第一章 整式的乘除【章末复习】 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：第一章 整式的乘除 章末复习副标题：北师大版七年级下册 知识梳理与综合应用授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：章节知识框架 幻灯片 3：核心知识点 1—— 整式的基本概念1. 单项式与多项式的辨析：类型定义实例关键要素单项式数与字母的积（单独的数或字母也是单项式）①3x（系数 3，次数 1）；②-2ab²（系数 - 2，次数 3）；③5（常数项，次数 0）系数（数字部分，含符号）；次数（所有字母指数和）多项式几个单项式的和①2x+3（二次二项式，项为 2x、3）；②x²-xy+y²（二次三项式，项为 x²、-xy、y²）项（每个单项式，含符号）；次数（最高次项的次数）；常数项（不含字母的项）整式单项式和多项式的统称上述所有实例——2. 易混淆概念对比：单项式的 “次数” vs 多项式的 “次数”：单项式次数是 “所有字母指数和”，多项式次数是 “最高次项的次数”（如单项式 - 2ab² 次数为 3，多项式 x²-xy+y² 次数为 2）；系数 vs 项：系数是单项式的 “数字部分”（如 - 2ab² 的系数是 - 2），项是多项式中的 “单个单项式”（如 x²-xy+y² 的项是 x²、-xy、y²）。例题：指出下列整式的类型，并标注关键要素：（1）-5x²y；（2）3a²-2a+1；（3）πr²。解：（1）单项式，系数 - 5，次数 3（x² 指数 2+y 指数 1=3）；（2）多项式，二次三项式，项为 3a²、-2a、1，常数项 1，次数 2；（3）单项式（π 是常数），系数 π，次数 2。幻灯片 4：核心知识点 2—— 幂的运算性质（重中之重）1. 六大运算性质梳理（a≠0，m、n 为正整数）：运算类型公式示例注意事项同底数幂相乘a^m · a^n = a^(m+n)2^3 · 2^2 = 2^(3+2) = 2^5 = 32底数相同，指数相加，底数不变（不能写成 (2×2)^(3+2)）同底数幂相除a^m ÷ a^n = a^(m-n)（m>n）5^4 ÷ 5^2 = 5^(4-2) = 5^2 = 25底数不为 0，指数相减，结果为正指数幂幂的乘方(a^m)^n = a^(mn)(3^2)^3 = 3^(2×3) = 3^6 = 729指数相乘，底数不变（不能写成 3^(2+3)）积的乘方(ab)^n = a^n · b^n(-2xy)^3 = (-2)^3 · x^3 · y^3 = -8x^3y^3每个因式分别乘方，符号随负因数个数变化零指数幂a^0 = 1(π-3)^0 = 1（π≈3.14≠3）底数不为 0，结果恒为 1（0^0 无意义）负整数指数幂a^(-n) = 1/a^n = (1/a)^n2^(-3) = 1/2^3 = 1/8；(-1/3)^(-2) = (-3)^2 = 9负指数转化为正指数的倒数，符号看指数奇偶2. 混合运算技巧：先判断运算类型（如 “幂的乘方” vs “积的乘方”），再套用对应公式；遇到负指数或零指数，先转化为正指数幂，再计算；底数为负数时，注意符号的处理（如 (-a)^2 = a^2，(-a)^3 = -a^3）。例题：计算下列各式：（1）a^4・a^2 - (a^3)^2；（2）(2x^2y)^3 ÷ x^4y；（3）(3^(-1) - π^0) × (-2)^2。解：（1）原式 = a^(4+2) - a^(3×2) = a^6 - a^6 = 0；（2）原式 = 8x^(6) y^3 ÷ x^4y = 8x^(6-4) y^(3-1) = 8x²y²；（3）原式 = (1/3 - 1) × 4 = (-2/3) × 4 = -8/3。幻灯片 5：核心知识点 3—— 整式的乘法1. 三类乘法运算方法：乘法类型运算步骤示例单项式 × 单项式①系数相乘（含符号）；②同字母幂相乘（同底数幂法则）；③单独字母保留(-2a²b) × 3ab³ = (-2×3)·(a²·a)·(b·b³) = -6a³b⁴单项式 × 多项式用单项式乘多项式的每一项，再把结果相加（分配律：m (a+b+c)=ma+mb+mc）2x(3x² - xy + 1) = 2x·3x² - 2x·xy + 2x·1 = 6x³ - 2x²y + 2x多项式 × 多项式用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项（(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn）(x+2)(x-3) = x·x - x·3 + 2·x - 2·3 = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 62. 基础乘法公式（简化多项式乘法）：（1）平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²（特征：两数和 × 两数差，结果为平方差）；示例：(2m + 3n)(2m - 3n) = (2m)² - (3n)² = 4m² - 9n²；（2）完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²（特征：两数和 / 差的平方，结果为 “首平方 + 尾平方 + 两倍首尾积”，符号随中间项变化）；示例：(x - 2y)² = x² - 2・x・2y + (2y)² = x² - 4xy + 4y²。例题：用乘法公式计算：（1）(3a - 1)(3a + 1)；（2）(2x + 3)²；（3）(x - y)(x + y) - (x - 2y)²。解：（1）原式 = (3a)² - 1² = 9a² - 1（平方差公式）；（2）原式 = (2x)² + 2・2x・3 + 3² = 4x² + 12x + 9（完全平方公式）；（3）原式 = x² - y² - (x² - 4xy + 4y²) = x² - y² - x² + 4xy - 4y² = 4xy - 5y²。幻灯片 6：核心知识点 4—— 整式的除法1. 两类除法运算方法：除法类型运算步骤示例单项式 ÷ 单项式①系数相除（含符号，同有理数除法）；②同字母幂相除（同底数幂法则）；③单独字母保留（若在被除数中）12x³y² ÷ (-4x²y) = (12÷(-4))·(x³÷x²)·(y²÷y) = -3xy多项式 ÷ 单项式用多项式的每一项除以单项式，再把结果相加（分配律：(a+b)÷m = a÷m + b÷m）(6a²b - 4ab² + 2ab) ÷ 2ab = 6a²b÷2ab - 4ab²÷2ab + 2ab÷2ab = 3a - 2b + 12. 注意事项：单项式除法中，系数相除需注意符号（如正数 ÷ 负数 = 负数）；多项式除法中，每一项都要除以单项式，包括常数项（如示例中 2ab÷2ab=1，不能遗漏）；除式不能为 0（整式除法中，除式是单项式或多项式，需保证其值不为 0）。例题：计算下列各式：（1）(-8x^4y²) ÷ (2x²y)；（2）(9m²n - 6mn²) ÷ 3mn；（3）(x²y - xy²) ÷ xy + x。解：（1）原式 = (-8÷2)・(x^4÷x²)・(y²÷y) = -4x²y；（2）原式 = 9m²n÷3mn - 6mn²÷3mn = 3m - 2n；（3）原式 = x²y÷xy - xy²÷xy + x = x - y + x = 2x - y。幻灯片 7：核心知识点 5—— 因式分解（基础）1. 因式分解与整式乘法的关系：互逆运算：整式乘法是 “积→和差”（如 (x+2)(x-2)=x²-4），因式分解是 “和差→积”（如 x²-4=(x+2)(x-2)）。2. 两种基础分解方法：分解方法定义步骤示例提公因式法提取多项式各项的公因式，化为公因式 × 另一个整式①找公因式（系数最大公约数 + 相同字母最低次幂）；②提公因式，剩余项组成新整式6a²b - 4ab² = 2ab (3a - 2b)（公因式 2ab）公式法（基础）利用平方差、完全平方公式分解①判断是否符合公式特征；②套用公式，化为整式积①x² - 9 = (x+3)(x-3)（平方差）；②x² - 6x + 9 = (x-3)²（完全平方）例题：分解下列因式：（1）3x² - 6x；（2）16m² - 25n²；（3）4a² + 12ab + 9b²。解：（1）原式 = 3x (x - 2)（提公因式 3x）；（2）原式 = (4m)² - (5n)² = (4m + 5n)(4m - 5n)（平方差公式）；（3）原式 = (2a)² + 2・2a・3b + (3b)² = (2a + 3b)²（完全平方公式）。幻灯片 8：高频易错点总结幂的运算公式混淆：错误：①(a^m)^n = a^(m+n)（混淆幂的乘方与同底数幂相乘，正确应为 a^(mn)）；②(ab)^n = a^n + b^n（混淆积的乘方与加法，正确应为 a^n・b^n）；避坑：牢记公式特征 —— 同底数幂 “加减指数，乘除指数”（相乘加、相减除），幂的乘方 “指数相乘”，积的乘方 “分别乘方”。整式乘法漏项或符号错误：错误：①(x-2)(x+3) = x² + 3x - 2x = x² + x（遗漏 - 2×3=-6）；②-2x (3x - 1) = -6x² - 2x（符号错误，正确应为 - 6x² + 2x）；避坑：多项式乘法按 “每一项乘每一项” 展开，不遗漏；单项式乘多项式时，负号要分配到每一项。因式分解不彻底或方向错误：错误：①x^4 - 1 = (x² + 1)(x² - 1)（分解不彻底，x² - 1 还能分解为 (x+1)(x新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 幂的乘法运算法则am＋namnanbn　不变相乘相加不变相乘乘方[注意] (1) 其中的 a、b 可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式；(2) 这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．2．同底数幂的除法法则(3) 同底数幂相除， 底数不变，指数相减.(a≠0， m、n为任意整数)(1) 任何不等于零的数的零次幂都等于 1.(2) 负整数指数幂：( a≠0，n 为正整数 )3．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的________， _____________分别相乘，对于只在一个单项式 中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一 个　 　. 单项式与多项式相乘，用　　 和_______的每 一项分别相乘，再把所得的积　 　. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 _______与另一个多项式的　 　相乘，再把所 得的积　 　.系数相同字母的幂因式单项式多项式相加每一项每一项相加4．乘法公式平方和这两数积a2－b2a2±2ab＋b2(a＋b)2ab2ab4ab[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算； (2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式．a2考点一 幂的乘法运算例1 计算：(1) (2a)3(b3)2 · 4a3b4； (2) (－8)2024×(0.125)2023.解：(1) 原式 = 8a3b6 ×4a3b4 = 32a3+3b6+4 = 32a6b10.(2) 原式 = (－8)×(－8)2023×(0.125)2023 = (－8)×(－1)2023 = 8.= (－8)×[(－8)×0.125]2023 幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.1. 下列计算不正确的是 ( ) A. 2a3 · a = 2a4 B. (－a3)2 = a6 C. a4 · a3 = a7 D. a2 · a4 = a8D2. 计算：0.252023×(－4)2023－8100×0.5301.解：原式 = [0.25 ×(－4)]2023－(23)100×0.5300×0.5解：∵ 420 = (42)10 =1610， 3. 比较大小：420 与 1510 .∴ 420 > 1510. 1610 > 1510， = －1－0.5 = －1.5. = －1－(2×0.5)300×0.5 考点二 整式的乘法 例2 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y，其中 x = 1，y = 3.【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中， 一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则. 解：原式= (x3y2－x2y－x2y + x3y2) ×3x2y = (2x3y2－2x2y) ×3x2y = 6x5y3－6x4y2 .当 x = 1，y = 3 时，原式= 6×27－6×9 = 108. 整式的乘法主要包括单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式，其中单项式乘单项式是整式乘法的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.4. 一个长方形的长是 a－2b + 1，宽为 a，则长方形的 面积为 .a2－2ab + a考点三 整式的乘法公式的运用 例3 先化简，再求值：[(x－y)2 + (x + y)(x－y)]－2x2， 其中 x = 3，y = 1.5.【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号 内的，再进行整式的除法运算.解：原式 = (x2－2xy + y2 + x2－y2)－2x2 当 x = 3，y = 1.5 时，原式 = －9. = (2x2－2xy) －2x2 =－2xy. 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.5. 求方程 (x－1)2－(x－1)(x + 1) + 3(1－x) = 0 的解.解：原方程可化为－5x + 5 = 0，解得 x = 1.6. 已知 x2 + 9y2 + 4x－6y + 5 = 0，求 xy 的值.解：∵ x2 + 9y2 + 4x－6y + 5 = 0， ∴ (x2 + 4x + 4) + (9y2－6y + 1)=0. ∴(x + 2)2 + (3y－1)2 = 0.考点四 本章数学思想和解题方法转化思想 例4 计算：(1)－2a·3a2b3 · (2) (－2x + 5 + x2 )·(－6x3 ).【解析】(1)单项式乘单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘单项式可以转化为单项式乘单项式.解：(1) 原式 = (2) 原式 = (－2x) · (－6x3) + 5 · (－6x3) + x2 · (－6x3) = 12x4－30x3－6x5. 将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式 单项式×多项式 单项式×单项式 有理数的乘法和同底数幂的乘法.7. 计算：(4a－b)•(－2b)2.解：原式 = (4a－b) • 4b2 = 16ab2－4b3.整体思想 例5 若 2a + 5b－3 = 0，则 4a · 32b = .【解析】已知条件是 2a + 5b－3 = 0，无法求出 a，b的值因此可以逆用积的乘方先把 4a · 32b. 化简为含有与已知条件相关的部分，即 4a · 32b = 22a · 25b = 22a+5b.把 2a + 5b 看作一个整体，因为 2a + 5b - 3 = 0，所以 2a + 5b = 3，所以 4a · 32b = 23 = 8.8 在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看作一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错.8. 若 xn = 5，则 (x3n)2－5(x2)2n = .12500 9. 若 x + y = 2，则 = .2 例6 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 .数形结合思想a2－b2 = (a + b)(a－b)【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影部分可知其面积是两个正方形的面积差(a2－b2)，又由于图中梯形的上底是 2b，下底是 2a，高为 a－b，所以梯形的面积是 (2a + 2b)(a－b) ÷2 = (a + b)(a－b)，根据面积相等，得乘法公式 a2－b2 = (a + b)(a－b). 本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起．10.我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形 的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可 以用这种形式来表示，例如 (2a + b)(a + b) = 2a2 + 3ab + b2，就可以用图① 和图② 等图形的面积表示.图①（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示 (a + b)(a + 3b) = a2 + 4ab + 3b2.（1）请写出图③ 所表示的代数恒等式；(2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 5ab + 2b2； abbb考点1 幂的运算1. 下列运算正确的是( )A  返回   D8 返回 165.计算：     返回考点2 整式的运算 B  B  C  返回     返回   返回考点3 乘法公式12.[2024咸阳期中] 计算：       返回考点4 与整式运算有关的规律探究    返回  根据以上规律，解答下列问题： 五1，4，6，4，1    返回思想1 整体思想 2 返回思想2 转化思想    返回思想3 数形结合思想17.把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一      返回幂的运算乘法公式整式的乘除积的乘方平方差公式多项式与单项式相乘、相除完全平方公式整式的乘除法单项式与单项式相乘、相除多项式与多项式相乘同底数幂相乘幂的乘方同底数幂相除必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！