2026年春北师大七年级数学下册 第一章 整式的乘除 小结与复习（课件）

小结与复习第一章 整式的乘除研究路径数代数式研究方法定义相关概念及性质运算联系应用实数定义、分类定义、分类大单元知识体系整式绝对值、倒数、相反数系数、次数、同类项实数的运算解决问题的全过程整式的运算1. 幂的乘法运算法则am＋namnanbn　不变相乘相加不变相乘乘方2．同底数幂的除法法则(3) 同底数幂相除， 底数不变，指数相减.(a≠0， m、n为任意整数)(1) 任何不等于零的数的零次幂都等于 1.(2) 负整数指数幂：( a≠0，n 为正整数 )3．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的________， _____________分别相乘，对于只在一个单项式 中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一 个　 　. 单项式与多项式相乘，用　　 和_______的每 一项分别相乘，再把所得的积　 　. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 _______与另一个多项式的　 　相乘，再把所 得的积　 　.系数相同字母的幂因式单项式多项式相加每一项每一项相加4．乘法公式平方和这两数积a2－b2a2±2ab＋b2(a＋b)2ab2ab4ab[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算； (2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式．a2考点一 幂的乘法运算例1 计算：(1) (2a)3(b3)2 · 4a3b4； (2) (－8)2024×(0.125)2023.解：(1) 原式 = 8a3b6 ×4a3b4 = 32a3+3b6+4 = 32a6b10.(2) 原式 = (－8)×(－8)2023×(0.125)2023 = (－8)×(－1)2023 = 8.= (－8)×[(－8)×0.125]2023 幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.1. 下列计算不正确的是 ( ) A. 2a3 · a = 2a4 B. (－a3)2 = a6 C. a4 · a3 = a7 D. a2 · a4 = a8D2. 计算：0.252023×(－4)2023－8100×0.5301.解：原式 = [0.25 ×(－4)]2023－(23)100×0.5300×0.5解：∵ 420 = (42)10 =1610， 3. 比较大小：420 与 1510 .∴ 420 > 1510. 1610 > 1510， = －1－0.5 = －1.5. = －1－(2×0.5)300×0.5 考点二 整式的乘法 例2 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y，其中 x = 1，y = 3.【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中， 一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则. 解：原式= (x3y2－x2y－x2y + x3y2) ×3x2y = (2x3y2－2x2y) ×3x2y = 6x5y3－6x4y2 .当 x = 1，y = 3 时，原式= 6×27－6×9 = 108. 整式的乘法主要包括单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式，其中单项式乘单项式是整式乘法的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.4. 一个长方形的长是 a－2b + 1，宽为 a，则长方形的 面积为 .a2－2ab + a考点三 整式的乘法公式的运用 例3 先化简，再求值：[(x－y)2 + (x + y)(x－y)]－2x2， 其中 x = 3，y = 1.5.【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号 内的，再进行整式的除法运算.解：原式 = (x2－2xy + y2 + x2－y2)－2x2 当 x = 3，y = 1.5 时，原式 = －9. = (2x2－2xy) －2x2 =－2xy. 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.5. 求方程 (x－1)2－(x－1)(x + 1) + 3(1－x) = 0 的解.解：原方程可化为－5x + 5 = 0，解得 x = 1.6. 已知 x2 + 9y2 + 4x－6y + 5 = 0，求 xy 的值.解：∵ x2 + 9y2 + 4x－6y + 5 = 0， ∴ (x2 + 4x + 4) + (9y2－6y + 1)=0. ∴(x + 2)2 + (3y－1)2 = 0.考点四 本章数学思想和解题方法转化思想 例4 计算：(1)－2a·3a2b3 · (2) (－2x + 5 + x2 )·(－6x3 ).【解析】(1)单项式乘单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘单项式可以转化为单项式乘单项式.解：(1) 原式 = (2) 原式 = (－2x) · (－6x3) + 5 · (－6x3) + x2 · (－6x3) = 12x4－30x3－6x5. 将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式 单项式×多项式 单项式×单项式 有理数的乘法和同底数幂的乘法.7. 计算：(4a－b)•(－2b)2.解：原式 = (4a－b) • 4b2 = 16ab2－4b3.整体思想 例5 若 2a + 5b－3 = 0，则 4a · 32b = .【解析】已知条件是 2a + 5b－3 = 0，无法求出 a，b的值因此可以逆用积的乘方先把 4a · 32b. 化简为含有与已知条件相关的部分，即 4a · 32b = 22a · 25b = 22a+5b.把 2a + 5b 看作一个整体，因为 2a + 5b - 3 = 0，所以 2a + 5b = 3，所以 4a · 32b = 23 = 8.8 在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看作一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错.8. 若 xn = 5，则 (x3n)2－5(x2)2n = .12500 9. 若 x + y = 2，则 = .2 例6 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 .数形结合思想a2－b2 = (a + b)(a－b)【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影部分可知其面积是两个正方形的面积差(a2－b2)，又由于图中梯形的上底是 2b，下底是 2a，高为 a－b，所以梯形的面积是 (2a + 2b)(a－b) ÷2 = (a + b)(a－b)，根据面积相等，得乘法公式 a2－b2 = (a + b)(a－b). 本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起．10.我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形 的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可 以用这种形式来表示，例如 (2a + b)(a + b) = 2a2 + 3ab + b2，就可以用图① 和图② 等图形的面积表示.图①（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示 (a + b)(a + 3b) = a2 + 4ab + 3b2.（1）请写出图③ 所表示的代数恒等式；(2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 5ab + 2b2； abbb幂的运算乘法公式整式的乘除积的乘方平方差公式多项式与单项式相乘、相除完全平方公式整式的乘除法单项式与单项式相乘、相除多项式与多项式相乘同底数幂相乘幂的乘方同底数幂相除