第5章 二次函数 学情评估卷（含答案）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

这是一份第5章 二次函数 学情评估卷（含答案）2025-2026学年苏科版九年级数学下册，共15页。
一、选择题(每小题3分，共24分)1．抛物线y＝x2＋2x的对称轴是(　　)A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝－2 D．直线x＝22．对于二次函数y＝(x－2)2的图像，下列说法不正确的是(　　)A．开口向上 B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标为(－2，0) D．当x＜2时，y随x的增大而减小3.如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m．建立如图②的平面直角坐标系，则抛物线的表达式是(　　)A．y＝－2x2 B．y＝2x2 C．y＝－eq \f(1,2)x2 D．y＝eq \f(1,2)x24．已知A(－1，y1)，B(2，y2)，C(4，y3)是二次函数y＝ax2－2ax＋1(a＜0)的图像上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y25．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图像与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　　)A．二次函数图像的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图像与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当x＜－1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图像与y轴的交点的纵坐标是3(第5题) (第6题)6.二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图像如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是(　　)A．1＜x＜4 B．x＜1 C．x＞4 D．x＜1或x＞47．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，下列结论：①abc0；④a－b＋c>0.正确的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4(第7题)　　(第8题)8.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，下列结论正确的是(　　)A．m＋n＝1 B．m－n＝1 C．mn＝1 D.eq \f(m,n)＝1二、填空题(每小题3分，共30分)9．将函数y＝－(x＋3)2－2的图像先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得图像的函数表达式为__________.10．若抛物线y＝(x－m)2＋m－3的对称轴是直线x＝2，则它的顶点坐标是________.11．当x＝________时，二次函数y＝2x2＋4x＋5的最小值是________.12．九年级数学课本上，小丽用“描点法”画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像时，列了如下表格： 由于粗心，小丽算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝________.13.如图，菱形OABC的顶点O，A，C在抛物线y＝eq \f(1,3)x2上，其中O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB＝2，则菱形OABC的面积是________.(第13题)　　(第14题)14.2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线y＝－eq \f(1,5)x2＋eq \f(8,5)x＋1的一部分(如图)，其中发球点B离地面点O的距离是1 m，点O与球网的水平距离为4 m，球网的高度为1.55 m．当对手从点B发球过网后，球离地面的高度为eq \f(12,5) m时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球到点O的水平距离是________m.15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，其顶点为P，连接AP，若AB＝12，AP＝10，则a的值是________.(第15题)　(第16题)16.如图，已知抛物线y＝x2－3x＋2与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C，若抛物线上存在点P，使得△PAB的面积为1，则点P的坐标是____________.17．对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)，若其图像上存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2|x′－m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,3)x＋3“开口大小”为________.18．定义：对于函数图像上的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1≠x2)，将eq \f(y1－y2,x1－x2)的值称为该函数图像在MN段的“攀登值”，记作kMN.已知二次函数y＝ax2＋1(a＞0)的图像上有两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，若对于任意的x1，x2均满足：当x2＞x1≥1时，该函数图像在MN段的“攀登值”始终有kMN＞2，则a的取值范围是________.三、解答题(共66分)19．(6分)已知二次函数y＝－eq \f(1,2)(x－2m)2＋3－m(m是实数)．(1)当m＝2时，若点A(8，n)在该函数图像上，求n的值；(2)小明说该二次函数图像的顶点在直线y＝－eq \f(1,2)x＋3上，你认为他的说法正确吗？为什么？20.(8分)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3经过点M(－2，3)．(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；(2)当－3≤x≤0时，y的取值范围为________；(3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，旋转后的抛物线的表达式为____________.21.(8分)已知二次函数y＝ax2－2ax－3a(a为常数，且a≠0)的图像与y轴正半轴交于一点．(1)画出一个满足条件的函数图像(要求：只需画出函数的大致图像，但需标注必要的数据)；(2)写出该函数的两个不同类型的结论；(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m，n为常数，且m＜n)在该函数图像上，比较y1与y2的大小.22．(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于点A(－4，0)和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D(－1，3)，与y轴交于点E.(1)求此抛物线的表达式和顶点P的坐标；(2)点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM＝EN，求EM＋ON的最小值.23．(10分)[2025苏州模拟]在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元且不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．(1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出________顶，共获利________元；(2)若该商店希望平均每周获利4 000元，则每顶头盔应降价多少元？(3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元(m为整数，且1≤m≤4)帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种头盔的利润仍随售价的增大而增大，求m的值.24．(12分)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图像经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－eq \f(1,2).(1)求二次函数的表达式；(2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m>0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图像上，求m的值；(3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为eq \f(9,4)，求n的取值范围.25．(12分)二次函数y＝ax2＋bx＋2的图像经过A(－1，0)．(1)试求二次函数的表达式(用含有a的式子表示)．(2)已知点P(1，2)，Q(1，3)，连接PQ，以PQ为边在PQ的右侧作正方形PQMN，若二次函数图像与正方形PQMN的边有公共点，求a的取值范围．(3)在(2)中，已知直线l：y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,5)))x＋a＋eq \f(8,5)，是否存在a，使得直线l与二次函数图像同时经过正方形PQMN(包括内部与边界)？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.答案一、1.B　2.C　3.C　4.D　5.D　6.D　7.D　8.B二、9.y＝－x2　10.(2，－1)　11.－1；3　12.1　13.2eq \r(3)14．7　15.－eq \f(2,9)　16.(0，2)或(3，2)　17.4　18.a≥1三、19.解：(1)当m＝2时，y＝－eq \f(1,2)(x－4)2＋1.∵点A(8，n)在该函数图像上，∴n＝－eq \f(1,2)×(8－4)2＋1＝－7.(2)小明的说法正确．理由如下：由题意得，该二次函数图像的顶点是(2m，3－m)，当x＝2m时，y＝－eq \f(1,2)×2m＋3＝－m＋3，∴顶点(2m，3－m)在直线y＝－eq \f(1,2)x＋3上．故小明的说法正确．20．解：(1)把点M(－2，3)的坐标代入y＝－x2＋mx＋3，得－4－2m＋3＝3，解得m＝－2，∴y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.∴抛物线的顶点坐标为(－1，4)．(2)0≤y≤4　(3)y＝(x＋1)2＋421．解：(1)画出函数的大致图像如图所示．点拨：∵二次函数y＝ax2－2ax－3a(a为常数，且a≠0)的图像与y轴正半轴交于一点，∴－3a＞0，即a＜0.∴抛物线开口向下．∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x－3)(x＋1)，∴二次函数y＝ax2－2ax－3a(a为常数，且a≠0)的图像与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)．(2)(答案不唯一)由(1)可知函数y＝ax2－2ax－3a的图像开口向下，∴该函数有最大值．由函数y＝ax2－2ax－3a可知其图像的对称轴为直线x＝－eq \f(－2a,2a)＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．(3)当eq \f(m＋n,2)＝1时，y1＝y2；当eq \f(m＋n,2)＜1时，y1＜y2；当eq \f(m＋n,2)＞1时，y1＞y2.22．解：(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋2＝3，,16a－4b＋2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝－\f(3,2)，))则抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2＝－eq \f(1,2)(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(25,8)，顶点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(25,8))).(2)如图，过点E在第二象限作EH∥x轴，截取EH＝AE，则∠HEA＝∠EAB，连接HN，HO，∵AM＝EN，∴△EHN≌△AEM(SAS)，∴HN＝EM，则EM＋ON＝HN＋ON.设直线AD的关系式为y＝mx＋n，将点A(－4，0)，D(－1，3)的坐标代入y＝mx＋n，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4m＋n＝0，,－m＋n＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝4，))∴直线AD的关系式为y＝x＋4，当x＝0时，y＝4，∴点E(0，4)，∴OE＝4.∵A(－4，0)，∴OA＝4.根据勾股定理，得AE＝eq \r(OA2＋OE2)＝4eq \r(2)，∴EH＝AE＝4eq \r(2).当点O，N，H共线时，EM＋ON＝HN＋ON＝OH，此时取最小值，则OH＝eq \r(EH2＋OE2)＝eq \r(（4\r(2)）2＋42)＝4eq \r(3)，即EM＋ON的最小值为4eq \r(3).23．解：(1)300；5 400　点拨：根据题意，可知若每顶头盔降价10元，则平均每周售出100＋eq \f(10,2)×40＝300(顶)，共获利(68－10－40)×300＝5 400(元)．(2)设每顶头盔应降价a元，根据题意，可得(68－a－40)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100＋\f(a,2)×40))＝4 000，整理可得，a2－23a＋60＝0，解得a1＝20，a2＝3.当a＝20时，售价为68－20＝48(元)，当a＝3时，售价为68－3＝65(元)，∵每顶售价不高于58元，∴每顶头盔应降价20元．(3)设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为x元，根据题意，得w＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(100＋40×\f(1,2)（68－x）))(x－40－m)＝－20x2＋(20m＋2 260)x－1 460(40＋m)，则该函数图像的对称轴为直线x＝eq \f(m＋113,2)，开口向下，当x≤58时，利润仍随售价的增大而增大，∴eq \f(m＋113,2)≥58，解得m≥3，∵1≤m≤4，且m为整数，∴m的值为3或4.24．解：(1)设二次函数的表达式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋k，把点A(－2，5)的坐标代入得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋k＝5，解得k＝eq \f(11,4)，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(11,4)＝x2＋x＋3.(2)点B平移后的坐标为(1－m，9)，由题意得9＝(1－m)2＋(1－m)＋3，解得m＝4或m＝－1(舍去)，∴m的值为4.(3)当n1时，最大值与最小值的差为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(11,4)－eq \f(11,4)＝eq \f(9,4)，解得n1＝1或n2＝－2，均不符合题意，舍去．综上所述，n的取值范围为－eq \f(1,2)≤n≤1.25．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2，∴a－b＋2＝0.∴b＝a＋2.∴二次函数的表达式为y＝ax2＋(a＋2)x＋2.(2)∵四边形PQMN是正方形，且P(1，2)，Q(1，3)，∴M(2，3)，N(2，2)．当抛物线经过点P(1，2)时，a＋a＋2＋2＝2，解得a＝－1；当抛物线经过点M(2，3)时，4a＋2a＋4＋2＝3，解得a＝－eq \f(1,2).∴当－1≤a≤－eq \f(1,2)时，二次函数图像与正方形PQMN的边有公共点．(3)不存在，理由如下：由题意可知，直线l绕着点(－1，1)旋转．当直线经过点N(2，2)时，2a＋eq \f(6,5)＋a＋eq \f(8,5)＝2，解得a＝－eq \f(4,15)；当直线经过点Q(1，3)时，a＋eq \f(3,5)＋a＋eq \f(8,5)＝3，解得a＝eq \f(2,5).∴当－eq \f(4,15)≤a≤eq \f(2,5)时，直线l与正方形PQMN有交点．综合(2)的结论，两者的解集没有公共部分，∴不存在a，使得直线l与二次函数图像同时经过正方形PQMN(包括内部与边界)．x…－3－2－101…y…－2－5－6－54…