第五章 一元函数的导数及其应用【章末复习】-2022-2023学年高二数学单元复习（人教A版2019选择性必修第二册）

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例1已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=- x+3垂直,求切点坐标与切线方程.分析求出函数的导数:(1)可利用切点(2,-6)求出切线斜率,写出切线方程; (2)设出切点坐标,表示出切线方程,利用切线过原点求解,也可以利用切点与原点连线的斜率等于导函数在切点处函数值列式求解;(3)设出切点坐标,利用两直线互相垂直时,斜率之积为-1,列方程求解.
(方法2)设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).
答案　2x＋y＋1＝0
题型2：函数的单调性、极值、最值问题
1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题. 是最近几年高考的重点内容，难度中高档.2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
【训练2】　已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性.
分析(1)求出函数的导数,根据导数的符号确定极值点,利用极大值为2求a,b满足的关系式;(2)可利用极值点x=a与区间[0,3]的位置关系,确定分类讨论标准后,分类讨论求最小值.
解 (1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,因为a>0,所以x1(2)当0(1)当a＝－2时，求函数f(x)的极大值；(2)若函数f(x)有极大值，求实数a的取值范围.
解　(1)因为a＝－2，所以f′(x)＝1－2sin x.
(2)f′(x)＝1＋asin x.
①当|a|≤1时，|asin x|<1，
所以f(x)在x＝β处取得极大值.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－1).
题型3：导数在实际问题中的应用
1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具， 多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档.2.通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，提升逻辑推理及数学运算等核心素养.
例4　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
解　因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去).当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；
由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
变式训练 4某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距a m,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ )x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
题型4：　导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.
例6 已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.若方程f(x)=g(x)在区间[ ,e]上有两个不相等的实数根,求a的取值范围.
解　函数f(x)的定义域为{x|x≠a}.(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，即f(x)在(a，＋∞)上无零点.
令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1).由g′(x)＝0得x＝a－1.当x＜a－1时，g′(x)＜0；当x＞a－1时，g′(x)＞0，
∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，a)上单调递增，∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.∴当a＝1时，g(a－1)＝0，则x＝a－1是f(x)的唯一零点；当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，则f(x)没有零点；当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，则f(x)有两个零点.