第5章一元函数的导数及其应用 基础测试（1）-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册章节复习

人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用基础检测1

一、单选题

1．函数的导数是（    ）

A． B． C． D．

2．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（    ）

A．e B． C．1 D．

3．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

4．函数的图像在点处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

5．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（    ）

A． B．1 C．或1 D．或1

6．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．已知函数，则其单调增区间是（    ）

A． B． C． D．

8．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（    ）

A． B．

C． D．

9．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（    ）

A． B．6 C．12 D．

10．函数在处取得极值，则（    ）

A．，且为极大值点 B．，且为极小值点

C．，且为极大值点 D．，且为极小值点

11．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）

A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数

B．在x＝1时，f（x）取得极大值

C．在（4，5）内f（x）是增函数

D．在x＝2时，f（x）取得极小值

12．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．函数的单调递减区间是______．

14．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有______个.

15．设函数的导函数是，若，则____________．

16．已知曲线(为自然对数的底数)在处的切线斜率等于，则实数___________.

三、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

18．（1）求导：

（2）求函数在处的导数.

19．已知函数.

（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.

（2）若的单调递减区间为，求a的值.

20．已知函数，且.

（1）求的值；       

（2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.

21．已知.

（1）当时，讨论的单调区间；

（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.

22．已知函数

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：

参考答案

1．B

【分析】

根据导数的计算公式计算即可.

【详解】

解：，

.

故选：B .

2．B

【分析】

先设出切点坐标为，则由导数的几何意义可得切线的斜率为，从而可得切线方程为，再将原点坐标代入可得切点的纵坐标，再将代入曲线方程中可求出的值，进而可得切线的斜率

【详解】

解：设切点坐标为，

由，得，所以切线的斜率为，

所以切线方程为，

因为切线过原点，所以，得，

因为切点在曲线上，所以，解得，

所以切线的斜率为，

故选：B

3．C

【分析】

根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.

【详解】

因为，

所以，则曲线在点处的切线斜率为，

故所求切线的倾斜角为.

故选：C

4．A

【分析】

求导，再分别求得，，由点斜式写出切线方程.

【详解】

由题意可得，则．

因为，

所以，

则所求切线方程是，即．

故选：A

5．A

【分析】

利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．

【详解】

解：，于是切线的斜率，

切线与直线平行

，

，

时，，切点是，

切线的斜率，

故切线方程是：，

即和直线重合，

故，

故选：A．

6．B

【分析】

通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．

【详解】

由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，

知在，上，

所以此时函数在，上单调递增，

在上，，此时在上单调递减，

所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．

则函数的极小值点的个数为1．

故选: B

【点睛】

本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．

7．A

【分析】

求导，求函数的单调递增区间，即求不等式，解不等式即可的答案.

【详解】

由，函数定义域为，

求导，令，得或（舍去）

所以单调增区间是

故选：A.

8．C

【分析】

根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；

函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型.

9．A

【分析】

先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.

【详解】

由，得，

则曲线在点处的切线斜率为，得.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.

10．B

【分析】

先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值．

【详解】

解：∵，

∴，

又在处取得极值，

∴，得，

∴，

由得，，即，

∴，即，

同理，由得，，

∴在处附近的左侧为负，右侧为正，

∴函数在处取得极小值，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．

11．C

【分析】

根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；

对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；

对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；

对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查函数单调性和极值的图形特征，是基础题.

12．B

【分析】

根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.

【详解】

单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长

速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量

的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，

故函数的图象应一直下凹的.

故选B.

【点睛】

本题考查变化率的知识，实质上是考查曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.

13．

【分析】

求出导函数，在上解不等式可得的单调减区间．

【详解】

，其中，

令，则，故函数的单调减区间为，

故答案为：．

【点睛】

一般地，若在区间上可导，我们用求，则在上的减区间，反之，若在区间上可导且为减函数，则，注意求单调区间前先确定函数的定义域．

14．2

【分析】

根据导函数的图像求出函数的单调区间，由极值点的定义即可求解.

【详解】

由导函数的图像可知，

函数的单调递增区间为，，

单调递减区间为，

所以为极大值点，为极小值点，

所以函数的极值点有2个.

故答案为：2

15．0

【分析】

直接对原函数求导即得解.

【详解】

∵，

∴，

∴，

∴．

故答案为：0

【点睛】

本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16．1

【分析】

由导数的几何意义知，即可求参数即可.

【详解】

由函数解析式，知：，

依题意：，

∴，则，

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了根据导数的几何意义求参数，属于简单题.

17．（1）；（2）最大值为，最小值为

【分析】

（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；

（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.

【详解】

（1），

令，得，所以的减区间为.

（2）由（1），令，得或知：，为增函数，

，为减函数，，为增函数.

，，，.

所以在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.

18．（1）；（2）1；

【分析】

（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案；

（2）求导后可得，再将代入即可得答案；

【详解】

（1）；

（2）；

【点睛】

本题考查导数的四则运算，属于基础题.

19．（1）；（2）3.

【分析】

（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；

（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案

【详解】

（1）因为，且在区间上为增函数，

所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，

所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是

（2）由题意知.因为，所以.

由，得，

所以的单调递减区间为，

又已知的单调递减区间为，

所以，

所以，即.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.

20．（1）；（2）

【分析】

（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值；

（2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值.

【详解】

解：（1）因为，所以，

因为,

所以,

解得

所以.

（2）由（1）可知，则，

令，得,

和的变化情况如下表：

因为，

所以函数在上的最大值为,

所以，解得,

所以,

由上面可知在上单调递增，在上单调递减；

又因为，

所以函数在上的最小值为.

【点睛】

此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题.

21．（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）

【分析】

（1）计算，根据与，可得结果.

（2）利用等价转化的思想，在上恒成立，然后根据的单调性，简单计算，可得结果.

【详解】

（1）当时，

则，

令，得

令，得

所以的单调递增区间为

单调递减区间为

（2）由题可知：在定义域R内单调递增

等价于

由在上单调递增，又

则

【点睛】

本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题.

22．(1).

(2)证明见解析.

【解析】

分析：（1）求切线方程先求导，然后代入切点横坐标的出切线斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可.

（Ⅰ）

所以则切线方程为

（Ⅱ）令则设的两根为，

由于不妨设则在是递减的，在是递增的，

而所以在单调递增，

所以，因为

所以.

点睛：考查导数的几何意义和单调性最值的应用，属于常规题.