专题04 圆（期末复习专项训练，16大题型）九年级数学上学期人教版+答案

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题型1 圆的基本性质
题型9 切线判定与性质综合（重点）
题型2 垂径定理及应用（常考点）
题型10 三角形的内切圆（常考点）
题型3 点与圆上一点最值问题（重点）
题型11 正多边形与圆的综合（常考点）
题型4 圆周角定理（常考点）
题型12 弧长的计算
题型5 圆内接四边形（常考点）
题型13 扇形面积的计算（常考点）
题型6 点与圆的位置关系的判定
题型14 圆锥的侧面积（常考点）
题型7 三角形的外接圆（常考点）
题型15 不规则图形的阴影面积（重点）
题型8 直线与圆的位置关系的判定
题型16 圆锥侧面最短路径问题（重点）
题型一 圆的基本性质（共3小题）
1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知⊙O的半径为5，则⊙O中弦AB的长度不可能是（ ）
A．0.01B．5C．10D．11
2．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO= ．
3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为10的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若DE=4，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．92B．96C．98D．100
题型二 垂径定理及应用（共7小题）
1．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在⊙O中，圆心O到AB的距离为5cm，⊙O的半径为13cm，则弦AB的长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．24cm
2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为 m．
3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，AB是⊙O的直径，半径的长为1，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
4．（24-25九年级上·广东汕头·期末）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交弧AB于点C，测出AB=80cm，CD=20cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．40cmB．50cmC．70cmD．100cm
5．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=26 cm，MN为水面截线，MN=24 cm，GH为桌面截线，AB∥MN∥GH，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了7 cm，则此时水面截线EF为（ ）
A．9 cmB．10cmC．11cmD．12cm
6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m．
(1)求桥拱的半径；
(2)此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
7．（24-25九年级上·北京西城·期中）利用以下素材解决问题．
题型三 点与圆上一点最值问题（共4小题）
1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，射线CD上一点，且BE=CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP=1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（ ）
A．2B．17C．17−2D．21−4
2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=6．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（ ）
A．2B．5C．3D．14
3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，MN是⊙O的直径，AN=13MN，点B是AN的中点，点P是直径MN上一动点．连接AB，AP，BP．若MN=22，AB=3−1，则△PAB的周长的最小值是（ ）
A．3+1B．3+3C．2D．4
4．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ．
题型四 圆周角定理（共4小题）
1．（2024九年级上·辽宁·专题练习）如图，若AB是⊙O直径，CD为是⊙O的弦，∠ABD=52°，则∠BCD的度数为（ ）

A．36°B．37°C．38°D．39°
2．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB=AC, ∠ACB=70°，则∠CBD=（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠BOC=110°, ∠BCA=25°，则∠AOC的度数是（ ）
A．25°B．50°C．55°D．60°
4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC=60°，则∠BAC的度数为（ ）
A．60°B．30°C．20°D．15°
题型五 圆内接四边形（共6小题）
1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=50°，则∠C的度数是（ ）
A．50°B．100°C．120°D．130°
2．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为BD的中点，若∠A=50°，则∠CBD的度数为（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【答案】A
3．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠OBC=22°，则∠D=（ ）
A．103°B．102°C．112°D．113°
4．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠B=110°，则∠AOC的度数为（ ）
A．70°B．110°C．140°D．150°
5．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点P是AB上一点，则∠APB等于（ ）
A．60°B．100°C．120°D．150°
6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BD是对角线，∠ABD=40°，则∠C的度数是（ ）
A．50°B．60°C．80°D．100°
题型六 点与圆的位置关系的判定（共4小题）
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，若OP=1.8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定
2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点O为对角线AC，BD的交点，以点A为圆心，1为半径作⊙A，则（ ）
A．点O在⊙A上B．点O在⊙A内
C．点O在⊙A外D．点O与OA位置关系不能确定
3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（ ）
A．点PB．点 QC．点MD．点N
4．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4，以点A为圆心，4为半径作圆，下列说法中，正确的是( )
A．点B在圆内B．点C在圆上C．点D在圆外D．点D在圆内
题型七 三角形的外接圆（共3小题）
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．
(1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：直线CD是⊙O切线；
(3)若BD=2,CD=23，求⊙O的半径．
题型八 直线与圆的位置关系的判定（共5小题）
1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，⊙O与直线l的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上都不对
2．（24-25九年级上·北京·月考）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点A在⊙A上B．点C在⊙A内
C．直线BC与⊙A相切D．直线BC与⊙A相离
3．（23-24九年级下·全国·期中）已知⊙O的直径为12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
4．（2025九年级下·浙江·专题练习）⊙O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与⊙O ．
5．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知∠APB=30°，⊙O的半径为2，圆心O在BP上，当OP=4时，⊙O与射线PA的位置关系为 ．
题型九 切线判定与性质综合（共8小题）
1．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O与BC，AC分别交于点D，E，AF与过E点的切线EF垂直，垂足为F．
(1)求证：AC平分∠BAF；
(2)当BC=AC时，求证：CD=CE．
2．（24-25九年级上·广西南宁·期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，AB=10，求OA的长．
3．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥BE于点E，EF与AB交于点F，△BEF的外接圆⊙O与BC交于点D．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB，垂足为点H，若CD=1，EH=3，求BE长．
4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求：
(1)大树到城堡南门的距离；
(2)城堡外圆的半径．
5．（23-24九年级上·山西朔州·期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若∠CAO=30°，BC=2，求CE的长．
6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将Rt△ABC沿过点A的直线翻折并展开，直角顶点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A，D．
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=43，∠B=30°，求⊙O的半径．
7．（24-25九年级上·湖北·期中）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，DE=4，求AD的长．
8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆．AB是⊙O的直径，过点O作OE⊥AC于点E，延长OE至点D，连接CD，使∠D=∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=CD=22，求AC的长．
题型十 三角形的内切圆(共5题）
1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（ ）
A．6B．16924C．103D．3
2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=130°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC=20°，则∠CAI的度数为（ ）
A．25°B．35°C．40°D．45°
4．（23-24九年级上·天津河西·期末）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A．12B．1C． 33D．3
题型十一 正多边形与圆的综合（共5题)
1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如果一个正多边形的中心角为60∘，那么这个正多边形的边数是( )
A．3B．4C．5D．6
2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，AB为弦，若∠ABC=20°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ）
A．正九边形B．正八边形C．正七边形D．正六边形
3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O为正六边形ABCDEF对角线AD的中点，连接OC，若OC=1，则CD的长是（ ）
A．2B．1C．3D．4
4．（25-26九年级上·北京·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为20cm的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（ ）
A．6003cm2B．1003cm2C．1503cm2D．303cm2
5．（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若∠ADB=18°，则该正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．10D．11
6．（2025·安徽池州·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A．42B．82C．42πD．82π
题型十二 弧长的计算（共4题）
1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角是120°，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．1B．32C．43D．2
2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，AB,CD是⊙O的弦，延长AB,CD相交于点P．已知∠P=30°，∠AOC=80°，OA=9，则BD的长为（ ）

A．π2B．πC．2πD．3π2
3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一个半径为10cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，若滑轮旋转了150°，则重物上升了（ ）cm
A．103πB．5πC．203πD．253π
4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）将直尺和量角器按如图方式摆放，其中AB为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与BA的延长线交于点C，并与量角器所在半圆相切于点D．已知点C、D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点D在量角器上对应的外圈刻度为60°，则AD的长为（ ）
A．12πB．33πC．πD．233π
题型十三 扇形面积的计算（共4题）
1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）琪琪制作了一把扇形纸扇，如图，OA=20cm，OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC=120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）cm2．
A．60πB．75πC．125πD．150π
2．（24-25九年级上·福建南平·期末）玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现在从一块直径为8cm的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩（A,B,C在圆上，且∠ABC=90°），则这个扇形玉佩的面积是（ ）
A．4πcm2B．8πcm2C．16πcm2D．162πcm2
3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．3πB．6πC．3π2D．24π
4．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型十四 圆锥的侧面积（共3题）
1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知圆锥的底面积为16πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．18πcm2B．18cm2C．24cm2D．24πcm2
2．（24-25九年级上·湖北·期末）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆半径为30cm，母线l长为40cm，制作一个这样的烟囱帽至少需要铁皮（ ）cm2
A．600πB．800πC．1200πD．2400π
3．（2024·山东东营·模拟预测）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ）

A．16πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．25πcm2
题型十五 不规则图形的阴影面积（共5题）
1．（2023·云南·模拟预测）如图，菱形ABCD的周长为48，以点B为圆心，AB为半径画圆弧AC得到扇形BAC（阴影部分）．若扇形BAC正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形BAC（阴影部分）的面积为（ ）
A．48πB．485πC．1235πD．1274π
2．（24-25九年级上·北京·月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2．以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（ ）
A．3−π3B．3−2π3C．23−π3D．23−2π3
3．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，分别以AC、BC为半径画圆，则阴影部分的面积为（ ）
A．5π−8B．20π−8C．10π−16D．5π−16
4．（24-25九年级上·重庆·期末）两个半径相等的半圆按如图所式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为3，则阴影部分的面积是（ ）
A．π−334B．πC．π2−334D．π−332
5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在等腰直角△ABC中，已知∠ABC=90°，AB=1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（ ）
3π8−12B．3π8+12C．π4−12D．π4+12
题型十六 圆锥侧面最短路径问题（共2题）
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自B处开始绕侧面一周又回到点B，若这个圆锥形建筑物的底面周长为40πcm，母线AB的长为60cm，则这条灯带的最短长度是（ ）
A．40cmB．60cmC．303cmD．603cm
2．（2025·广东梅州·一模）综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
问题驱动
十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离AC=BC=10m，拱顶离水面的距离CD=5m
设计方案
方案一：圆弧型
方案二：抛物线型
任务一
设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．
设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
任务二
如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3.5m，EH=10m．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁．