高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册简谐运动习题

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基础导学
要点一、弹簧振子
1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动．
2．弹簧振子：小球和弹簧组成的系统．
要点二、弹簧振子的位移—时间图像(x－t图像)
1．用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图1所示．
图1
2．振子的位移：振子相对平衡位置的位移．
3．图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是(选填“是”或“不是”)振子的运动轨迹．
要点三、简谐运动
1．简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线．
2．特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动．
3．简谐运动的图像
(1)描述振动物体的位移随时间的变化规律．
(2)简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势．
要点突破
突破一：弹簧振子
1.平衡位置：振子原来静止时的位置.平衡位置不一定是中心位置(如图所示物体的振动)，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图所示物体的振动).
2.弹簧振子是一种理想化模型.实际物体可看成弹簧振子的条件：
(1)不计摩擦阻力和空气阻力.
(2)不计弹簧的质量.
(3)物体可视为质点.
(4)弹簧的形变在弹性限度内.
3.弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小.
(2)速度及其变化
振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零.振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大.
(3)加速度及其变化
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力.不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大.
突破二：简谐运动及其图象
1.对x－t图象的理解
x－t图象上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律.
注意 x－t图象不是振子的运动轨迹.
2.简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.
3.x－t图象的应用
(1)可直接读出不同时刻t的位移x值.位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图7甲所示.
(2)判断任意时刻质点的振动方向.看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻比t0时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动.
(3)速度的大小和方向可根据图象上某点的切线的斜率判断.图象上某点切线的斜率大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向.在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大.
典例精析
题型一：弹簧振子模型
例一．如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M（最右端N）距离平衡位置的距离为l，规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法中正确的是（ ）
A．图中x0应为l
B．0～t1时间内振子由M向O运动
C．t1～t2时间内振子由M向O运动
D．0～t2时间内与t2～t3时间内振子运动方向相反
【答案】A
【详解】A．结合甲、乙两图可知t1时刻振子的位移为正值且最大，振子位于N，x0应为l，故A正确；B．0～t1时间内位移为正值，且逐渐增大，则振子由O向N运动，故B错误；C．t1～t2时间内位移为正值，且逐渐减小，则振子由N向O运动，故C错误；D．0～t2时间内振子先沿正方向运动到最大位移处，再沿负方向运动到位移为零处，t2～t3时间内先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处，故D错误。故选A。
变式迁移1：.如图所示，小球被套在光滑的水平杆上，跟弹簧相连组成弹簧振子，小球在平衡位置O附近的A、B间往复运动，以O为位移起点，向右为位移x的正方向，则
(1)速度由正变成负的位置在____________．
(2)位移方向改变的位置在____________，负向最大值的位置在____________．
【答案】(1)A (2)O B
【解析】位移、加速度等矢量方向改变的位置均在其位移为零处，再根据规定的正方向可确定(1)小球在A、B处速度为0，速度由正变成负的位置在A点．(2)位移的起点在O点，所以位移方向改变的位置在O点，负向最大值位置在B点．
变式迁移2：一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．在10 s内质点经过的路程是20 cm
B．在5 s末，质点的速度为零
C．t=1.5 s和t=2.5 s两个时刻质点的位移和速度方向都相反
D．t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是cm
【答案】C
【详解】A．由题图可知1s的路程为2cm，则10s内质点经过的路程为20cm，A正确，不符合题意；B．5s末，质点运动至最大位移处，速度为零，B正确，不符合题意；C．t=1.5s和t=2.5s两个时刻的位移方向相反，但速度方向相同，C错误，符合题意；D．题图对应的函数关系为
代入数据t=1.5s和t=4.5s可知，两个时刻的位移大小相等，都为cm，D正确，不符合题意。
故选C。
题型二：从弹簧振子认识简谐运动的特征
例二．弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是（ ）
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球位移最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
【答案】D
【详解】ABD．平衡位置是振动系统不振动时，小球（振子）处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，AB错误，D正确；C．当小球处于平衡位置时，位移是零，在小球位移最大时，加速度最大，C错误。故选D。
变式迁移3：2．做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的速度方向，下列说法正确的是（ ）
A．总是与位移方向相反
B．总是与位移方向相同
C．远离平衡位置时与位移方向相反
D．向平衡位置运动时与位移方向相反
【答案】D
【详解】做简谐运动的弹簧振子，速度方向与位移方向存在两种可能，因为位移的方向总是背离平衡位置，所以当振子靠近平衡位置时，二者方向相反，远离平衡位置时，二者方向相同。故选D。
题型三：简谐运动的特性
例三．.弹簧振子作简谐运动，在平衡位置O两侧B、C间振动，当时间t＝0时，振子位于B点(如图)，若规定向右的方向为正方向，则下图中哪一个图象表示振子相对平衡位置位移随时间变化的关系．( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】简谐运动的位移是指相对平衡位置的位移，是从初位置到末位置的有向线段；t＝0时刻，位移为负的最大值；简谐运动的位移随着时间按照正弦规律变化，故选A项．
变式迁移4：某弹簧振子的振动图象如图所示．根据图象判断，下列说法正确的是( )
A．第1 s内振子相对于平衡位置的位移与速度方向相反
B．第2 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cm
C．第2 s末和第3 s末振子相对于平衡位置的位移均相同，但瞬时速度方向相反
D．第1 s内和第2 s内振子相对于平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反
【答案】D
【解析】第1 s内振子相对于平衡位置的位移方向为正，速度方向也为正方向，A错；第2 s末振子在平衡位置，位移为零，B错；第3 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cm，C错；第2 s内振子相对于平衡位置的位移方向是正方向，速度方向为负方向，所以D正确．
强化训练
选择题
1．如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A．若位移为负值，则加速度一定为负值
B．小球通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．小球每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．小球每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
【答案】D
【详解】A．小球受的力指向平衡位置，小球的位移为负值时，受到的力为正值，小球的加速度为正值，A错误；B．当小球通过平衡位置时，位移为零，速度最大，B错误；C．小球每次通过平衡位置时，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同，C错误；D．小球每次通过同一位置时，位移相同，速度大小相等，但速度方向可能相同，也可能不同，D正确。故选D。
2．如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时刻振子的加速度最大
B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
C．t2时刻振子的位移为正的最大
D．t3时刻振子正通过平衡位置向负方向运动
【答案】A
【详解】A．从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，此时振子的加速度最大，故A正确；B．由图像知，t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，故B错误；C．由图像知，t2时刻振子在负的最大位移处，即位移为负的最大，故C错误；D．由图像知，t3时刻以后，振子的位移为正，所以t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，故D错误。故选A。
3．如图所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在间做简谐运动，是平衡位置。关于小球的运动情况，下列描述正确的是（ ）
A．小球经过点时速度为零
B．小球经过点与点时有相同的加速度
C．小球从点向点运动过程中，加速度增大，速度增大
D．小球从点向点运动过程中，加速度增大，速度减小
【答案】D
【解析】A．在平衡位置速度最大，故A错误；
B．小球经过点与点时位移等大，反向；根据，小球经过点与点时有相等的加速度，但方向相反，故B错误；
C．小球从点向点运动过程中，位移减小，根据，加速度减小，但速度增加，故C错误；
D．小球从点向点运动过程中，远离平衡位置，速度减小，加速度增加，故D正确。
故选D。
4．一简谐运动的图象如图所示,在0.1~0.15s 这段时间内 ( )
A．加速度增大,速度变小,加速度和速度的方向相同
B．加速度增大,速度变小,加速度和速度的方向相反
C．加速度减小,速度变大,加速度和速度的方向相反
D．加速度减小,速度变大,加速度和速度的方向相同
【答案】B
【解析】由图象可知，在t=0.1 s时，质点位于平衡位置，t=0.15 s时，质点到达负向最大位移处，因此在t=0.1~0.15 s这段时间内，质点刚好处于由平衡位置向负向最大位移处运动的过程中，其位移为负值，且数值增大，速度逐渐减小，而加速度逐渐增大，为加速度逐渐增大的减速运动，故加速度方向与速度方向相反，因此选项B正确．
6．如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个互相竖直平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( )
A．是机械振动，但不是简谐运动 B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动D．不是简谐运动，也不是机械振动
【答案】D
【解析】简谐运动的位移随时间的关系遵从正弦函数规律，其运动表达式为：x=Asinωt，小球的运动位移随时间的变化不遵从正弦函数的规律，所以不是简谐运动．机械振动是指物体或质点在其平衡位置附近所作有规律的往复运动，小球的运动也不符合，故小球在两墙壁间反弹运动不是简谐运动，也不是机械振动．故选D．
【点睛】某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置．只有满足这个条件的运动才能认为是简谐运动．
7．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时起点，其振动的x－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．t4时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小
【答案】C
【详解】AB．振子在A点和B点时位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，运动到B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故AB错误；CD．振子的位移以平衡位置为起点，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故C正确，D错误。故选C。
8．如图，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，以向右为正方向建立x轴。若振子位于N点时开始计时，则其振动图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设向右为x正方向，振子运动到N点时，振子具有正方向最大位移，所以振子运动到N点时开始计时振动图像应是余弦曲线，故ACD错误，B正确。故选B。
9．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一的周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间，关系的图像是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】某一时刻作计时起点（），经周期，振子具有正方向最大加速度，则其位移为负方向最大，说明时刻质点经过平衡位置向负方向运动，故A正确，BCD错误．
10．如图所示为某一质点在0～4s内的振动图像，下列叙述中正确的是（ ）
A．该质点2.5s时向正方向运动
B．该质点2.5s时加速度方向为负方向
C．该质点2s时加速度最大，且方向为负方向
D．该质点1s时加速度最大，且方向为负方向
【答案】D
【解析】A．根据振动图像切线的斜率表示速度，知t=2.5s时图线切线的斜率为负，速度为负，说明该质点2.5s时向负方向运动，故A错误；
B．t=2.5s时位移方向为负方向，加速度的方向与位移方向相反，所以加速度方向为正方向，故B错误；
C．该质点2s时位移为零，加速度为零，故C错误；
D．该质点1s时位移最大，且方向为正方向，加速度最大，且方向为负方向，故D正确。
故选D。
二、解答题
11.如图甲为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，图乙为弹簧振子的示意图，弹簧振子在F、G之间运动，E是振动的平衡位置，试根据图象分析以下问题：
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从初始位置开始，振子向________(填“右”或“左”)运动．
(2)在图乙中，找出图甲中的A、B、C、D点各对应振动过程中的哪个位置？A对应________，B对应________，C对应________，D对应________．
(3)在t＝2 s时，振子的速度的方向与t＝0时速度的方向________．
(4)振子在前4 s内的位移等于________．
【答案】(1)E 右 (2)G E F E (3)相反 (4)0
【解析】(1)由x－t图象知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从t＝0时刻开始，振子向正方向运动，即向右运动．
(2)由x－t图象知：B点、D点对应平衡位置E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点．
(3)t＝2 s时，图线斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，斜率为正，速度方向为正方向．故两时刻速度方向相反．
(4)4 s末振子回到平衡位置，故位移为零．
12．劲度为k的轻弹簧上端固定一只质量为m的小球，向下压小球后释放，使小球开始作简谐运动。该过程弹簧对水平面的最大压力是1.6mg。求：
（1）小球作简谐运动的振幅A是多大？
（2）当小球运动到最高点时，小球对弹簧的弹力大小和方向如何？
【答案】（1）；（2），方向向下
【详解】（1）小球做简谐运动的平衡位置处，设弹簧压缩量为，由回复力为零可得
选小球和弹簧整体为研究对象，由弹簧对水平面的最大压力是1.6mg，可知此时小球处于超重状态，设向上的加速度为a，在最低点由牛顿第二定律得
解得
设此时弹簧压缩量为，则有
由简谐运动情景可得
联立解得
（2）假设在最高点时小球对弹簧有压力，即小球受向上的支持力，由简谐运动的对称性可得在最高点，小球加速度仍为
且方向向下，取向下为正，对此时小球受力分析可得
联立可得
假设成立，小球对弹簧产生压力，大小为0.4mg，方向向下。