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数学苏科版第7章 锐角函数综合与测试同步训练题
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这是一份数学苏科版第7章 锐角函数综合与测试同步训练题，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）
A．500•sinα米B．米 C．500•csα米D．米
2．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则csC的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，设∠ABC=α，则下列结论错误的是（ ）
A．BC=B．CD=AD•tanαC．BD=ABcsαD．AC=ADcsα
4．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（ ）
A．S1=S2B．S1=S2C．S1=S2D．S1=S2
5．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（ ）
A．a•sinαB．a•csαC．a•tanαD．
6．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（ ）
A．5.2mB．6.8mC．9.4mD．17.2m
7．某实践小组去公园测量人工湖AD的长度.小明进行如下测量：点D在点A的正北方向，点B在点A的北偏东50°方向，AB=40米.点E在点B的正北方向，点C在点B的北偏东30°方向，CE=30米.点C和点E都在点D的正东方向，求AD的长（结果精确到1米）.（参考数据：≈1.732，sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）
8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）
A．20米B．米C．米D．米
9．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）.
A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m
二、填空题
10．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）。
11．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 米.
12．如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE= 米.
三、解答题
13．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度（结果保留根号）.
14．在一个阳光明媚，微风习习的周末，小明和小强一起到聂耳文化广场放风筝，放了一会儿，两个人争吵起来：
小明说：“我的风筝飞得比你的高”.
小强说：“我的风筝引线比你的长，我的风筝飞得更高”.
谁的风筝飞得更高呢？于是他们将两个风筝引线的一段都固定在地面上的C处（如图），现已知小明的风筝引线（线段AC）长30米，小强的风筝引线（线段BC）长36米，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°，请通过计算说明谁的风筝飞得更高？
（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
15．如图，一热气球在距地面90米高的P处，观测地面上点A的俯角为60°，气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，此时观测地面上点B的俯角为45°.（点P，Q，A，B在同一铅直面上）.
(1)若气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过几秒位于B点正上方？
(2)求AB的长（结果保留根号）.
16．钓鱼岛是我国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A，B的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处，测得端点A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D，并测得端点B的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB的距离.（结果精确到0.1公里，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）
17．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM.下面是两位同学的对话：
请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM.（参考数据：sin20°≈，cs20°≈，tan20°≈）
18．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414）
19．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
20．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）
21．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）.
22．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米.
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
答案
1．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）
A．500•sinα米B．米 C．500•csα米D．米
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据题意画出图形，再利用坡角的正弦值即可求解．
【解答】解：如图，∠A=α，AE=500．
则EF=500sinα．
故选A．
【点评】此题主要考查坡度坡角问题，正确掌握坡角的定义是解题关键．
2．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则csC的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC===2，
∴csC===．
故选B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，设∠ABC=α，则下列结论错误的是（ ）
A．BC=B．CD=AD•tanαC．BD=ABcsαD．AC=ADcsα
【考点】T7：解直角三角形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数求角边关系即可．
【解答】解：A．在Rt△ABC中，sinα=，
∴BC=，故A正确；
B．∵∠B+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠B=∠CAD=α，
在Rt△ADC中，tanα=，
∴CD=AD•tanα，
故B正确；
C．在Rt△ABD中，
csα=，
∴BD=AB•csα，
故C正确；
D．在Rt△ADC中，csα=，
∴AD=AC•csα，
故D错误；
故选D．
【点评】本题主要考查了直角三角形角边关系，熟练掌握边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）是解答此题的关键．
4．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（ ）
A．S1=S2B．S1=S2C．S1=S2D．S1=S2
【考点】T7：解直角三角形；K3：三角形的面积．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择．
【解答】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．
在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°，
∠DEH=180°﹣140°=40°，
在Rt△DHE中，DH=DE•sin40°=8sin40°，
S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，
S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．
则S1=S2．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形．
5．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（ ）
A．a•sinαB．a•csαC．a•tanαD．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据已知角的正切值表示即可．
【解答】解：∵AC=a，∠ABC=α，在直角△ABC中tanα=，
∴AB=．
故选D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
6．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（ ）
A．5.2mB．6.8mC．9.4mD．17.2m
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】三角尺和树构成直角三角形，根据一直角边和三角尺的度数，可将眼睛到树尖的距离求出，加上眼睛与地面的距离即为这棵树的高度．
【解答】解：由图中所示：眼睛到树尖的距离h1=tan30°×9=，
眼睛与地面之间的距离：h2=1.6，
∴这棵树的高度h=h1+h2=3+1.6≈6.8（m）．
故选B．
【点评】本题主要是将实际问题与解直角三角形联系起来，使求解过程变得简单．
7．某实践小组去公园测量人工湖AD的长度.小明进行如下测量：点D在点A的正北方向，点B在点A的北偏东50°方向，AB=40米.点E在点B的正北方向，点C在点B的北偏东30°方向，CE=30米.点C和点E都在点D的正东方向，求AD的长（结果精确到1米）.（参考数据：≈1.732，sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】首先过点B作BF⊥AD于点F，根据题意得在Rt△ABF中，∠A=50°，AB=40米，在Rt△BCF中，∠CBF=30°，CE=30米，直接利用三角函数的知识，可求得BE与AF的长，继而求得答案．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，
在Rt△ABF中，∠A=50°，AB=40米，
∴AF=AB•cs50°≈40×0.643=25.72（米），
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，CE=30米，
∴BE===30≈51.96（米），
∵四边形BEDF是矩形，
∴AD=AF+DF=25.72+51.96≈78（米）．
答：AD的长为78米．
【点评】此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形并解直角三角形是关键．
8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）
A．20米B．米C．米D．米
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．
【解答】解：∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB=2EG=30米，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
则BC=ABtan∠BAC=30×=10米．
如图，过点D作DF⊥AF于点F．
在Rt△AFD中，AF=BC=10米，
则FD=AF•tanβ=10×=10米，
综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
9．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）.
A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】选择题
【难度】易
【专题】12 ：应用题．
【分析】设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案．
【解答】解：设CD=x，
在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，
则tan30°=CD：AD=x：AD
故AD=x，
在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，
则tan60°=CD：ED=x：ED
故ED=x，
由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，
解得：x=2，
则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．
故选D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
10．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）。
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE是矩形，
根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，
∴DE=BC=18m，CD=BE，
在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），
在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），
∴DC=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．
故答案为：12．
【点评】本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．
11．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 米.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【【专题】填空题
【难度】中
【分析】在Rt△BDC中，根据∠BDC=45°，求出DC=BC=3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC=60°即可求出AC的高度．
【解答】解：在Rt△BDC中，
∵∠BDC=45°，
∴DC=BC=3米，
在Rt△ADC中，
∵∠ADC=60°，
∴AC=DCtan60°=3×=3（米）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般．
12．如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE= 米.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD，再得出Rt△ACB∽Rt△ECD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD，
∵∠ACB=∠EDC，CD=6米，AB=1.5米，BC=1米，
∴Rt△ACB∽Rt△ECD，
∴=，即=，解得DE=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
13．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度（结果保留根号）.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】先在Rt△BCD中，根据∠BDC=45°，得出BC=CD=100；再在Rt△ACD中，根据正切函数的定义，求出AC=100，然后由AB=AC﹣BC即可求解．
【解答】解：由题意可知，△ACD与△BCD都是直角三角形．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=100．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=60°，CD=100，
∴tan∠ADC=，即，
∴，
∴AB=AC﹣BC=．
答：手机信号中转塔的高度为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，难度适中，解答本题的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
14．在一个阳光明媚，微风习习的周末，小明和小强一起到聂耳文化广场放风筝，放了一会儿，两个人争吵起来：
小明说：“我的风筝飞得比你的高”.
小强说：“我的风筝引线比你的长，我的风筝飞得更高”.
谁的风筝飞得更高呢？于是他们将两个风筝引线的一段都固定在地面上的C处（如图），现已知小明的风筝引线（线段AC）长30米，小强的风筝引线（线段BC）长36米，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°，请通过计算说明谁的风筝飞得更高？
（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】在Rt△ACD和Rt△BCE中，分别解直角三角形，求得AD和BE的高度，比较即可．
【解答】解：分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E，
在Rt△ACD中，
∵sin∠ACD=，
∴AD=AC•sin∠ACD=30×sin60°=15≈26.0（米）．
在Rt△BCE中，
∵sin∠BCE=，
∴BE=BC•sin∠BCE=36×sin45°=18≈25.4（米）．
∵26.0＞25.4，
∴小明的风筝飞得更高．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
15．如图，一热气球在距地面90米高的P处，观测地面上点A的俯角为60°，气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，此时观测地面上点B的俯角为45°.（点P，Q，A，B在同一铅直面上）.
(1)若气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过几秒位于B点正上方？
(2)求AB的长（结果保留根号）.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)首先过点B作BH⊥PQ，垂足为H，即可得出QH=HB=90m，进而利用平移速度得出答案；
(2)首先过点P作PE⊥AB，垂足为E，利用tan60°===，进而得出AE的长，再利用PH=BE进而得出AB的长．
【解答】解：(1)过点B作BH⊥PQ，垂足为H，
∵一热气球在距地面90米高的P处，
∴HB=90m，
∵∠HQB=45°，
∴∠2=45°，
∴QH=HB=90m，
∴90÷9=10（秒），
答：气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过10秒位于B点正上方；
(2)过点P作PE⊥AB，垂足为E，
∵一热气球在距地面90米高的P处，
∴PE=90m，
∵∠QPA=60°，
∴∠1=60°，
∴tan60°===，
∴AE==30，
∵气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，
∴PQ=5×9=45（m），
∴PH=45+90=135（m），
∴BE=135（m），
∴AB=BE﹣AE=（135﹣30）m，
答：AB的长为（135﹣30）m．
【点评】此题主要考查了仰角与俯角的应用，根据题意得出直角三角形利用已知角度得出HQ的长是解题关键．
16．钓鱼岛是我国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A，B的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处，测得端点A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D，并测得端点B的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB的距离.（结果精确到0.1公里，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1公里，CD=3.2公里，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得钓鱼岛两端AB的距离．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB=EF，AE=BF=1公里，
在Rt△AEC中，∠C=45°，AE=1公里．
∴CE=AE=1（公里）．
在Rt△BFD中，∠BDF=37°，BF=1公里，
∴DF=≈1.33公里，
∴AB=EF=CD+DF﹣CE=3.2+1.33﹣1=3.53≈3.5（公里）．
答：钓鱼岛两端AB的距离约为3.5公里．
【点评】此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
17．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM.下面是两位同学的对话：
请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM.（参考数据：sin20°≈，cs20°≈，tan20°≈）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设AB=x，则BC=x，DB=20+x，在Rt△△ABD中利用20°的锐角三角函数值即可求出BC的长，又因为AM=AB+BM，问题得解．
【解答】解：由题意得∠ABC=90°
∵∠ACB=45°
∴∠CAB=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°
∴AB=BC
设AB=x，则BC=x，DB=20+x
在Rt△ABD中
∵tan∠ADB=
∴tan20°=，
∵tan20°≈，
∴，
x=11.25
∵BM=CE=1.5
∴AM=11.25+1.5=12.75
答：教学楼的高AM是12.75米．
方法二
解：设BD为x，则BC=x﹣20
∵∠ACB=45°，∠ABC=90°
∴∠CAB=45°
∴AB=BC=x﹣20
在Rt△ABD中
∵tan∠ADB=，
∴tan20°=，
∵tan20°=，
∴，
x=31.25
∴BC=31.25﹣20=11.25
∵BM=CE=1.5
∴AM=11.25+1.5=12.75．
答：教学楼的高AM约为12.75米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
18．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．
【解答】解：设CF=x，
在Rt△ACF和Rt△BCF中，
∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，
∴BC=CF=x，
=tan30°，
即AC=x，
∵AC﹣BC=1200米，
∴x﹣x=1200，
解得：x=600（+1），
则DF=h﹣x=2001﹣600（+1）≈362（米）．
答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC的长度，难度一般．
19．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】易得DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度．
【解答】解：依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，
∴四边形ABDE是矩形，（1分）
∴DE=AB=1.5，（2分）
在Rt△BCD中，，（3分）
又∵BC=20，∠CBD=60°，
∴CD=BC•sin60°=20×=10，（4分）
∴CE=10+1.5≈19米，（5分）
答：此时风筝离地面的高度约为19米．
【点评】考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法．
20．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF﹣BF即可得出答案．
【解答】解：依题意可得：∠AEB=∠EAB=30°，∠ACE=15°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE
∴∠CAE=15°，
即△ACE为等腰三角形，
∴AE=CE=100m，
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，
∴EF=AEcs60°=50m，AF=AEsin60°=50m，
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=EFtan30°=50×=m，
∴AB=AF﹣BF=50﹣=≈58（米）．
答：塔高AB大约为58米．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．
21．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣112；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD﹣112，继而求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵AD=AB+BD，
∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，
∴tan36°=，
∴BD=CD•tan36°，
∴CD•tan36°=CD﹣112，
∴CD=≈≈415（m）．
答：天塔的高度CD约为：415m．
【点评】本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
22．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米.
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可以看见老鼠；
(2)根据(1)求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据=sin∠ACG=sin37°，即可求出CG的长度．
【解答】解：(1)能看到；
由题意得，∠DFG=90°﹣53°=37°，
则=tan∠DFG，
∵DF=4米，
∴DG=4×tan37°≈4×0.75=3（米），
故能看到这只老鼠；
(2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），
又=sin∠ACG=sin37°，
则CG=≈=9.5（米）．
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．
一、选择题
1．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）
A．500•sinα米B．米 C．500•csα米D．米
2．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则csC的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，设∠ABC=α，则下列结论错误的是（ ）
A．BC=B．CD=AD•tanαC．BD=ABcsαD．AC=ADcsα
4．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（ ）
A．S1=S2B．S1=S2C．S1=S2D．S1=S2
5．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（ ）
A．a•sinαB．a•csαC．a•tanαD．
6．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（ ）
A．5.2mB．6.8mC．9.4mD．17.2m
7．某实践小组去公园测量人工湖AD的长度.小明进行如下测量：点D在点A的正北方向，点B在点A的北偏东50°方向，AB=40米.点E在点B的正北方向，点C在点B的北偏东30°方向，CE=30米.点C和点E都在点D的正东方向，求AD的长（结果精确到1米）.（参考数据：≈1.732，sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）
8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）
A．20米B．米C．米D．米
9．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）.
A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m
二、填空题
10．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）。
11．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 米.
12．如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE= 米.
三、解答题
13．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度（结果保留根号）.
14．在一个阳光明媚，微风习习的周末，小明和小强一起到聂耳文化广场放风筝，放了一会儿，两个人争吵起来：
小明说：“我的风筝飞得比你的高”.
小强说：“我的风筝引线比你的长，我的风筝飞得更高”.
谁的风筝飞得更高呢？于是他们将两个风筝引线的一段都固定在地面上的C处（如图），现已知小明的风筝引线（线段AC）长30米，小强的风筝引线（线段BC）长36米，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°，请通过计算说明谁的风筝飞得更高？
（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
15．如图，一热气球在距地面90米高的P处，观测地面上点A的俯角为60°，气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，此时观测地面上点B的俯角为45°.（点P，Q，A，B在同一铅直面上）.
(1)若气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过几秒位于B点正上方？
(2)求AB的长（结果保留根号）.
16．钓鱼岛是我国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A，B的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处，测得端点A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D，并测得端点B的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB的距离.（结果精确到0.1公里，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）
17．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM.下面是两位同学的对话：
请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM.（参考数据：sin20°≈，cs20°≈，tan20°≈）
18．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414）
19．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
20．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）
21．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）.
22．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米.
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
答案
1．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）
A．500•sinα米B．米 C．500•csα米D．米
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据题意画出图形，再利用坡角的正弦值即可求解．
【解答】解：如图，∠A=α，AE=500．
则EF=500sinα．
故选A．
【点评】此题主要考查坡度坡角问题，正确掌握坡角的定义是解题关键．
2．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则csC的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC===2，
∴csC===．
故选B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，设∠ABC=α，则下列结论错误的是（ ）
A．BC=B．CD=AD•tanαC．BD=ABcsαD．AC=ADcsα
【考点】T7：解直角三角形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数求角边关系即可．
【解答】解：A．在Rt△ABC中，sinα=，
∴BC=，故A正确；
B．∵∠B+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠B=∠CAD=α，
在Rt△ADC中，tanα=，
∴CD=AD•tanα，
故B正确；
C．在Rt△ABD中，
csα=，
∴BD=AB•csα，
故C正确；
D．在Rt△ADC中，csα=，
∴AD=AC•csα，
故D错误；
故选D．
【点评】本题主要考查了直角三角形角边关系，熟练掌握边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）是解答此题的关键．
4．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（ ）
A．S1=S2B．S1=S2C．S1=S2D．S1=S2
【考点】T7：解直角三角形；K3：三角形的面积．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择．
【解答】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．
在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°，
∠DEH=180°﹣140°=40°，
在Rt△DHE中，DH=DE•sin40°=8sin40°，
S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，
S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．
则S1=S2．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形．
5．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（ ）
A．a•sinαB．a•csαC．a•tanαD．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据已知角的正切值表示即可．
【解答】解：∵AC=a，∠ABC=α，在直角△ABC中tanα=，
∴AB=．
故选D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
6．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（ ）
A．5.2mB．6.8mC．9.4mD．17.2m
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】三角尺和树构成直角三角形，根据一直角边和三角尺的度数，可将眼睛到树尖的距离求出，加上眼睛与地面的距离即为这棵树的高度．
【解答】解：由图中所示：眼睛到树尖的距离h1=tan30°×9=，
眼睛与地面之间的距离：h2=1.6，
∴这棵树的高度h=h1+h2=3+1.6≈6.8（m）．
故选B．
【点评】本题主要是将实际问题与解直角三角形联系起来，使求解过程变得简单．
7．某实践小组去公园测量人工湖AD的长度.小明进行如下测量：点D在点A的正北方向，点B在点A的北偏东50°方向，AB=40米.点E在点B的正北方向，点C在点B的北偏东30°方向，CE=30米.点C和点E都在点D的正东方向，求AD的长（结果精确到1米）.（参考数据：≈1.732，sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】首先过点B作BF⊥AD于点F，根据题意得在Rt△ABF中，∠A=50°，AB=40米，在Rt△BCF中，∠CBF=30°，CE=30米，直接利用三角函数的知识，可求得BE与AF的长，继而求得答案．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，
在Rt△ABF中，∠A=50°，AB=40米，
∴AF=AB•cs50°≈40×0.643=25.72（米），
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，CE=30米，
∴BE===30≈51.96（米），
∵四边形BEDF是矩形，
∴AD=AF+DF=25.72+51.96≈78（米）．
答：AD的长为78米．
【点评】此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形并解直角三角形是关键．
8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）
A．20米B．米C．米D．米
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．
【解答】解：∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB=2EG=30米，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
则BC=ABtan∠BAC=30×=10米．
如图，过点D作DF⊥AF于点F．
在Rt△AFD中，AF=BC=10米，
则FD=AF•tanβ=10×=10米，
综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
9．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）.
A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】选择题
【难度】易
【专题】12 ：应用题．
【分析】设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案．
【解答】解：设CD=x，
在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，
则tan30°=CD：AD=x：AD
故AD=x，
在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，
则tan60°=CD：ED=x：ED
故ED=x，
由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，
解得：x=2，
则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．
故选D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
10．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）。
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE是矩形，
根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，
∴DE=BC=18m，CD=BE，
在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），
在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），
∴DC=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．
故答案为：12．
【点评】本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．
11．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 米.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【【专题】填空题
【难度】中
【分析】在Rt△BDC中，根据∠BDC=45°，求出DC=BC=3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC=60°即可求出AC的高度．
【解答】解：在Rt△BDC中，
∵∠BDC=45°，
∴DC=BC=3米，
在Rt△ADC中，
∵∠ADC=60°，
∴AC=DCtan60°=3×=3（米）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般．
12．如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE= 米.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD，再得出Rt△ACB∽Rt△ECD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD，
∵∠ACB=∠EDC，CD=6米，AB=1.5米，BC=1米，
∴Rt△ACB∽Rt△ECD，
∴=，即=，解得DE=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
13．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度（结果保留根号）.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】先在Rt△BCD中，根据∠BDC=45°，得出BC=CD=100；再在Rt△ACD中，根据正切函数的定义，求出AC=100，然后由AB=AC﹣BC即可求解．
【解答】解：由题意可知，△ACD与△BCD都是直角三角形．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=100．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=60°，CD=100，
∴tan∠ADC=，即，
∴，
∴AB=AC﹣BC=．
答：手机信号中转塔的高度为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，难度适中，解答本题的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
14．在一个阳光明媚，微风习习的周末，小明和小强一起到聂耳文化广场放风筝，放了一会儿，两个人争吵起来：
小明说：“我的风筝飞得比你的高”.
小强说：“我的风筝引线比你的长，我的风筝飞得更高”.
谁的风筝飞得更高呢？于是他们将两个风筝引线的一段都固定在地面上的C处（如图），现已知小明的风筝引线（线段AC）长30米，小强的风筝引线（线段BC）长36米，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°，请通过计算说明谁的风筝飞得更高？
（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】在Rt△ACD和Rt△BCE中，分别解直角三角形，求得AD和BE的高度，比较即可．
【解答】解：分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E，
在Rt△ACD中，
∵sin∠ACD=，
∴AD=AC•sin∠ACD=30×sin60°=15≈26.0（米）．
在Rt△BCE中，
∵sin∠BCE=，
∴BE=BC•sin∠BCE=36×sin45°=18≈25.4（米）．
∵26.0＞25.4，
∴小明的风筝飞得更高．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
15．如图，一热气球在距地面90米高的P处，观测地面上点A的俯角为60°，气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，此时观测地面上点B的俯角为45°.（点P，Q，A，B在同一铅直面上）.
(1)若气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过几秒位于B点正上方？
(2)求AB的长（结果保留根号）.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)首先过点B作BH⊥PQ，垂足为H，即可得出QH=HB=90m，进而利用平移速度得出答案；
(2)首先过点P作PE⊥AB，垂足为E，利用tan60°===，进而得出AE的长，再利用PH=BE进而得出AB的长．
【解答】解：(1)过点B作BH⊥PQ，垂足为H，
∵一热气球在距地面90米高的P处，
∴HB=90m，
∵∠HQB=45°，
∴∠2=45°，
∴QH=HB=90m，
∴90÷9=10（秒），
答：气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过10秒位于B点正上方；
(2)过点P作PE⊥AB，垂足为E，
∵一热气球在距地面90米高的P处，
∴PE=90m，
∵∠QPA=60°，
∴∠1=60°，
∴tan60°===，
∴AE==30，
∵气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，
∴PQ=5×9=45（m），
∴PH=45+90=135（m），
∴BE=135（m），
∴AB=BE﹣AE=（135﹣30）m，
答：AB的长为（135﹣30）m．
【点评】此题主要考查了仰角与俯角的应用，根据题意得出直角三角形利用已知角度得出HQ的长是解题关键．
16．钓鱼岛是我国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A，B的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处，测得端点A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D，并测得端点B的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB的距离.（结果精确到0.1公里，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1公里，CD=3.2公里，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得钓鱼岛两端AB的距离．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB=EF，AE=BF=1公里，
在Rt△AEC中，∠C=45°，AE=1公里．
∴CE=AE=1（公里）．
在Rt△BFD中，∠BDF=37°，BF=1公里，
∴DF=≈1.33公里，
∴AB=EF=CD+DF﹣CE=3.2+1.33﹣1=3.53≈3.5（公里）．
答：钓鱼岛两端AB的距离约为3.5公里．
【点评】此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
17．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM.下面是两位同学的对话：
请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM.（参考数据：sin20°≈，cs20°≈，tan20°≈）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设AB=x，则BC=x，DB=20+x，在Rt△△ABD中利用20°的锐角三角函数值即可求出BC的长，又因为AM=AB+BM，问题得解．
【解答】解：由题意得∠ABC=90°
∵∠ACB=45°
∴∠CAB=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°
∴AB=BC
设AB=x，则BC=x，DB=20+x
在Rt△ABD中
∵tan∠ADB=
∴tan20°=，
∵tan20°≈，
∴，
x=11.25
∵BM=CE=1.5
∴AM=11.25+1.5=12.75
答：教学楼的高AM是12.75米．
方法二
解：设BD为x，则BC=x﹣20
∵∠ACB=45°，∠ABC=90°
∴∠CAB=45°
∴AB=BC=x﹣20
在Rt△ABD中
∵tan∠ADB=，
∴tan20°=，
∵tan20°=，
∴，
x=31.25
∴BC=31.25﹣20=11.25
∵BM=CE=1.5
∴AM=11.25+1.5=12.75．
答：教学楼的高AM约为12.75米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
18．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．
【解答】解：设CF=x，
在Rt△ACF和Rt△BCF中，
∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，
∴BC=CF=x，
=tan30°，
即AC=x，
∵AC﹣BC=1200米，
∴x﹣x=1200，
解得：x=600（+1），
则DF=h﹣x=2001﹣600（+1）≈362（米）．
答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC的长度，难度一般．
19．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】易得DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度．
【解答】解：依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，
∴四边形ABDE是矩形，（1分）
∴DE=AB=1.5，（2分）
在Rt△BCD中，，（3分）
又∵BC=20，∠CBD=60°，
∴CD=BC•sin60°=20×=10，（4分）
∴CE=10+1.5≈19米，（5分）
答：此时风筝离地面的高度约为19米．
【点评】考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法．
20．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF﹣BF即可得出答案．
【解答】解：依题意可得：∠AEB=∠EAB=30°，∠ACE=15°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE
∴∠CAE=15°，
即△ACE为等腰三角形，
∴AE=CE=100m，
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，
∴EF=AEcs60°=50m，AF=AEsin60°=50m，
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=EFtan30°=50×=m，
∴AB=AF﹣BF=50﹣=≈58（米）．
答：塔高AB大约为58米．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．
21．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）.
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣112；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD﹣112，继而求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵AD=AB+BD，
∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，
∴tan36°=，
∴BD=CD•tan36°，
∴CD•tan36°=CD﹣112，
∴CD=≈≈415（m）．
答：天塔的高度CD约为：415m．
【点评】本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
22．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米.
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可以看见老鼠；
(2)根据(1)求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据=sin∠ACG=sin37°，即可求出CG的长度．
【解答】解：(1)能看到；
由题意得，∠DFG=90°﹣53°=37°，
则=tan∠DFG，
∵DF=4米，
∴DG=4×tan37°≈4×0.75=3（米），
故能看到这只老鼠；
(2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），
又=sin∠ACG=sin37°，
则CG=≈=9.5（米）．
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．
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