第5章一元函数的导数及其应用 基础测试（2）-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册章节复习

人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用基础检测2

一、单选题

1．已知函数在处的导数为1，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

2．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

3．函数的导函数为（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（    ）

A． B． C． D．

6．如果一个物体的运动方程为，其中的单位是千米，的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（    ）

A．12千米/小时 B．24千米/小时 C．48千米/小时 D．64千米/小时

7．已知函数，则）的极大值点为（    ）

A． B． C． D．

8．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

9．与是定义在上的两个可导函数，若,满足,则与满足（ ）

A． B．为常数函数

C． D．为常数函数

10．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（   ）

A． B． C． D．

11．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

13．函数在处的切线的斜率为_________.

14．函数的极小值点为___________．

15．已知函数，则在上的最小值是_______________.

16．在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线方程为（e是自然对数的底数），则实数a的值是_____________.

三、解答题

17．已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值.

18．函数，曲线在点处的切线在轴上的截距是.

（1）求；

（2）讨论的单调性.

19．已知函数.

（1）当时，求函数的在(3，)处的切线方程；

（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.

20．已知函数在时有极值0．

（1）求常数，的值；

（2）求在区间上的最值．

21．已知函数.

（1）求在处的切线的方程；

（2）求函数的单调区间.

22．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

参考答案

1．B

【分析】

由已知结合导数的定义即可直接求解.

【详解】

解：因为函数在处的导数为1，

则.

故选：B.

【点睛】

本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．

2．A

【分析】

首先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义求切线方程.

【详解】

，，根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.

故选：A

【点睛】

本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.

3．D

【分析】

利用导数的运算法则即可得出.

【详解】

，

故选：.

【点睛】

本题考查了导数的运算法则，属于基础题.

4．C

【分析】

根据函数的图象，依次判断在区间，，，上的单调性即可．

【详解】

由函数的图象可知：

当时，，，此时单调递增；

当时，，，此时单调递减；

当时，，，此时单调递减；

当时，，，此时单调递增．

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．C

【分析】

计算，然后根据，可得，最后可得结果.

【详解】

由题可知：，

则解得，.

经检验，当，时，在处取得极大值，

所以.

故选：C

【点睛】

本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.

6．C

【分析】

对v求导，代入t值即可.

【详解】

由，则当，

故选：C.

【点睛】

本题考查了瞬时变化率、导数的概念的问题，属于基础题.

7．C

【分析】

求出函数的导函数，进而求出导函数大于0以及小于0的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.

【详解】

解：由，

得：.

由，得：，或.

由，得：.

所以函数的增区间为.函数的减区间为.

所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点.

故选：C.

【点睛】

本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.

8．D

【分析】

求导，，由即可得解.

【详解】

函数的定义域是，，

令，解得，

故函数在上单调递减，

选：D.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题.

9．B

【详解】

，则为常数．

故选：B.

10．D

【分析】

求得函数的导数，然后令，求得的值.

【详解】

依题意，令得，，故选D.

【点睛】

本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.

11．B

【分析】

利用导数的几何意义即可求解.

【详解】

由图可知：，

即.

故选：B

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.

12．A

【分析】

根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.

【详解】

由导函数f′(x)的图象知

在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；

在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；

在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；

所以f(x)的极小值点的个数为1，

故选：A

【点睛】

本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.

13．1

【分析】

直接利用导数的几何意义求解即可

【详解】

解：由，得，

则，

所以在处的切线的斜率为1

故答案为：1

【点睛】

此题考查导数的几何意义的应用，属于基础题

14．2

【分析】

对求导，令后，分析取得正负时x的范围，从而得出在相应区间的单调性，得出极值点.

【详解】

因为，所以，令，得，

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以在时取得极小值，

故填：2.

【点睛】

本题考查函数的导函数与函数的单调性和极值的关系，属于基础题.

15．

【分析】

利用导函数可知在上，有单调递减，即可求区间内最小值.

【详解】

在上，有，知：单调递减，

∴，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数单调性求区间最值，属于基础题.

16．3

【分析】

求导，代入，可求得答案.

【详解】

由，得，故.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查导函数的几何意义，根据曲线的切线方程求参数的值，属于基础题.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；

（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.

【详解】

（1），函数在处取得极值，所以有；

（2）由（1）可知：，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，

，，故函数的最小值为.

【点睛】

本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.

18．（1）7；（2）在单调递增.

【分析】

(1)求得的导数，可得切线的斜率和切点，以及切线方程，代入，解方程可得a;

(2）求得g (x）的解析式和导数，分解因式可得导数的符号，进而判断单调性;

【详解】

（1）函数的导数为

曲线在点处的切线斜率为切点为，

所以切线方程为，

代入可得，

解得

（2）

，

当时，，在上单调递增.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用导数的运用求切线方程和单调性，关键在于正确求出函数的导数，考查方程思想和化简运算能力，属于综合题．

19．（1）y=9；（2）或.

【分析】

（1）求出以及，即可求出切线方程；（2）对任意恒成立，等价于对任意恒成立，令，求出的最大值，即可求出的范围.

【详解】

解：（1）时，，

，，

所以函数在处的切线方程为：

（2）因为，

由题意得：对任意恒成立，

即对任意恒成立，

设，所以，

所以当时，有最大值为，

所以，解得或，

所以，实数的取值范围为或.

【点睛】

本题考查已知恒成立求参数问题，属于基础题.

方法点睛：（1）参变分离

（2）的恒成立问题转化为

（3）求出在已知范围下函数的值域

（4）求解参数

20．（1），；（2）最小值为0，最大值为4．

【分析】

（1）已知函数在处有极值0，即，，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得、的值；

（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．

【详解】

（1），

由题知：，

联立（1）、（2）有或．

当时在定义域上单调递增，故舍去；

所以，，经检验，符合题意．

（2）当，时，，

故方程有根或，

由得，

由得，

函数的单调增区间为：，，减区间为：．

函数在取得极大值，在取得极小值；

经计算，，，，

所以函数的最小值为0，最大值为4．

【点睛】

关键点睛：解题的关键是求出后，求出，然后，利用导数求出函数的单调性、最值问题，属于基础题．

21．（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是.

【分析】

（1）先利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可；

（2）利用导数正负确定函数的单调区间即可.

【详解】

解：（1）函数，则，故在处的切线的斜率，故切线的方程是，即；

（2）令，得或，令，得，

故函数的单调增区间是，单调减区间是.

22．（1）或；（2）最小值，最大值.

【分析】

（1）直接解不等式可得不等式的解集；

（2）对函数求导，令，求出方程根，得出单调性可得函数的最值．

【详解】

（1）因为，

由，得.

所以或.

所以不等式的解集为或；

（2）由得：.

令，得，或（舍）.

与在区间[0，2]上的情况如下：

所以当时，取得最小值；

当时，取得最大值.