人教版数学九年级上册期中复习专题11 二次函数的压轴题型专训（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学九年级上册期中复习专题11 二次函数的压轴题型专训（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学九年级上册期中复习专题11二次函数的压轴题型专训原卷版doc、人教版数学九年级上册期中复习专题11二次函数的压轴题型专训解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。
1．（2023·湖北鄂州·统考二模）已知二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】①由，，且当时，，可画出图象草图，进行判断即可；②可得，进行化简即可；③由时，，进行判断即可；④由进行判断即可；⑤可求，可化 ，进行判断即可．
【详解】解：①，，且当时，，
二次函数的草图如下：

，，
，
，
，
，
故此项正确；
②由①得：，
，
，
故此项正确；
③当时，，
，
，
故此项正确；
④当时，，
；
当时，，
；
，
故此项正确；
⑤当时，，
，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
综上所述：共有项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的系数符号特征及其性质进行判断求解，掌握二次函数的基本性质及系数符号判断方法是解题的关键．
2．（2023·湖北黄冈·统考二模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（ ）
A．①③④B．①②C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称轴计算公式可判断①，根据二次函数与轴的交点判断一元二次方程的解，继而判断②，根据图像与x轴的另一个交点在和之间，可得抛物线与
轴的交点之间的距离大于3，利用韦达定理得到之间的关系，继而判断③，根据可得抛物线开口向上且与轴交于上半轴，利用二次函数的性质，即可判断④，继而得到答案．
【详解】解：二次函数的图像经过，
，
若图像对称轴在y轴左侧，则，故同号，
异号，
，故①正确；
根据可得，
有一个根为，
当时，成立，
是方程的一个根，故②正确；
若图像与x轴的另一个交点在和之间，则，
，
，
可得，
变形可得，故③正确；
若，则抛物线开口向上且与轴交于上半轴，
，
，
对称轴为，
时，的大小关系无法确定，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，熟练运用韦达定理是解题的关键．
3．（2023·江苏南通·统考一模）二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，，则a的值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】D
【分析】作轴，交x轴于点D，设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，根据勾股定理进行线段之间的转换，列出方程，再根据韦达定理，即可解答．
【详解】
解：如图，作轴，
设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，
轴，
，
，
，
，
，
整理得，，
二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，
是的解，
，
，
，
∵点在抛物线上，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的关系式与系数的关系，结合题意绘图解答是解题的关键．
4．（2023·湖北随州·统考一模）如图是二次函数图像的一部分，且经过点，对称轴是直线，下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点，是函数图像上的两点，则；④设该抛物线与坐标轴的交点为，，，若是等腰三角形，则，其中正确的个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断选项①；由图象得出时对应的函数值等于0，即可判断②；由二次函数图象上点的坐标特征即可判断③；根据二次函数的性质，分类讨论，即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴正半轴相交，
，
对称轴在轴右侧，
，异号，
，
，故①正确；
图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
是关于x的方程的一个根，故②正确；
∵点，是函数图像上的两点，对称轴为直线，
∴在抛物线上，
∵当时，随的增大而减小，，
则故③正确，
设该抛物线与坐标轴的交点为，，，
则，，
，
∵是等腰三角形，

当时
在中，，
∴，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：
当时，

在,，
∴
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴是等腰三角形，则或，故④不正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题
5．（2023春·广东·九年级统考学业考试）已知二次函数与轴交于点，点（其中点在点的左侧），记二次函数的最低点为点，过点，点作二次函数的两条切线（即直线与二次函数有且仅有一个交点）交于点，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，可得，，由，得该函数图像的最低点为，设函数图像过点的切线为，可求得，由，根据一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式的值为，列方程得，求得，则，用同样的方法可得过点的切线为，再解由两条切线解析式所构成的方程组即可得到，则可得到问题的答案．
【详解】解：∵二次函数与轴交于点，点（其中点在点的左侧），
当时，，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
设过点的切线：，
∴，得：，
过点的切线为，
∴，
∴，
由切线的定义可知：直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴，
解得：，
∴过点的切线：，
设过点的切线：，
∴，得：，
过点的切线为，
∴，
∴，
由切线的定义可知：直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴，
解得：，
∴过点的切线：，
∵过点，点作二次函数的两条切线交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴线段的长度为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，用待定系数法求函数的关系式，一元二次方程根的判别式等知识，根据一元二次方程有两个相等的实数根列方程求出点的坐标是解题的关键．
6．（2023·福建泉州·统考模拟预测）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“关联函数”，点与点则为一对“关联点”．已知函数和互为“关联函数”，则n不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设在，则在上，得出，求得最大值为，即可求解．
【详解】解：设在，则在上，
∴
∴
∴当时，的最大值为,
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·山东济南·统考三模）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．若，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，又可得出，即可求出，再根据抛物线的对称性即可得出的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∵点，，在抛物线上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵点和点关于对称轴对称，
∴当时，，
当时，，
∴的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性质和函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在抛物线上取两点，根据对称性求出对应坐标，代入抛物线中计算出的值即可．
【详解】∵抛物线：
∴抛物线过，，
∵抛物线：与抛物线：关于直线对称，
∴抛物线：过，，
代入可得，
解得，
∴点
∴抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据对称性求出的值是解题的关键．
9．（2023·山东泰安·统考一模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：① ② ③ ④若m的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（ ）
A．①②③④B．①②C．③④D．②③④
【答案】C
【分析】根据图像，可直接判断的符号；根据二次函数和横轴的交点坐标可得对称轴；两个函数的交点可直接画出图像进行判断．
【详解】（1）由图可知，或，故错误；
（2）由（1）可知，当；当；而，则或，故错误；
（3）对称轴为，故正确；
（4）如图，
当时，一次函数是直线；当时，一次函数是直线；由图可知，时，直线与的图象有4个公共点，故正确；
故选：C
【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是此题中的绝对值表示所有的函数值非负，即可画出图像，重难点是一次函数中m的取值范围影响一次函数和轴的交点位置，而交点个数看图直接判断即可．
10．（2023·湖南岳阳·统考一模）若将抛物线F：图象位于y轴右侧的部分沿着直线l：翻折，其余部分保持不变，组成新图形H，点为图形H上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】C
【分析】求得的对称轴为，与轴交点为，分当时，即对称轴在轴左侧；当时，即对称轴为轴；当时，即对称轴在轴又侧时进行讨论即可求解．
【详解】解：的对称轴为：
，
与轴交点为：，
关于对称轴的对称点为
当时，即对称轴在轴左侧，如图：
点为图形H上两点，且，
则位于直线下方，位于直线上方，
则的水平距离大于，
，
解得：；
当时，即对称轴为轴，如图：
点为图形H上两点，恒成立，

当时，即对称轴在轴又侧，如图：
与轴交点为：，
关于对称轴的对称点为
点为图形H上两点，且
则位于直线下方，位于直线上方，
则的水平距离大于，
，
解得：；
综上所述：；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，翻折的性质；解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，正确作图分析．
11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）抛物线（为常数，其中）经过，两点，下列结论：
①；
②；
③；
④不等式的解集是或．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】
【分析】易得方程的根为，，即对称轴为：，结合，，可得①②正确；根据，，，可得，，即可判断③正确；由，可得，确定直线与x轴交于点，与y轴交于点，再确定抛物线与y轴交于点，画出图形，即可判断④正确．
【详解】∵抛物线（为常数，其中）经过，，
∴方程的根为，，
∴对称轴为：，
∵，，
∴，
∴，
即：，，故①错误，②正确；
∵，，，
∴，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
直线，
当时，，
当时，，
即直线与x轴交于点，与y轴交于点，
抛物线，当时，，
即抛物线与y轴交于点，
画出图形，如下：

由图可知：不等式的解集为：或，
即不等式的解集是或，故④正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，利用图解法解关于x的不等式的解集等知识，注重数形结合，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
12．（2023·广东广州·校考二模）已知二次函数满足：（1）； （2）；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有_____．
①； ②； ③； ④．
【答案】①②④
【分析】由可得图像过点，由、可得可判断①；图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2，则另一交点坐标在右侧，再代入解析式可判断②且图像对称轴一定在x轴的正半轴，即；再结合a，b异号可判定③；由可得，再代入可得，然后再根据不等式的性质给两边同除以即可解答．
【详解】解：∵
∴图像过点
∵，，
∴，故①正确；
∵图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2
∴图像一定不过，且另一交点坐标在右侧，
∴，即②正确；
∴图像对称轴一定在x轴的正半轴，
∴，
∵a，b异号，
∴，故③此选项错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④选项正确．
故答案为①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、不等式的性质等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键．
13．（2023·安徽安庆·校考三模）已知，是二次函数图象上两个不同的点．
（1）若，，则实数a的值是___________；
（2）若，当时，恒有，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】（1）利用抛物线的对称性即可得出对称轴为直线，且，即可求解；
（2）根据题意可得，均位于抛物线对称轴的右侧，即，且，即可求解得到a的取值范围．
【详解】（1）∵，是二次函数图象上两个不同的点，且
∴，关于抛物线的对称轴对称
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：．
（2）由题意知，抛物线的对称轴是直线
∵当，时，恒有
∴，均位于抛物线对称轴的右侧
∴
解得
即实数a的取值范围为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（2023·安徽芜湖·统考三模）二次函数的图象经过点．
（1）该二次函数图象的顶点坐标是________；
（2）一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，的取值范围是________．
【答案】
【分析】（1）把代入求出，再将解析式化为顶点式即可得出答案；
（2）先求出一次函数解析式，把代入一次函数得出，把代入得出，再由，得出关于的不等式，利用二次函数的性质求解不等式的解集即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，
∴．
∴．
∴．
∴该二次函数图象的顶点坐标是．
故答案是．
（2）∵一次函数的图象经过点，
∴．
∴．
∴．
∵点在一次函数的图象上，
∴．
∵点在二次函数的图象上，
∴．
∵，
∴，即．
令，
当时，，
解得：，，
∴抛物线与横轴交点为，．
∵抛物线开口向上，
∴的解集为．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解题的关键．
15．（2023秋·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则________；若，则m的取值范围是________．
【答案】 或
【分析】若，先求二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性对称两点的横坐标之和的一半等于对称轴横坐标即可解答；若，分两种情况：当对称轴在y轴右侧时，当对称轴在y轴左侧时，结合二次函数图象的特性分别进行解答即可．
【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴是直线，
①∵，
∴点P、Q关于对称轴对称，
∴，解得；
②∵抛物线与y轴的交点为，当时，或，
∴与关于对称轴对称，
当对称轴在y轴右侧时，，
∵，
∴，且，
解得；
当对称轴在y轴左侧时，，此时，
P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大，
∵，
∴，
解得；
∴综上，m的取值范围是或．
故答案为：；或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质，并能够熟练运用数形结合是解题的关键．
16．（2023·四川成都·统考二模）某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为______．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意可知该二次函数过点，，再利用待定系数法即可求出其解析式；由题意可知，再根据t的取值范围，即得出的取值范围．
【详解】解：如图，
由题意可知，．
则，
解得：，
∴球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为；
由题意可知，
∵，
∴，
∴，即．
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，绝对值的性质，不等式的性质．理解题意，正确求出与之间的函数关系式和与之间的函数关系式是解题关键．
17．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（是常数），过顶点两点，且下列四个结论：①；
②；
③若点在抛物线上，，且，则；
④当图象经过点时，方程的两根为，，则．正确的是______________（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】利用二次函数的性质逐个分析即可．
【详解】∵抛物线（是常数），过顶点两点，且，
∴二次函数开口向上，顶点在第三象限，与y轴交点位于正半轴，对称轴为直线，
∴，，，
∴，故①正确；
∵对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最小值，即最小，
∵当时，，
∴，
整理得，故②错误；
∵，且，
∴，，
当时在对称轴右边，y随x的增大而增大，此时，
当时，由对称轴为直线，可得经过，此时，且y随x的增大而增大，此时，故③正确；
当图象经过点时，由对称轴为直线，可得经过，
∴方程的两根为，则，故④正确．
综上所述，正确的是①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是理解二次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）二次函数的图象的顶点在直线上，该图象与直线，在内各有一个交点，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据二次函数的图象的顶点在直线上，确定，代入解析式中，分两种情况：①当抛物线的左半部分与两直线在内各有一个交点时，满足：时，，时，，列不等式组求出解集；②当抛物线的右半部分与两直线在内各有一个交点，则满足：当时，，当时，，列不等式组求出解集即可．
【详解】解：二次函数的图象的顶点在直线上，
，
，
，
如图所示：分两种情况：
①当抛物线的左半部分与两直线在内各有一个交点，
则满足时，，
时，，
即，
解得：；
②当抛物线的右半部分与两直线在内各有一个交点，
则满足：当时，，
当时，，
即，
解得：；
综上所述，则的取值范围是：或；
故答案为：或．
【点睛】本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了二次函数和一次函数的图象的性质，有难度，根据已知条件，利用数形结合的思想解决此题，并与不等式组相结合，利用不等式组的解集确定的取值范围．
19．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）抛物线的对称轴是直线，该抛物线与x轴两个交点的距离为4，方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先利用对称轴得出，再利用抛物线与x轴两个交点的距离得出a与c之间的数量关系，从而将方程表示成只含有字母参数a的一元二次方程，已知该方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，得到一个不等式；将方程转化成一个函数表达式的形式，然后把和分别代入这个函数表达式中，分和两种情况，利用函数图象及性质，得到不等式组，然后与上面由根与系数的关系得到的不等式进行联立，求解即可．
【详解】∵抛物线的对称轴是直线，
∴，即．
∵抛物线的对称轴是直线，该抛物线与x轴两个交点的距离为4，
∴该抛物线与x轴两个交点的坐标分别为，，
将点的坐标代入，
得，
∴方程可转化为．
∵方程有两个不相等的实数根，，且，
∴．
将方程转化成g关于x的函数为．
把代入，
得；
把代入，
得．
当时，解得；
当时，无解．
综上可知，a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系：二次函数跟x轴的交点的横坐标，就是相对应的一元二次方程的根，还考查了一元二次方程的根与系数的关系、解不等式组、二次函数的图象与性质等，综合性较强，解题的关键是掌握二次函数的相关知识，注意数形结合．
20．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 _____，△BDE面积的最大值为 _____．
【答案】 10
【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
设，则，
，
，
的最大值为，
故答案为，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
21（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)①；；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

（2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
22．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．

(1)求a的值．
(2)若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围．
(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，当时，四边形ABCD的周长最大为．
【分析】（1）将坐标代入抛物线计算求值即可；
（2）由的值可得抛物线解析式，从而可得，的表达式，再根据解不等式即可；
（3）由可得函数的对称轴，根据、两点的对称性设，，再由两点的中点坐标在对称轴上可得的表达式；根据坐标的定义求得四边形周长的表达式再配方即可解答；
【详解】（1）解：将原点坐标代入抛物线可得：
，
，
∵，
∴；
（2）解：把代入抛物线可得：
，
点P和点Q代入抛物线解析式可得：
，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由抛物线解析式可得对称轴为，
平行于轴，设且，，
由抛物线的对称性可知、两点的中点坐标在对称轴上，
∴，
∴，
∵和都和轴垂直，平行于轴，
∴四边形是矩形，
由函数图象可知点纵坐标，
∴四边形的周长为：，
∴当时四边形周长有最大值；
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，矩形的性质，坐标的定义等知识；掌握二次函数的对称性是解题关键．
23．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，点，，均在抛物线上，点在轴上，且，绕点顺时针旋转后两边与轴、轴分别相交于点，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由；
(3)若是等腰三角形，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)能，点的坐标为；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作轴于点，轴于点，求得顶点坐标，求得直线即的解析式，得出点的坐标，证明，据此求解即可；
（3）证明，求得，分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：由抛物线与轴的两个交点，的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为，
然后将点坐标代入得：，
解得：，
故抛物线解析式为；
（2）解：作轴于点，轴于点，

，
∴顶点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线即的解析式为，
点坐标为．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴能经过抛物线的顶点，此时点的坐标为；
（3）解：同理求得直线方程为，
作轴于点，轴于点．

∵，
∴四边形是正方形，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
则是等腰三角形可以有三种情形：
①．则，，则点坐标为；
②，则点坐标为；
③，设．
∵，即，，
∴，
解得，
∴，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及到了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，用待定系数法求解析式等，充分考查学生的综合运用能力和数形结合的思想方法．
24．（2022秋·广东珠海·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图像上，过点作于点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)求的最大值；
(3)①当时，直接写出点的坐标；
②当为等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)二次函数的表达式为
(2)的最大值为
(3)①当时，点的坐标为；②是等腰直角三角形，点的坐标为
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作轴，交直线于点，设，在中，，在中，，再根据二次函数的最值即可求解；
（3）①如图所示，作点关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线与点，则点为所求点，设直线的解析式为，可求出直线的解析式为，联立直线与抛物线为方程组求解即可；②为等腰直角三角形，当，为等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴令时，；令时，；
∴，，
∵二次函数的图像经过两点，且与轴的负半轴交于点，
∴，解得，，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：如图所示，过点作轴，交直线于点，
∵，，
∴，
∵点在抛物线的图像上，
∴设，
∵轴，点在直线的图像上，且点的纵坐标为，
∴，解得，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
在中，，
∴，则，
∵，即，
∴在中，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为，
∴，
∴当时，的最大值为．
（3）解：①如图所示，作点关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线与点，
∴，，
∴，则点为所求点，
∵，
∴，设直线的解析式为，且，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设所在直线的解析为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，
∴联立方程组得，解得，或，
∵动点在直线下方的二次函数图像上，即点的横坐标的范围为：，
∴不符合题意，舍去，
∴当时，点的坐标为；
②当，为等腰直角三角形，如图所示，
过点作轴于点，过点作轴，交延长线于点，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵点在直线的图像上，设，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵动点在直线下方的二次函数图像上，即点的横坐标的范围为：，
∴，
将代入抛物线得，，解得，（舍去）或，
∴；
∴是等腰直角三角形，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，二次函数图像的性质，几何图形的性质，全等三角形的判定和性质，等角的三角函数的计算方法的综合运用是解得关键．
25．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线交x轴于点D，且平分，求点P的坐标；
(3)如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围．
【答案】(1)
(2)
(3)线段的长度不会改变，线段的长度为12
【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值；
（2）设交x轴于点D，过点D作于点E，利用角平分线的性质可得，证明是等腰直角三角形，可得，然后求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线解析式，然后把直线解析式和抛物线解析式联立方程组即可求出点P的坐标；
（3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度．
【详解】（1）解：由图象，可知，
将代入中，得，
点，
，
令，即，
解得，，
点A在点B的左侧，
点，，
，
又，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设交x轴于点D，过点D作于点E，
，
平分，，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
解得，
，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
联立方程组，
解得（舍去），，
∴点P的坐标为；
（3）解：设，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，
，
同理得：直线的解析式为，
∵，
设的解析式为，
，
，解得，
的解析式为，
当是，，
，
线段的长度为，
线段的长度不会改变，线段的长度为12．
【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、角平分线的性质、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
26（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）年少的岁月里，约定是令人欣喜的！我们不妨约定：关于原点对称的一对点（不重合）称为一对“双子星”，图象至少经过一对“双子星”的函数称为“双子星函数”．
(1)若和是一对“双子星”，则s＝_______，t＝_______；
(2)已知关于x的函数和（其中k，p为常数）
①求出“双子星函数”图象上所有的“双子星”；
②关于x的函数的图象是否存在“双子星”，如果有，指出共有多少对“双子星”，如果没有，请说明理由；
(3)已知“双子星函数”（其中a，b，c为常数，）的图象经过不同的两点和，（其中m，n为常数）并且满足以下2个条件：①；②当时，该函数的最小值为，求二次项系数a的值．
【答案】(1)，或；
(2)①和；②若，它有无数个“双子星”点；若，它没有“双子星”点；
(3)
【分析】（1）根据和是一对“双子星”，根据关于原点对称的点的坐标关系可构造方程求解；
（2）①设点和是“双子星函数”图象上所有的“双子星”，代入可得关于m，n的方程组，解方程组即可解决；
②设点和是关于x的函数的图象上的“双子星”点，代入可得关于m，n的方程组，整理得．根据p的值分两种情况讨论m的值，从而得到函数的图象上“双子星”点的情况；
（3）设设“双子星函数”的图象上的“双子星”点为和，代入则有方程组，整理可得，由得到．根据函数的图象经过不同的两点和得到对称轴为，因此，由得到，从而函数解析式为．由于时，函数的最小值为，因此分三种情况讨论：①当时，函数取得最小值，则，求解得到a的值，再根据进行判断；②当时，函数取得最小值，则，求解得到a的值，再根据进行判断；③当，函数在对称轴时取得最小值，则，求解a，再判断．综合即可得到a的值．
【详解】（1）∵点和是一对“双子星”，即它们关于原点对称，
∴，，
解得：，或．
故答案为：，或
（2）①设点和是“双子星函数”图象上所有的“双子星”，
∴，
∴解得或，
∴“双子星函数”图象上所有的“双子星”为和．
②设点和是关于x的函数的图象上的“双子星”点，
则有，
两式相减，得，
∴．
若，则m有无数个解，即函数的图象上有无数个“双子星”点；
若，则无解，即函数的图象上没有“双子星”点．
∴对于函数的图象，若，它有无数个“双子星”点；若，它没有“双子星”点．
（3）设“双子星函数”（其中a，b，c为常数，）的图象上的“双子星”点为和，则
，
两式相加，得，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
∵函数的图象经过不同的两点和，
∴对称轴为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴函数为．
∵当时，函数的最小值为，
∴分三种情况讨论：
①当时，函数取得最小值，则，
解得：（舍去）或或，
若，则，，不合题意，舍去；
若，则，，满足题意．
②当时，函数取得最小值，则，
解得：（舍去）或或，
若，则，，不合题意，舍去；
若，则，，不合题意，舍去．
③当，时，函数取得最小值，则，
解得，不合题意，舍去．
综上所述，．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标变化规律，二次函数的图象性质，解整式方程与分式方程，综合运用各个知识是解题的关键．
27．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
28．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：关于的函数．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．

依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
29．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）“厚德楼”、“博学楼”分别是我校两栋教学楼的名字，“厚德”出自《周易大传》：天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物，“博学”源自《论语·雍也》：君子博学于文，约之以礼，博学乃华夏古今治学之基础，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“博学点”．把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“博学点”的函数称为“厚德博学函数”．
(1)一次函数是一个“厚德博学函数”，分别求出该函数图象上的“厚德点”和“博学点”；
(2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“博学点”，求该二次函数的解析式；
(3)已知二次函数（，为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点，的直线上存在无数个“厚德点”，当，函数有最小值，求的值．
【答案】(1)“厚德点”为：，“博学点”为：；
(2)或；
(3)或
【分析】（1）直接根据一次函数是一个“厚德博学函数”即可 得出结论；
（2）先由平移确定出二次函数的a值，再由二次函数的顶点就是一个“厚德点”，得出，二次函数图象经过一个“博学点”得出，然后代入，即可得出结论；
（3）先确定直线l上的点横纵坐标相等，得出N点坐标为原点，将代入，得出 ，根据时，函数有最小值，分情况讨论即可得到答案．
【详解】（1）∵一次函数是一个“厚德博学函数”，
∴根据定义得：或，
∴或，
∴一次函数图象上的“厚德点”为：，“博学点”为：；
（2）∵二次函数图象可以由二次函数平移得到，
∴，
∵二次函数的顶点就是一个“厚德点”，
∴，
∴二次函数解析可变为，
∵二次函数图象经过一个“博学点”，
∴，
∴，
∴P点坐标为，
∴将代入得，
∴，
∴二次函数解析为或；
（3）∵经过点M，N的直线l上存在无数个“厚德点”，
∴直线l上的点横纵坐标相等，
∵二次函数（c，d为常数，）的顶点为M，与y轴的交点为N，
∴，N点坐标为原点，为“厚德点”，
∴二次函数解析式可变为，二次函数的图象经过“厚德点”，
∴将N代入，
∴，
∴，（舍去），
∴二次函数解析式可变为，对称轴为直线，
当时，时，y取最小值，
∴
解得：，，
∵，
∴；
当时，在时，y取最小值，
∴
解得：，，
∵，
∴，
∴
综上，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质在新定义中的应用，新定义“厚德点”和“博学点”的理解和掌握，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
30．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解．
【详解】（1）解：将点，，代入
得
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
当点与点重合时，如图所示，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此时，
综上所述，或或；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴
∴为定值．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
水平距离x/
竖直高度y/