对于 D，确定 可表示为曲线 上的点 与定点 的距离的平方，利用两点距公式计算
即可判断.
【详解】对于 A，由 ，得 ，
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所以 ，即 ，
解得 或 ，所以 或 或 ，
即曲线 与直线 有 3 个公共点，故 A 正确；
对于 B， ，
如图所示：
由图可知， 所在圆的圆心为 ，半径为 2， .
令 ，则 ，即 ，
如图，当该直线与 相切时，直线与 轴的截距最大，
由 ，得 ，解得 ，即 的最大值为 4，故 B 正确；
对于 C，由选项 B 知，曲线 所围成的图形的面积为四个全等弓形 的面积之和，
设弓形 的面积为 ，
在 中， ，
所以 ，
所以扇形 的面积 ，
，所以 ，
所以曲线 所围成的图形的面积为 ，故 C 错误；
对于 D， 可表示为曲线 上的点 与定点 的距离的平方，
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由图可知，最大距离为定点 到圆心 的距离与半径之和，
即 ，
所以 的最大值为 ，故 D 正确.
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题的难点是对 C 选项的判断，求出一个弓形 的面积.
三、填空题（共 15 分，每小题 5 分）
12. 已知直线 与直线 平行，则 __________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据平行关系列出等式求解 的值并检验即可.
【详解】因为 与 平行，所以 ，解得 或 .
当 时，直线 ，直线 ，两直线平行.
当 时，直线 ，直线 ，化简 为 ，
此时两直线重合，不符合要求，舍去.
故答案为：1.
13. 已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用离心率和双曲线 关系可构造方程求得 的值，由此可得渐近线方程.
【详解】 双曲线 的离心率 ， ，解得： ，
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双曲线 的渐近线方程为： .
故答案为： .
14. 设 ， 分别为椭圆 与双曲线 的公共焦
点，它们在第一象限内交于点 ， ，若椭圆的离心率 ，则双曲线 的离心
率 的取值范围为_____________
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理进行、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】设 ，
因为两个曲线在第一象限内交于点 ，
所以有 ，
解得 ，
因为 ，
所以由余弦定理可知： ，
因为 ， 分别为椭圆 与双曲线 的公共焦点，
所以设 ，
于是有 ，化简得：
，
因为 ，所以 ，
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所以 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用两种曲线的定义和余弦定理.
四、解答题
15. 2022 年 4 月 16 日，神舟 13 号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是
“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座
后，从全校学生中随机抽取了 200 名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成 6 组，并整理得到
如下频率分布直方图
（1）求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 组中用分层抽样的方法抽取
5 名学生，进行第二轮面试，最终从这 5 名学生中随机抽取 2 人参加市太空知识竞赛，求 90 分（包括 90 分）
以上的同学恰有 1 人被抽到的概率．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；
（2）确定第 组中的人数，从而求得 5 名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，根据古
典概型的概率公式即可求得答案.
【小问 1 详解】
设中位数为 x,平均数为 ,
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因为前三个矩形面积为 ，
故 ，解得 ；
.
【小问 2 详解】
人， 人,即第五组有 30 人，第六组有 20 人,
人， 人，即需从第五组抽取 3 人，从第六组抽取两人,
设从抽取的 5 人中抽取 2 人，设五组的三人为 ，第六组的两人为 ,
则共有抽法为 ，共 10 种，
其中恰有一人得分为 90 及以上的抽法有 6 种，
故 90 分（包括 90 分）以上的同学恰有 1 人被抽到的概率 ．
16. 已知圆 C 与 x 轴相切，圆心 C 在直线 上，且与 轴正半轴相交所得弦长为 ．
（1）求圆 C 的方程；
（2）过点 的直线 交圆于 C，于 E，F 两点，且 ，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据几何法，利用勾股定理即可求解，
（2）根据直线与圆相交，弦长公式即可求解.
【小问 1 详解】
设圆心 ，因为圆 与 轴的正半轴相切，
所以 ，圆 的半径为 ，因为圆 截 轴所得弦的弦长为 ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，
所以圆 ．
【小问 2 详解】
当直线 无斜率时，此时直线 方程为 ，由题知：此时直线 与圆 C
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截得的弦长为 ，不满足条件，
当直线 有斜率时，设直线方程为： ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为： 或
17. 已知抛物线 上第一象限的一点 到其焦点的距离为 2．
（1）求抛物线 C 的方程和 点坐标；
（2）过点 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B，若 的角平分线与 y 轴垂直，求弦 AB 的长．
【答案】（1）抛物线方程为： ， 点坐标为（2，1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出 ，则可得抛物线方程，再将 代入抛物线方程可求出
，从而可求得点 的坐标，
（2）由题意可得直线 l 的斜率存在，设直线方程为 ， ， ，将直线方程
代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再由 的角平分线与 y 轴垂直，可得 ，化简
可求出 的值，再利用弦长公式可求得弦 AB 的长.
【小问 1 详解】
由 可得：p＝2，
故抛物线方程为： ，
当 y＝1 时， ，
又因为 x＞0，所以 x＝2，
所以 点坐标为（2，1）；
【小问 2 详解】
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由题意可得直线 l 的斜率存在，设直线方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
所以 ， ， ，
因为 的角平分线与 y 轴垂直，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，
所以 ， ， ，
所以 .
18. 如图，平面四边形 ABCD 中， ， ， ， ， ，点 E，
F 满足 ， ，将 沿 EF 翻折至 ，使得 ．
（1）证明： ；
（2）求平面 PCD 与平面 PBF 所成的二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得 ，利用勾股定理的逆定理可证得 ，则
，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明 ，建立如图空间直角坐标系 ，利
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用空间向量法求解面面角即可.
【小问 1 详解】
由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
【小问 2 详解】
连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
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设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
19. 已知椭圆 的方程为 ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆为椭圆 的
“蒙日圆”，椭圆 的焦距为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，与其“蒙日圆”交于 、 两点，当 时，求 面
积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的方程；
（2）对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线 的斜率不存在时，根据 的值求出 的方程，进而
可求得 的面积；在直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，根据 可得出
，将直线 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本
不等式可求得 面积的最大值.
【小问 1 详解】
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解：因为椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，
则 ，可得 ，故椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
解：由题意，蒙日圆方程为 ，圆心为 ，半径 ，
①当 轴时，设直线 的方程为 ，
将 代入“蒙日圆”的方程得 ，解得 ，
则 ，解得： ，
将直线 的方程代入椭圆 C 的方程可得 ，解得 ，则 ，
所以， ；
②当直线 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，得 ，
联立 ，消去 得 ，
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，可得 ，
设 、 ，则 ， ，
，
所以，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
又因为 ，故 的面积的最大值为 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
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