专题02 二次函数（期末复习专项训练，18个题型）九年级数学上学期人教版+答案

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题型1 二次函数的概念
题型10 二次函数与一次函数交点个数问题（重点）
题型2 根据二次函数的定义求参数
题型11 抛物线与坐标轴的交点问题
题型3 特殊二次函数的图像和性质（常考点）
题型12 根据二次函数图象确定相应方程根（常考点）
题型4 与特殊二次函数有关的几何知识（重点）
题型13 根据交点确定不等式的解集（常考点）
题型5二次函数y=ax²+bx+c的性质（常考点）
题型14 二次函数应用-类抛物线问题（常考点）
题型6 二次函数y=ax²+bx+c的最值问题（重点）
题型15 二次函数应用-面积问题（常考点）
题型7 二次函数y=ax²+bx+c的图像问题（重点）
题型16 二次函数应用-利润问题（常考点）
题型8 二次函数的平移变换
题型17二次函数与几何综合应用（重点）
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴
题型18 二次函数的其他问题（重难点）
题型一 二次函数的概念（共2小题）
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+cB．y=1x2
C．y=x2+5D．y=2x−7
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A、中当a=0，b≠0时．y是x的一次函数，则A不符合题意；
B、y=1x2不是二次函数，则B不符合题意；
C、y=x2+5是二次函数，则C符合题意；
D、y=2x−7是一次函数，则D不符合题意；
故选：C．
2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数y=2x2−3x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，0，−3B．2，−3，0C．2，3，0D．2，0，3
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式y=ax²+bx+ca≠0，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可．
【详解】解：∵二次函数y=2x2−3x可化为y=2x2+−3x+0，
∴二次项系数a=2，一次项系数b=−3，常数项c=0．
故选：B．
题型二 根据二次函数定义求参数（共2小题）
1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数y=2xm+1−x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．2B．1C．0D．3
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得m+1=2，求解即可．
【详解】解：∵关于x的函数y=2xm+1−x+1是二次函数，
∴m+1=2，
解得m=1，
故选：B．
2．（22-23九年级上·云南昆明·期中）已知y=(m+1)xm2+1+2x−3是二次函数，则m的值为（ ）
A．0B．1C．－1D．1或－1
【答案】B
【分析】根据二次函数定义：形如y=ax2+bx+ca≠0的函数叫二次函数，从三个方面：①含有一个未知数；②所含未知数的最高次数为2次；③是一个整式理解即可得到答案．
【详解】解：∵ y=(m+1)xm2+1+2x−3是二次函数，
∴m+1≠0,m2+1=2，解得m=1，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的定义，从三个方面：①含有一个未知数；②所含未知数的最高次数为2次；③是一个整式去理解概念是解决问题的关键
题型三 特殊二次函数的图像和性质（共5小题）
1．（25-26九年级上·内蒙古·期末）抛物线y=x−12−2的顶点坐标是（ ）
A．−1,−2B．−1,2C．1,−2D．1,2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
抛物线已给出顶点形式 y=a(x−ℎ)2+k，直接读取顶点坐标即可．
【详解】解：∵ 抛物线 y=(x−1)2−2 符合顶点形式，
∴ 顶点坐标即为 (1,−2)．
故选： C．
2．（24-25九年级上·福建福州·期末）关于函数y=−(x−2)2+2的函数值，下列说法正确的是（ ）
A．最小值是−2B．最大值是−2C．最大值是2D．最小值是2
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其最值，可得出答案．
【详解】解：∵y=−(x−2)2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为2,2，
∴函数有最大值是2．
故选：C．
3．（24-25九年级上·河南周口·期末）若a>0，c0，cy2>y1B．y2>y3>y1
C．y2>y1>y3D．y3>y1>y2
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把A−1,y1，B1,y2，C4,y3三点分别代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
y1=−−1−32+2=−14，y2=−1−32+2=−2，y1=−4−32+2=1，
∴y3>y2>y1；
故选A．
5．（24-25九年级上·四川德阳·期末）关于二次函数y=x−22+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是−2,5
C．该函数有最大值，最大值是5D．当x>2时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于y=x−22+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为2,5，故B错误；
该函数有最小值，最小值是5，故C错误；
当x>2时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
题型四 与特殊二次函数有关的几何知识（共3小题）
1．（2023·四川达州·二模）如图，已知点A1,A2,...,A2024在函数y=2x2位于第二象限的图像上，点B1,B2,...,B2024在函数y=2x2位于第一象限的图像上，点C1,C2,...,C2024在y轴的正半轴上，若四边形O1A1C1B1,C1A2C2B2,...,C2023A2024C2024B2024都是正方形，则正方形C2023A2024C2024B2024的边长为( )
A．1012B．10122C．20232D．202322
【答案】B
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出B2的坐标，然后求出C1B2的长，再求出C1C2的长，然后表示出C2B3的解析式，与抛物线联立求出B3的坐标，然后求出C2B3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
【详解】解：∵OA1C1B1是正方形，
∴OB1与y轴的夹角为45°，
∴OB1的解析式为y=x，
联立方程组得：y=xy=2x2，
解得x1=0y1=0，x2=12y2=12．
∴B点的坐标是：(12，12)，
∴OB1=(12)2+(12)2=22=1×22；
同理可得：正方形C1A2C2B2的边长C1B2=2×22；
…
依此类推，正方形C2023A2024C2024B2024的边长是为2024×22=10122．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．
2.（九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形三个顶点的坐标依次为3,1，1,1，1,3．若抛物线y=ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）

A．19≤a≤3B．19≤a≤1C．13≤a≤3D．13≤a≤1
【答案】A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值，再根据∣a∣越大，抛物线的开口越小即可解决问题．
【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3，
当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=19，
观察图象可知：19≤a≤3，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=13x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（ ）

A．22B．23C．4D．43
【答案】B
【分析】根据二次函数图象上点的坐标性质得出A，C点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案．
【详解】∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=13x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2，
∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，
故1=13x2，
解得：x=±3，
故A(3，1)，C(﹣3，1)，
∴AC=23，
故菱形OABC的面积是：12AC⋅OB=12×23×2=23．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题关键．
题型五二次函数y=ax²+bx+c的性质（共7题）
1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）在若二次函数y=−2x2+4x+a−1的图象经过原点，则a的值为（ ）
A．0B．−1C．1D．1或−1
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，理解题意是解题的关键．将0,0代入解析式即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=−2x2+4x+a−1的图象经过原点，
∴ 0=0+0+a−1，
解得：a=1，
故选：C．
2．（24-25九年级上·广西崇左·期末）抛物线y=x2−4x+5的对称轴方程是（ ）
A．x=4B．x=−4C．x=2D．x=−2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数对称轴的计算，掌握对称轴直线的计算公式是解题的关键 ．
根据二次函数对称轴直线x=−b2a计算即可．
【详解】解：抛物线y=x2−4x+5的对称轴直线为x=−−42=2，
故选：C ．
3．（24-25九年级上·云南大理·期末）点A−2,y1，B4,y2，C6,y3均在二次函数y=x2−2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3>y2>y1B．y1=y2>y3
C．y1>y2>y3D．y3>y1=y2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称轴直线，增减性是解题的关键．
根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴直线为x=1，当x≤1时，y随x的增大而减小，离对称轴直线越远，值越大，当x≥1时，y随x的增大而增大，离对称轴直线越远，值越大，由此即可求解．
【详解】解：在二次函数y=x2−2x+c中，a=1>0，
∴图象开口向上，对称轴直线为x=−−22=1，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小，离对称轴直线越远，值越大，当x≥1时，y随x的增大而增大，离对称轴直线越远，值越大，
∵1−−2=3,4−1=3,6−1=5，
∴y1=y2y1=y2，
故选：D ．
4．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几组数值，观察表格正确的结论是（ ）
A．当x=−1时，y=−5B．抛物线开口向下
C．抛物线的对称轴是x=0D．y随x的增大而增大
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．∵当x=0和x=2时y的值相等，
∴抛物线的对称轴是直线x=0+22=1，∴当x=−1时的函数值与x=3时的函数值相等，即y=−5，故正确；
B．∵随着x的增大y的值先减小再增大，∴抛物线开口向上，故不正确；
C．由A知，抛物线的对称轴是直线x=1，故不正确；
D．∵随着x的增大y的值先减小再增大，故不正确．
故选A．
5．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知拋物线y=−x2+2x+c，若点0,y1，1,y2，3,y3，都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3>y1>y2B．y30时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a0时，−a=−4，解得a=4；当a0时，在−1≤x≤4，函数有最小值−a，
∵y的最小值为−4，
∴−a=−4，
∴a=4，
当a0和a0时，
∵对称轴为x=−−2a2a=1，
当x=1时，y有最小值为2，当x=−1时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2−2=4．
∴a=1，
当a0，由直线可知a0，由直线可知a>0，可判断B符合题意，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由二次函数y=ax2−1可知抛物线与y轴交于点0,−1，故C，D选项中的图象不符合题意；
由A选项中的抛物线可知a>0，由直线可知a0，由直线可知a>0，故B选项中的图象符合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，解题的关键是结合图像特征进行判断．根据二次函数和一次函数的图像与系数的关系逐一判断即可．
【详解】解：A、由抛物线知，a>0，c0，c>0，故本选项错误；
C、由抛物线知，a0，由直线知a0，两结论一致，故本选项正确；
D、由抛物线知，a>0，c>0，由直线知a0，故本选项错误．
故选：C．
3．（24-25九年级上·山东德州·期末）二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=acx−b在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，熟记一次函数和二次函数图象的性质是解题的关键．
先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、一次函数y=acx−b的图象过一、二、四象限，ac0，即ac>0与ac0，b0，c>0，即ac>0，不存在矛盾，故B正确，符合题意；
C、一次函数y=acx−b的图象过一、三、四象限，ac>0，b>0，二次函数y=ax2+bx+c的开口方向向下且与y轴的交点在y轴的正半轴，则a0，即ac0矛盾，故C错误，不符合题意；
D、一次函数y=acx−b的图象过二、三、四象限，ac0，二次函数y=ax2+bx+c的开口方向向上且与y轴的交点在y轴的正半轴，则a>0，c>0，即ac>0与ac0时；②当a0时，−a0时，x的取值范围是 ．
【答案】−10时，−1