（人教A版）选择性必修二高二数学上学期期末复习 第五章 一元函数的导数 题型归纳+随堂检测（拔尖篇）（2份，原卷版+解析版）

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1．过坐标原点作曲线y=ex−2+1的切线，则切线方程为（ ）
A．y=xB．y=2xC．y=1e2xD．y=ex
【解题思路】设切点坐标为(t,et−2+1)，求得切线方程为y−(et−2+1)=et−2(x−t)，把原点(0,0)代入方程，得到(t−1)et−2=1，解得t=2，即可求得切线方程.
【解答过程】由函数y=ex−2+1，可得y′=ex−2，设切点坐标为(t,et−2+1)，可得切线方程为y−(et−2+1)=et−2(x−t)，把原点(0,0)代入方程，可得0−(et−2+1)=et−2(0−t)，即(t−1)et−2=1，解得t=2，所以切线方程为y−(e0+1)=e0(x−2)，即y=x.故选：A.
2．已知a为实数，函数fx=3x3+2ax2+2+ax的导函数为f′x，且f′x是偶函数，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为（ ）
A．11x−y−6=0B．9x+y−6=0
C．5x−11y+2=0D．6x+5y−11=0
【解题思路】由偶函数的定义确定参数a的值，再根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.
【解答过程】因为f′x=9x2+4ax+2+a是偶函数，所以f′−x=9x2−4ax+2+a=9x2+4ax+2+a=f′x，所以a=0，故f′x=9x2+2，fx=3x3+2x，所以f1=5，f′1=11，故曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−5=11x−1，即11x−y−6=0.故选：A.
题型2
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
1．已知函数f(x)=ex−ax+b,g(x)=x2−x.若曲线y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线，则a，b的值分别为（ ）
A．e−1,−1B．−1,e−1C．e,−1D．−1,e
【解题思路】先根据y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线得出在x=1处两函数的导数相等,再由A(1,0)在y=f(x)上,列方程组求解即可.
【解答过程】因为g′(x)=2x−1，所以g′(1)=1,f′(x)=ex−a，
由题意，f'(1)=e−a=1,f(1)=e−a+b=0,解得a=e−1,b=−1.故选:A.
2．若对函数fx=2x−sinx的图象上任意一点处的切线l1，函数gx=mex+m−2x的图象上总存在一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则m的取值范围是（ ）
A．−e2,0 B．0,e2 C．−1,0 D．0,1
【解题思路】求导得到−1f′(x)范围A，再分m>0，m0时，导函数单调递增，g′x∈m−2,+∞，
由题意得∀x1,∃x2,f′(x1)g′x2=−1∴g′x2=−1f′(x1)∴A⊆B，故m−20，得x2，令f′x=x2−x−20，所以gx在0,+∞内是增函数．
取x=e−1a,ge−1a=−1+e−1a0，所以gx在0,+∞上有且仅有一个零点；
③当axa−lnxa，
构造函数hx=x−lnx,x>0，则h1ex>hxa．
而h′x=1−1x， 令h′x>0，解得x∈1,+∞，此时h(x)单调递增，
令h′x