第5章一元函数的导数及其应用 综合测试（2）-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册章节复习

人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用综合检测2

一、单选题

1．曲线在点处切线的斜率为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．设是可导函数，且，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

3．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（    ）

A． B．

C． D．

4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

5．函数在时有极值0，那么的值为（    ）

A．14 B．40 C．48 D．14或40

6．函数的导函数为，若已知的图象如图，则下列说法正确的是（    ）

A．一定为偶函数 B．在单调递增

C．一定有最小值 D．不等式一定有解

7．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（    ）

A．0 B．1

C．2 D．

8．已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

9．函数是上的单调函数，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

10．函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知锐角，满足，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知，为实数，函数在点处的切线方程为，则的值为______．

14．函数的最大值为________.

15．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为_____

16．已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，，则不等式的解集为______

三、解答题

17．（1）求函数的极小值；

（2）求函数的单调减区间.

18．已知函数及点，过点作直线与曲线相切

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求曲线过点的切线的斜率.

19．设函数过点

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

20．已知二次函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性

21．已知函数，a为实数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.

22．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数（其中是的导函数）有两个极值点、，且，求的取值范围.

参考答案

1．C

【分析】

求得函数的导数，由导数的几何意义，可令，计算可得所求切线的斜率.

【详解】

解：的导数为，

可得曲线在点处切线的斜率为.

故选：C.

【点睛】

本题考查导数的运用：求切线的斜率，熟练掌握导数的运算性质是解题的关键，是一道基本题.

2．D

【分析】

由导数的定义可得，即可得答案．

【详解】

根据题意，，

故.

故选：D．

【点睛】

本题考查导数的定义，属于基础题．

3．C

【分析】

设函数，得到，得到在区间上为单调递减函数或常数函数，结合，即可求解.

【详解】

由题意，设函数，则，

所以函数在区间上为单调递减函数或常数函数，

因为，所以，即.

故选：C.

4．B

【分析】

根据图象得出的单调性即可.

【详解】

由图可知在，上递减，在，上递增，

故

故选：B

5．B

【分析】

由导数与函数的关系得出的值，再检验，或，是否成立.

【详解】

函数，

若在时有极值0，可得

则，解得：，或，

当，时，，满足题意函数在时有极值0．

当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．

．

故选：B

6．C

【分析】

A.由函数判断；B.由的图象判断； C.由结合函数的单调性判断；D.最小值是和正负不一定判断.

【详解】

A. 如函数为，则符合题意，但不是偶函数，故错误；

B.由的图象，得在递减，递增；在递减，在递增，故错误；

C.由，所以存在极小值和，无论是否存在，均可得出一定有最小值，故正确；

D.最小值不一定为负数，故错误；

.故选：C.

7．C

【分析】

利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.

【详解】

，易知，当时，，当或时，，

所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，

，当时，，所以最大值为，解得.

故选：C

8．D

【分析】

求出导函数，结合函数图象求出成立的x的范围即可.

【详解】

解：，

由图象：和时，，即，

故在上递减，

故选：D.

9．D

【分析】

函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．

【详解】

函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立

，解得

故选：D

【点睛】

本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．

10．B

【分析】

求导，可得在的单调性，利用单调性，即可得答案.

【详解】

因为，

所以，

当时，，则在为减函数，

因为，

所以，即，

故选：B

11．A

【分析】

先求导数，利用单调性转化为，构造新函数求解的最小值即可.

【详解】

，由题意可知在恒成立，

即恒成立，

设，

时，，为减函数；

时，，为增函数；

的最小值为，所以，

故选：A.

【点睛】

利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：

（1）在区间上单调递增等价于在区间上恒成立；

（2）在区间上单调递减等价于在区间上恒成立.

12．D

【分析】

结合已知条件，构造函数，得：，根据选项，逐一验证即可.

【详解】

，

即，

设，则，

所以在上是减函数，所以，

由在上是增函数，得，即，

同理可得，所以

故选：D

【点睛】

解题关键在于利用，变为，进而构造，

再利用导数进行判断选项，难度属于中档题

13．

【分析】

先求导，由直线的点斜式求得切线方程，再对照系数建立关于的方程组，解之可求得答案.

【详解】

因为，所以在处的切线为．

，解得，．

故答案为：.

14．

【分析】

先求导，根据单调性求函数最大值即可.

【详解】

解：，

∴当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

∵，∴的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论，基础题.

15．

【分析】

令，则，可以判断出在上单调递增，再由，，根据单调性即可比较大小.

【详解】

令，则，

因为对于恒成立，

所以，

所以在上单调递增，

，

，

，

因为，所以，所以，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用导数判断出在上单调递增，更关键的一点要能够得出，，，根据单调性即可比较大小.

16．

【分析】

根据条件可得函数为偶函数，且在单调递减，从而可得不等式.

【详解】

当时，，且为偶函数，

在单调递减，

，

解得：，

故答案为：.

【点睛】

求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等价转化.

17．（1）；（2）

【解析】

分析：（1）求函数导数，令导函数为0，根据单调性可得极小值；

（2）求函数导数，令导函数小于0即可解得减区间.

详解：（1），

令，得，，且时，；

时，；时，

故在时取得极小值.

（2）函数的定义域为，

，

令，即：，解得：

所以函数的单调递减区间为.

点睛：求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.

18．（1）（2）或

【分析】

（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；

（2）利用导数的几何意义和斜率公式可解得结果.

【详解】

（1）因为，所以，

所以切线的斜率为，又，

所以切线方程为，即.

（2）设切点为，

则，整理得，解得或，

所以切线的斜率为或，

综上所述：切线的斜率为或

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，属于基础题.

19．（1）增区间，，减区间，极大值，极小值．（2）最大值，最小值．

【分析】

（1）将点代入函数解析式即可求得a，对函数求导，分析导函数的正负，确定单调区间及极值；

（2）分析函数在此区间上的单调性，由极值、端点值确定最值.

【详解】

（1）∵点在函数的图象上,∴,解得,∴,∴,当或时, ,单调递增;当时, ,单调递减.∴当时, 有极大值,且极大值为,当时, 有极小值,且极小值为
（2）由1可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.∴ ,又,,∴

【点睛】

本题考查函数单调区间、极值和最值的求法，求极值与单调区间都要分析导函数的零点，但是注意导函数的零点并非一定是极值点，要结合零点两侧的单调性进行判断.

20．（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）对函数求导，根据导数的几何意义，先求出切线斜率，进而可得切线方程；

（2）先对求导，分别讨论，两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，即可得出结果.

【详解】

（1）由得，

则在点处的切线斜率为，

又，

所以在点处的切线方程为，即；

（2）因为

所以

当时，在上恒正；

所以在上单调递增

当时，由得，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

综上所述，

当时，在上单调递增；

当时，当时，单调递减； 当时，单调递增.

【点睛】

本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法求函数单调性，属于常考题型.

21．（1）答案见解析；（2）.

【分析】

（1）求出函数的导函数，对和进行比较即可得到的单调性；

（2）根据的取值范围，分和进行求解，当时分离出，根据的单调性，即可得出的取值范围.

【详解】

（1），

当，即时，，在R上单调递增，

当，即时，由得或，由得.

分别在与上单调递增，在单调递减，

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，分别在与单调递增，在单调递减.

（2）由已知得在区间上恒成立，

在区间上恒成立，

当时，；当时，.

而在上单调递增，时，，则.

综上.

【点睛】

本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，属于中档题.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）对函数进行求导，求出点处的切线的斜率，用点斜式求出切线方程；

（2）利用函数有两个极值点，得a与两极值的关系，，，，可得，，令，，求新函数在区间的最值可得其取值范围.

【详解】

（1）的定义域为，.

而，即，

故所求切线的斜率为，

所以方程为

（2），

则的定义域为，

，

若有两个极值点、，且

则方程的判别式，

且，，

得，且.

所以

设，

则在上恒成立

故在单调递减，

从而，

所以的取值范围是.

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是化简，再构造函数，再利用导数求函数的值域.