【期末总复习】人教版数学 九年级上学期-第02讲《二次函数》期末专题复习

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第02讲：二次函数专题-九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习
考点一：二次函数的概念
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
考点二：二次函数的图像和性质
.解析式
（1）三种解析式：
①一般式：y=ax2+bx+c;
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
.二次函数的图象和性质
图象


开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标

增减性
当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.
当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.


.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
a、 b

决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

考点三：用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.



考点四：二次函数的平移

注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）
考点五：二次函数，不等式，二元一次方程的关系
一：二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
二：二次函数与不等式
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
考点六：直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故









二次函数专题《考点·题型·难点》强化训练
一、单选题
1．（2021·湖南涟源·九年级期末）当函数 是二次函数时，的取值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·重庆大足·九年级期末）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
3．（2020·贵州关岭·九年级期末）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．； B．；
C．； D．.
4．（2020·山东·石莱镇初级中学九年级期末）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）

A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5


5．（2020·江苏·无锡外国语学校九年级期末）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是
A．B．C． D．
6．（2021·云南大理·九年级期末）如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　

A． B． C． D．
7．（2020·浙江浙江·九年级期末）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2






8．（2020·贵州·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校九年级期末）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2020·山东莒县·八年级期末）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…


0
1
2
…

…





…
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2019·福建厦门·九年级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x1，x2(0＜x1＜x2＜4)时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是(　　)
A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4
11．（2020·山西灵石·九年级期末）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )

A． B． C． D．
12．（2017·四川泸县·九年级期末）如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　

A． B． C． D．


二、填空题
13．（2021·四川旌阳·九年级期末）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）．
14．（2021·吉林铁西·九年级期末）如图，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴的正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为______．

15．（2021·全国·九年级期末）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是__________．

16．（2021·全国·九年级期末）抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②；③；④；其中判断正确的选项是____________．

17．（2021·浙江衢江·九年级期末）定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，… Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线y上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A1(a1，0)，A2(a2，0)，A3(a3，0)，…An+1(an+1，0)（0＜a1＜1，n为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a1＝___．


三、解答题
18．（2021·全国·九年级期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求出该二次函数图象顶点坐标；
（2）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（3）结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．

19．（2021·江苏阜宁·九年级期末）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．

（1）若，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙的长；
（2）求矩形菜园面积的最大值．
20．（2021·浙江温州·九年级期末）某礼品公司开有甲、乙两个销售店，礼品的成本价为每件元，由于地域的原因，该礼品在甲店的定价是每件元，每天可以售出件，在乙店的定价是每件元，每天可以售出件，公司为了适当平衡售价，经过市场调查发现，甲店每件礼品降价元，可以多售出件，乙店每件礼品提价元，就会少售出件，设甲店降价与乙店提价的金额相同，均为元．
（1）当甲、乙两店调价后的售价相同时，每天的利润各是多少元?
（2）设甲店每天的利润为，乙店每天的利润为，分别求出，关于的函数关系式；
（3）求出这两个销售店每天的的利润之和的最大值以及此时甲店的售价．
21．（2021·河北·廊坊市第四中学九年级期末）已知抛物线L：y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A(−3，0)，该抛物线的对称轴为直线x=−1．其中顶点记为D．

（1）求抛物线L的解析式和点D的坐标；
（2）点M是x轴上任意一点，连接DM、CM、CD，当△CDM周长取最小值时，求点M的坐标；
（3）将抛物线L向右平移a个单位长度得到新的抛物线G，抛物线G与x轴交于E、F两点（点E在点F的左边），当点B是线段EF的三等分点时，求a的值．
22．（2021·山东·济宁学院附属中学九年级期末）抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣）．

（1）求抛物线C的表达式；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．
（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2021·重庆忠县·九年级期末）如图，抛物线的图象交轴于两点，交轴于点，直线经过两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2021·全国·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1，0)，且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．

（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．
25．（2021·江西兴国·九年级期末）如图，函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．

（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（3）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2＋bx＋c，连接AD交BC于E，在对称轴上是否存在一点F，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，使点F恰好落在抛物线上？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2021·四川江油·九年级期末）如图，抛物线的开口向下，与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．已知C(0，4)，顶点D的横坐标为﹣，B(1，0)．对称轴与x轴交于点E，点P是对称轴上位于顶点下方的一个动点，将线段PA绕着点P顺时针方向旋转90°得到线段PM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；
（3）连接BP并延长交抛物线于点Q，连接CQ．与对称轴交于点N．当QPN的面积等于QBC面积的一半时，求点Q的横坐标．


参考答案
1．D
【分析】
根据二次函数的定义去列式求解计算即可．
【详解】
∵函数 是二次函数，
∴a-1≠0，=2，
∴a≠1，，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．
2．D
【详解】
分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选D．
点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．B
【分析】
根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】
解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
4．D
【详解】
利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．故选D．
5．C
【分析】
x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
6．B
【分析】
由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
【详解】
对称轴在y轴的右侧，
，
由图象可知：，
，故不正确；
当时，，
，故正确；
由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确；
，
，
，
，
，故不正确；
当时，y的值最大此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，
故正确，
故选B．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
7．A
【分析】
先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-=-1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．
故选A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．B
【详解】
解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．C
【分析】
首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．
【详解】
∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
∴抛物线的对称轴是：x=-=；
∴a、b异号，且b=-a；
∵当x=0时y=c=-2
∴c
∴abc0，故①正确；
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t
∴和3是关于的方程的两个根；故②正确；
∵b=-a，c=-2
∴二次函数解析式：
∵当时，与其对应的函数值．
∴，∴a；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，
∴m=n=2a-2，
∴m+n=4a-4；故③错误
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
10．C
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．
【详解】

解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为x=m中2＜m＜4，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．
11．B
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
12．D
【详解】
【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案．
【详解】∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，
∴∠B=60°，BC=AB=8，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC=4，
∴AD=AB﹣BD=12．
如图1，当0≤AD≤12时，AP=x，PQ=AP•tan30°=x，
∴y=x•x=x2；
如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x，
∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x），
∴y=x•（16﹣x）=，
该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，
故选D．

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键.
13．
【分析】
根据二次函数的解析式求得开口方向和对称轴，根据二次函数的性质可得离对称轴越远的点的函数值越小，分别计算到对称轴的距离，进而即可求得，，的大小关系．
【详解】
解：，
对称轴为，
二次函数的图象开口向下，则离对称轴越远的点的函数值越小，
点，，均在二次函数的图象上，
点到对称轴的距离分别为，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
14．2
【分析】
先求出点A坐标，利用对称可得点A'横坐标，代入可得纵坐标.
【详解】
解：令，得，即，
解得：，，
∴,
∵点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上,
∴A'点的横坐标为1，
当x=1时，y=2
所以点Aʹ的纵坐标为2.
故答案为：2
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.
15．
【分析】
根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：∵抛物线y＝与直线y＝交于A（−3，−1），B（0，3）两点，
∴不等式的解集是−3＜x＜0．
故答案为：−3＜x＜0．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想．
16．②③④
【分析】
利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用对称轴方程可对②判断；利用抛物线与x轴交点个数可对③进行判断； 利用当x=2时，y＞0，可对④判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝−1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝2a，
∴，所以②正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝，所以③正确；
∵当x=2时，y＞0，
∴，所以④正确．
故答案是：②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．或
【分析】
由抛物线的对称性可知：抛物线的顶点与抛物线与x轴的两个交点构成的三角形必为等腰直角三角形，该等腰直角三角形的高等于斜边的一半，，该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线顶点纵坐标小于1），由此求解即可．
【详解】
解：由抛物线的对称性可知：抛物线的顶点与抛物线与x轴的两个交点构成的三角形必为等腰直角三角形，
∴该等腰直角三角形的高等于斜边的一半，
∵，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线顶点纵坐标小于1），
∵当时，，
当时，，
当时，，
∴美丽抛物线的顶点只有和，
若为顶点，则（1，），
∴，
同理当为顶点，求得，
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴交点，抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
18．（1）；（2），，；（3）．
【分析】
（1）将该二次函数一般式化为顶点式，即可直接确定顶点坐标；
（2）对于，分别令和，即可求出该二次函数图象与坐标轴交点坐标．
（3）根据图象可直接确定x的取值范围．
【详解】
（1）将化为顶点式为：，
∴该二次函数图象顶点坐标为．
（2）对于，当时，；
当时，即，
解得：，．
∴该二次函数图象与x轴交点坐标为：，与y轴交点坐标为：、．
（3）根据图象可直接确定y＜0时，．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质．能够熟练将二次函数解析式一般式改为顶点式，及读懂函数图象是解答本题的关键．
19．（1）20m；（2）
【分析】
（1）设，则，根据“所围成的矩形菜园的面积为1800平方米”列出方程求解即可；
（2）设，则，分和两种情况讨论．
【详解】
解：（1）设，则，根据题意得：
，
解得，，
当时，，不符合题意舍去，
当时，，
答：的长为；
（2）设，
，
当时，则时，的最大值为5000，
当时，则当时，随的增大而增大，
当时，的最大值为，
答：当时，的最大值为5000，当时，的最大值为．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用参数解决问题．
20．（1）甲：1200元；乙：960元；（2）；；（3）这两个销售店每天的利润之和的最大值为2164元，此时甲店的售价是111元
【分析】
（1）利润=售价-进价，甲店降价与乙店提价的金额相同，均为元，依据题意即可求解；
（2）根据题意可用含x的代数式表示，；
（3）由（2）得出，，两个销售店每天的利润之和为，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）由题意，得，
解得，
则，
甲店每天的利润为：(元)，
乙店每天的利润为：(元)；
（2），
；
（3）设两个销售店每天的利润之和为元，
则，
，
当时，
取最大值，最大值为(元)，
此时(元)，
答：这两个销售店每天的利润之和的最大值为元，此时甲店的售价是元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21．（1）y=x2+2x-3，D (-1，-4)；（2）点M的坐标为(-，0)；（3）a的值为或．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）点C关于x轴的对称点为G(0，3)，当D、M、G共线时，取等号，CM+DM有最小值，利用待定系数法求得直线DG的解析式，即可求解；
（3）先得到新的抛物线G的解析式y=(x+1-a)2-4，求得E (a-3，0)，F (a+1，0)，根据点B是线段EF的三等分点，再分类求解即可．
【详解】
解：（1）由A(−3，0)，得：9-3b+c=0，
由抛物线的对称轴为直线x=−1得：，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线L的解析式为y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴顶点D的坐标为(-1，-4)；
（2）令x=0，则y=x2+2x-3=-3，
∴点C的坐标为(0，-3)，
∵CD为定值，
∴当CM+DM最小时，△CDM周长取得最小值，
∵点C关于x轴的对称点为G(0，3)，
∴CM+DM=GM+DMDG，
当D、M、G共线时，取等号，CM+DM有最小值，
设直线DG的解析式为，
把点D的坐标为(-1，-4)代入得：，
解得：k=7，
∴直线DG的解析式为，
令y=0，则x= -，
∴点M的坐标为(-，0)；

（3）根据题意，新的抛物线G的解析式为：y=(x+1-a)2-4，
解方程(x+1-a)2-4=0，
，
∵点E在点F的左边，
∴E (a-3，0)，F (a+1，0)，
令y=0，则y=(x+1)2-4=0，
解得：x=-3或1，
∴点B的坐标为(1，0)，
∵点B是线段EF的三等分点，
则点B在线段EF上，
∴BE=1-( a-3)=4-a，FB=a+1-1=a，
当BE=2FB时，4-a=2a，
解得：，
当2BE=FB时，2(4-a)=a，
解得：，
综上，a的值为或．
【点睛】
本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、二次函数的平移，难度不是很大．
22．（1）y＝x2﹣x﹣；（2）最小值为；M（3，﹣2）；（3）存在，点D的坐标为（2，﹣3）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，5）
【分析】
（1）运用待定系数法将A，B，C的坐标代入y=ax2+bx+c，解方程组求出a，b，c即可；
（2）作PH⊥直线y=-于点H，作MH′⊥直线y=-于点H′，根据抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，-）的距离与到直线y=-的距离相等，可得：MQ=MH′，可得出MP+MQ=MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上且PM⊥直线y=-时，MP+MH′最小，即可求出答案；
（3）先求出抛物线对称轴，再根据以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形进行分类讨论即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a≠0），过点A（-1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，-），
∴，解得：，
∴抛物线C的表达式为：y=x2-x-；
（2）如图1，作PH⊥直线y=-于点H，作MH′⊥直线y=-于点H′，

∵抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，-）的距离与到直线y=-的距离相等，
∴MQ=MH′，
∴MP+MQ=MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上，MP+MH′最小，
∴M与M′重合时，MP+MQ最小，
∵P（3，4），
∴PH=4-（-）=，
∴MP+MQ的最小值为；
当x=3时，y=×32-3-=-2，
∴M（3，-2）；
（3）∵y=x2-x- =（x-2）2-；
∴抛物线对称轴为x=2，
设点坐称为（2，m），
∵A（-1，0），P（3，4），D（2，m），
∴AP=4，AD2=9+m2，PD2=1+（m-4）2，
∵以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形，
∴分三种情况讨论：∠DAP=90°或∠ADP=90°或∠APD=90°，
①当∠DAP=90°时，AP2+AD2=PD2，
∴（4）2+9+m2=1+（m-4）2，
解得：m=-3，
∴D1（2，-3）；
②当∠ADP=90°时，PD2+AD2=AP2，
∴1+（m-4）2+9+m2=（4）2，
解得：m1=2+，m2=2-，
∴D2（2，2+）；D3（2，2-）；
③当∠APD=90°时，PD2+AP2=AD2，
∴1+（m-4）2+（4）2=9+m2，
解得：m=5，
∴D4（2，5）；
综上所述，点D的坐标为（2，-3）或（2，2+）或（2，2-）或（2，5）．
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，直角三角形性质，勾股定理等，熟练掌握二次函数图象和性质，勾股定理等相关知识，并灵活运用数形结合思想，分类讨论思想和方程思想是解题关键．
23．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）先求出B、C两点的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可；
（2）过点向轴作垂线交直线于点，设，，得到PQ与t的关系式，再根据二次函数的性质计算即可；
（3）设，直角三角形的性质分类讨论即可；
【详解】
解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，3）
将B（3，0），C（0，3）代入，
可得，
解得，
所以抛物线的解析式为，
（2）过点向轴作垂线交直线于点Q，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，PQ最大=，
∴PQ最大时，三角形PBC的面积最大，最大面积为，此时P(,)；

（3）设，
∵，，
∴，，，
当时，
解得：
∴，；
当时，,
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
∴；
综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，它们分别为：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，两点距离公式，准确分析判断是解题的关键．
24．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）AB=；（3）四边形ABCN是矩形，证明见解析
【分析】
（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；
（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，判定四边形ABCN是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明，即可解答．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．
将（5，c）（1，0）代入函数解析式，
得，
解得．
故抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；
（2）联立抛物线与直线，得，
解得，，
即B（2，1），C（5，﹣2）．
由勾股定理，得AB==；
（3）四边形ABCN是矩形，
证明：如图：
，
∵M是AC的中点，
∴AM=CM．
∵点B绕点M旋转180°得到点N，
∴BM=MN，
∴四边形ABCN是平行四边形，
∵A（1，0），B（2，1），C（5，﹣2）．
∴，
，
，
∴
∴，
∴是矩形．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，并联立函数解析式解方程组得出交点坐标，利用了勾股定理求两点之间距离并判定直角三角形．其中利用函数值相等得出点（5，c）是函数图像的点是解题关键，
25．（1）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（2）见解析；（3）存在，（1，﹣）或（1，+）
【分析】
（1）令y=0，得x2-2x-3=0，从而得出A（-1，0），B（0，3），然后运用待定系数法即可得出答案；
（2）运用勾股定理可求得BC=3，BD=，DC=2，运用勾股定理逆定理得出∠DBC=90°，进而得出∠AOB=∠DBC，再运用相似三角形判定定理即可证得结论；
（3）运用待定系数法求出直线AD、BC的解析式，联立方程组求得E（，），过点E作x轴的平行线交函数的对称轴于点M，设EF绕点E顺时针旋转90°交抛物线于点G，过点G作GN∥y轴直线ME于点N，易证△EFM≌△GEN（AAS），进而得点G（1±，2），再分类讨论即可．
【详解】
解：（1）∵m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：(x+1)(x-3)=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴m=-1，n=3，
∴A（-1，0），B（0，3），
把（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c得，
，
解得：，
∴函数解析式为y=-x2+2x+3．
（ 2）证明：令y=-x2+2x+3=0，即x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点为A（-1，0），C（3，0），
∴OA=1，OC=3，
∴对称轴为：x==1，顶点D（1，4），
∴BC=，BD=，DC=，
∵CD2=DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC=90°，
∴∠AOB=∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，
∴，
∴△BCD∽△OBA；
（ 3）存在符合条件的点F．
∵A（-1，0），D（1，4），
∴AD的解析式为y=2x+2，
∵B（0，3），C（3，0），
∴BC的解析式为y=-x+3，
联立AD和BC的解析式得2x+2=-x+3，
解得：x=，
∴E（，），
过点E作x轴的平行线交函数的对称轴于点M，设EF绕点E顺时针旋转90°交抛物线于点G，过点G作GN∥y轴直线ME于点N，

又∵y轴⊥x轴，对称轴DH⊥x轴，
∴∠EMF=∠GNE=∠GEF=90°，EF=EG，
∴∠NGE+∠NEG=90°，∠NEG+∠MEF=90°，
∴∠MEF=∠NGE，
在△EFM和△GEN中，
，
∴△EFM≌△GEN（AAS），
∴GN=EM=，EN=FM，
∴点G的纵坐标为：=2，
由-x2+2x+3=2，
解得：x=1±，
当点F在点M的下方时，

FM=EN=（1）=，
∴FH=（）=，
∴F（1，），
当点F在点M的上方时，
FM=EN=（1+），
∴FH=（）+，
∴F（1，），
∴F（1，）或（1，）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，勾股定理及其逆定理，旋转的性质等；解题关键是应用了分类讨论的思想．
26．（1）；（2）M(1，0)或(﹣3，4)；（3）
【分析】
（1）由顶点D的横坐标为 ，可以设二次函数的顶点式，代入点B和C点坐标，得到一个关于a和c的方程组，求解方程组，即可解决；
（2）因为线段PA绕着点P顺时针方向旋转90°得到线段PM，所以PA＝PM，∠APM＝90°，过M作MF⊥PD于F，可以证明△APE≌△PMF，设出P点坐标，可以得到M点坐标，将M点坐标代入到抛物线解析式中，即可求出参数，求得M点坐标；
（3）设出点Q点坐标，由Q和B点坐标，利用待定系数法求出直线BQ的解析式，得到P点和直线BQ与y轴交点G的坐标，同理，得到CQ的解析式，求出N和C的坐标，用参数表示出线段PN的长度，求出△PNQ的面积表达式，同理，得到△QBC的面积表达式，利用△QPN的面积等于△QBC面积的一半，列出方程，即可求解．
【详解】
解：（1）∵顶点D的横坐标为，
∴设抛物线解析式为：，
代入点C和点B的坐标可得，
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝，与x轴的一个交点坐标B为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣4，0），且E的坐标为（，0），
∵线段PA绕着点P顺时针方向旋转90°得到线段PM，
∴PA＝PM，∠APM＝90°，
过M作MF⊥DE于F，如图1，

∴∠AEP＝∠PFM＝90°，
∴∠APE+∠MPF＝∠APE+∠PAE＝90°，
∴∠PAE＝∠MPF，
在△APE与PMF中，
，
∴△APE≌△PMF（AAS），
∴AE＝FP＝，PE＝MF，
设P（，n），
则PE＝MF＝n，
∴ ，
∵点M落在抛物线上，
∴，
∴或，
∴M（1，0）或（﹣3，4）；
（3）∵＝﹣x2﹣3x+4，
∴可设Q（m，﹣m2﹣3m+4），
设直线BQ为：y＝k（x﹣1），
代入点Q得，k（m﹣1）＝﹣m2﹣3m+4，
∴k＝﹣m﹣4，
∴直线BQ为：y＝（﹣m﹣4）x+m+4，
同理，直线CQ为：y＝﹣（m+3）x+4，
令x＝，则y＝（﹣m﹣4）x+m+4＝ ，
∴P（，），
同理，N（，），
∴PN＝﹣m，
∴S△QPN＝ ，
设直线BQ与y轴交于G点，如图2，

令x＝0，则y＝（﹣m﹣4）x+m+4＝m+4，
∴G（0，m+4），
∴CG＝4﹣m﹣4＝﹣m，
∴S△BCQ＝S△BCG+S△QCG＝，
∴s△QPN＝ ，
∴，
∴ ，
∴Q点的横坐标为．