（人教A版）高二数学上学期期末复习 第五章 一元函数的导数及其应用 题型归纳+随堂检测（基础篇）（2份，原卷版+解析版）

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1．若函数f(x)=x2+x，则函数f(x)从x=−1到x=3的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【解题思路】根据条件，直接求出f(−1)=0，f(3)=12，再利用平均变化率的定义即可求出结果.
【解答过程】因为f(x)=x2+x，所以f(−1)=(−1)2−1=0，f(3)=32+3=12，故函数f(x)从x=−1到x=3的平均变化率为ΔyΔx=f(3)−f(−1)3−(−1)=12−04=3，故选：B.
2．如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为st=2t ，那么该质点在t=3秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A．23 B．−23 C．29 D．−29
【解题思路】根据瞬时变化率的定义求解即可.
【解答过程】ΔsΔt=s3+Δt−s3Δt=23+Δt−23Δt=−233+Δt，所以limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0−233+Δt=−29.故选：D.
题型2
利用导数的定义解题
1．已知函数fx的导函数是f′x，若f′x0=2，则limΔx→0f(x0+12Δx)−f(x0)Δx=（ ）
A．12 B．1 C．2 D．4
【解题思路】根据导数定义，将增量化成12Δx0即可得到.
【解答过程】因为f′x0=2所以limΔx→0f(x0+12Δx)−f(x0)Δx=12limΔx→0f(x0+12Δx)−f(x0)12Δx=12f′(x0)=1故选：B.
2．定义在R上的函数y=fx在区间2,2+ΔxΔx>0内的平均变化率为ΔyΔx=Δx2+2Δx+1，其中Δy=f2+Δx−f2，则函数fx在x=2处的导数f′2=（ ）
A．−1 B．1 C．3 D．9
【解题思路】利用导数的定义可求得f′2的值.
【解答过程】由导数的定义可得f′2=limΔx→0f2+Δx−f2Δx=limΔx→0Δx2+2Δx+1=1，故选：B.
题型3
求曲线切线的斜率（倾斜角）
1．设fx为可导函数，且lim△x→0f1−f1−2△x△x=−1，则曲线y=fx在点1,f1处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．−12
【解题思路】利用导数的定义及几何意义进行求解.
【解答过程】由导数的几何意义，点1,f1处的切线斜率为f′(1)，
因为△x→0时，f1−f1−2△x△x→−1，所以f′(1)=lim△x→0f1−f1−2△x2△x=12lim△x→0f1−f1−2△x△x=−12，
所以在点1,f1处的切线斜率为−12，故选：D.
2．设limΔx→0f2+Δx−f2−ΔxΔx=−2，则曲线y=fx在点2,f2处的切线的倾斜角是（ ）
A．π4 B．π3 C．3π4 D．2π3
【解题思路】根据导数的概念可得f′2=−1，再利用导数的几何意义即可求解.
【解答过程】因为limΔx→0f2+Δx−f2−ΔxΔx=2f′2=−2，所以f′2=−1，则曲线y=fx在点2,f2处的切线斜率为−1，故所求切线的倾斜角为3π4.故选：C.
题型4
求（复合）函数的导数的方法
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．(3x)′=3xlg3e B．(lgx)′=1xln10 C．(csx)′=sinx D．(x2csx)′=−2xsinx
【解题思路】根据导数运算求得正确答案.
【解答过程】A选项，(3x)′=3x⋅ln3，所以A选项错误.B选项，(lgx)′=1xln10，所以B选项正确.
C选项，(csx)′=−sinx，所以C选项错误.D选项，(x2csx)′=2xcsx−x2sinx，所以D选项错误.
故选：B.
2．下列求导运算正确的是（ ）
A．lnx+3x′=1x+3x2 B．x2ex′=2xex
C．excs2x′=excs2x−2sin2x D．ln12+lnx'=2+1x
【解题思路】根据导数的运算法则求导后判断．
【解答过程】lnx+3x′=1x−3x2，A错；x2ex′=(x2)′ex+x2(ex)′=2xex+x2ex，B错；
excs2x′=(ex)′cs2x+ex(cs2x)′=excs2x−2⋅exsin2x=excs2x−2sin2x，C正确；
ln12+lnx′=1x，D错．故选：C．
3．已知函数fx满足fx=f′π3sinx−csx.
(1)求fx在x=π3处的导数；
(2)求fx的图象在点π3,fπ3处的切线方程.
【解题思路】（1）求导，再令x=π3即可得出答案；
（2）由（1）求得fπ3，再根据导数的几何意义即可得出答案.
【解答过程】（1）由fx=f′π3sinx−csx，得f′x=f′π3csx+sinx，
则f′π3=f′π3csπ3+sinπ3=12f′π3+32，所以f′π3=3；
（2）由（1）得fx=3sinx−csx，则fπ3=32−12=1，
所以fx的图象在点π3,fπ3处的切线方程为y−1=3x−π3，即3x−y−33π+1=0.
题型5
已知切线（斜率）求参数
1．若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切线方程为x−y+1=0，则a，b的值分别为（ ）
A．1，1 B．−1，1 C．1，−1 D．−1，−1
【解题思路】利用切点处的导数等于切线斜率，结合切点在切线上可得.
【解答过程】解：因为y'=2x+a，所以y′|x=0=a
∵曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线x−y+1=0的斜率为1，∴a=1，
又切点(0,b)在切线x−y+1=0上，∴0−b+1=0∴b=1．故选：A．
2．已知曲线y=ex+ax在点0,1处的切线与直线2x−y+3=0平行，则实数a等于（ ）
A．−32 B．−12 C．1 D．2
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
【解答过程】因为y=ex+ax，所以y′=ex+a，则曲线y=ex+ax在点0,1处的切线斜率为y′x=0=1+a，又因为直线2x−y+3=0斜率为2，所以1+a=2，即a=1.故选：C.
3．已知函数f(x)=x2(x−a).
(1)当x∈(0,1)时，函数f(x)的图像上任意一点处的切线斜率为k，若k≥−3，求实数a的取值范围；
(2)若a=−2，求曲线y=f(x)过点M(−1,f(−1))的切线方程.
【解题思路】(1)根据导数的几何意义可得当x∈0,1时，f′(x)=3x2−2ax≥−3恒成立，分类参数，结合对勾函数的性质即可求解；
(2)设切点，根据导数的几何意义求出切线方程，将M−1,1代入切线方程计算即可.
【解答过程】（1）函数f(x)=x2(x−a)的导数为f′(x)=2x(x−a)+x2=3x2−2ax，
由题意可得当x∈0,1时，3x2−2ax≥−3恒成立，即有2a≤3x+1x，由勾函数的性质知，
函数y=3x+1x在(−∞,−1)和(1,+∞)上单调递增，在(−1,0)和(0,1)上单调递减，
所以3(x+1x)>3(1+11=)6，即有2a≤6，则a≤3，所以a的取值范围是−∞,3.
（2）函数f(x)=x2(x+2)的导数为f′(x)=3x2+4x，
设切点为m,n，则n=m3+2m2，fx在x=m处的斜率为k=3m2+4m，
即有切线方程为y−n=3m2+4m(x−m)，
将M−1,1代入可得1−m3−2m2=3m2+4m(−1−m)，
整理可得(m+1)2(2m+1)=0，解得m=−1或m=−12，
即有所求切线的方程为y−1=−x+1或y−1=−54(x+1)，即y=−x或y=−54x−14.
题型6
导数中函数图象的应用
1．如图，函数y=fx的图象在点P1,y0处的切线是l，则f1+f′1=（ ）

A．1 B．2 C．0 D．−1
【解题思路】根据函数图象中的数据求出切线l的方程，从而可求出点P的纵坐标，则可得f(1)，求出直线的斜率可得f′(1)的值，从而可得答案.
【解答过程】由图象可得切线过点(2,0),(0,2)，所以切线l的方程为x2+y2=1，即y=2−x，所以切线的斜率为−1，所以f′(1)=−1，因为点P1,y0在切线上，所以y0=2−x0=2−1=1，所以f(1)=1，所以f1+f′1=1−1=0，故选：C.
2．函数y=f(x)的图象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）

A．f′(2)1时，g′x>0,gx单调递增，当02，∴g′x>0，则gx是−5,5上的增函数.
不等式2x−3f2x−3−x−1fx−1>2x−4等价于
2x−3f2x−3−22x−3>x−1fx−1−2x−1，即g2x−3>gx−1，
则−5