4.3.2.1角的度量与计算 课件-2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：4.3.2.1 角的度量与计算副标题：第 4 章 图形的认识教材版本：【2024 新教材】湘教版数学 七年级上册授课教师：[教师姓名]班级：[具体班级]时间：[授课日期]背景图：选用包含量角器、角度刻度的几何图形示意图，突出 “度量” 与 “计算” 的主题。幻灯片 2：知识回顾角的基本概念回顾：角是由两条有公共端点的射线组成的图形，公共端点为顶点，两条射线为边；也可看作射线绕端点旋转形成。角的表示方法：三个大写字母（如∠AOB）、一个大写字母（顶点处只有一个角时，如∠O）、数字或希腊字母（如∠1、∠α）。角的度量基础回顾：度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），换算关系为 1°=60′，1′=60″，1°=3600″。量角器使用：中心点与角的顶点重合，0° 刻度线与角的一条边重合，读另一条边对应刻度。过渡提问：我们已经掌握了角的度量方法，那在实际问题中，如何进行度分秒之间的复杂换算？又如何计算角的和与差呢？今天我们就来学习角的度量与计算。幻灯片 3：度分秒的换算（进阶）换算原则：度、分、秒之间是六十进制关系，换算时遵循 “大单位化小单位乘 60，小单位化大单位除以 60” 的原则。大单位化小单位（度→分→秒）：示例 1：将 2.5° 换算成度分形式。分析：整数部分为度，小数部分乘 60 转化为分。计算过程：0.5°×60 = 30′，所以 2.5° = 2°30′。示例 2：将 3.25° 换算成度分秒形式。分析：先把小数部分 0.25° 转化为分，若分的结果仍有小数，再将分的小数部分转化为秒。计算过程：0.25°×60 = 15′，所以 3.25° = 3°15′0″（或直接写作 3°15′）。示例 3：将 4.12° 换算成度分秒形式。计算过程：0.12°×60 = 7.2′，0.2′×60 = 12″，所以 4.12° = 4°7′12″。小单位化大单位（秒→分→度）：示例 1：将 150′换算成度。分析：分除以 60 转化为度。计算过程：150′÷60 = 2.5°，所以 150′ = 2.5°。示例 2：将 2100″换算成度分形式。分析：先把秒除以 60 转化为分，再看分是否能进一步转化为度。计算过程：2100″÷60 = 35′，所以 2100″ = 0°35′（或直接写作 35′）。示例 3：将 3780″换算成度。计算过程：3780″÷60 = 63′，63′÷60 = 1.05°，所以 3780″ = 1.05°。示例 4：将 1234″换算成度分秒形式（保留到分）。计算过程：1234″÷60 ≈ 20.57′，取整数部分 20′，0.57′×60 ≈ 34″，所以 1234″ ≈ 0°20′34″（或根据题目要求保留到分，约为 0°21′）。课堂小练：5.3° = （ ）°（ ）′7°18′ = （ ）°8.05° = （ ）°（ ）′（ ）″3600″ = （ ）°（答案：1. 5°18′；2. 7.3°；3. 8°3′0″；4. 1°）幻灯片 4：角的和差计算（基础）计算原则：角的和差计算，需将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，若分或秒的结果满 60，则向高一级单位进 1；若分或秒的结果不够减，则从高一级单位借 1，转化为 60 个低一级单位后再减。角的和计算：示例 1：计算∠1 + ∠2，其中∠1 = 30°20′，∠2 = 25°45′。计算过程：度相加：30° + 25° = 55°；分相加：20′ + 45′ = 65′；因为 65′ = 1°5′，所以总共为 55° + 1°5′ = 56°5′。即∠1 + ∠2 = 56°5′。示例 2：计算∠A + ∠B，其中∠A = 45°18′30″，∠B = 30°42′45″。计算过程：度相加：45° + 30° = 75°；分相加：18′ + 42′ = 60′ = 1°；秒相加：30″ + 45″ = 75″ = 1′15″；所以总共为 75° + 1° + 1′15″ = 76°1′15″。即∠A + ∠B = 76°1′15″。角的差计算：示例 1：计算∠C - ∠D，其中∠C = 60°30′，∠D = 25°15′。计算过程：度相减：60° - 25° = 35°；分相减：30′ - 15′ = 15′；所以∠C - ∠D = 35°15′。示例 2：计算∠E - ∠F，其中∠E = 50°10′，∠F = 25°25′。分析：分的部分 10′ < 25′，需从度借 1，转化为 60′，即 50°10′ = 49°70′。计算过程：49°70′ - 25°25′ = 24°45′。所以∠E - ∠F = 24°45′。示例 3：计算∠G - ∠H，其中∠G = 75°0′30″，∠H = 30°25′45″。分析：秒的部分 30″ < 45″，需从分借 1（分此时为 0，需先从度借 1 转化为分），即 75°0′30″ = 74°59′90″。计算过程：74°59′90″ - 30°25′45″ = 44°34′45″。所以∠G - ∠H = 44°34′45″。课堂小练：25°30′ + 35°45′ = （ ）80°15′ - 45°30′ = （ ）15°20′30″ + 25°40′40″ = （ ）90° - 30°45′15″ = （ ）（答案：1. 61°15′；2. 34°45′；3. 41°1′10″；4. 59°14′45″）幻灯片 5：角的和差计算（结合角平分线）解题思路：先根据角平分线的定义，得出相关角的数量关系（如角平分线将角分成两个相等的角），再结合已知角度，通过角的和差计算未知角的度数。示例 1：如图，OC 是∠AOB 的平分线，已知∠AOB = 80°，求∠AOC 和∠COB 的度数。分析：OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC = ∠COB = 1/2∠AOB。计算过程：∠AOC = ∠COB = 1/2×80° = 40°。图形展示：画出∠AOB，标注 OC 为角平分线，标出∠AOB = 80°，∠AOC = 40°，∠COB = 40°。示例 2：如图，OD 是∠AOB 的平分线，∠AOC = 20°，∠COB = 40°，求∠AOD 的度数。分析：先计算∠AOB 的度数（∠AOB = ∠AOC + ∠COB），再根据角平分线定义求∠AOD（∠AOD = 1/2∠AOB）。计算过程：∠AOB = 20° + 40° = 60°，∠AOD = 1/2×60° = 30°。图形展示：画出∠AOB，内部有射线 OC、OD，OC 在∠AOD 左侧，标注∠AOC = 20°，∠COB = 40°，∠AOD = 30°。示例 3：如图，OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOC，已知∠AOB = 90°，求∠EOF 的度数。分析：根据角平分线定义，∠EOC = 1/2∠AOC，∠FOC = 1/2∠BOC；∠EOF = ∠EOC + ∠FOC = 1/2（∠AOC + ∠BOC） = 1/2∠AOB。计算过程：∠EOF = 1/2×90° = 45°。图形展示：画出∠AOB = 90°，内部有射线 OC，OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOC，标注各角关系，突出∠EOF 与∠AOB 的数量关系。课堂小练：如图，OB 平分∠AOC，∠AOB = 35°，∠COD = 20°，求∠AOD 的度数。（答案：∠AOC = 2∠AOB = 70°，∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 70° + 20° = 90°）幻灯片 6：角的度量与计算（实际应用）情境 1：时钟中的角度计算：问题 1：求时钟在 3 点整时，时针与分针所成的角度。分析：时钟一圈为 360°，共 12 个大格，每个大格对应的角度为 360°÷12 = 30°；3 点整时，时针指向 3，分针指向 12，中间有 3 个大格。计算过程：3×30° = 90°，所以 3 点整时，时针与分针成 90° 角。问题 2：求时钟在 4 点 30 分时，时针与分针所成的角度。分析：分针指向 6，走了 30 分钟，分针每分钟走 360°÷60 = 6°，30 分钟走了 30×6° = 180°；时针每小时走 30°，4 小时走了 4×30° = 120°，30 分钟时针又走了 0.5×30° = 15°，所以时针总共走了 120° + 15° = 135°；时针与分针的夹角为 180° - 135° = 45°。计算过程：分针位置角度：30×6° = 180°；时针位置角度：4×30° + 0.5×30° = 135°；夹角：180° - 135° = 45°。情境 2：几何图形中的角度计算：问题：如图，在三角形 ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，CD 平分∠ACB，求∠ACD 的度数。分析：三角形内角和为 180°，先求∠ACB 的度数（∠ACB = 180° - ∠A - ∠B），再根据角平分线定义求∠ACD（∠ACD = 1/2∠ACB）。计算过程：∠ACB = 180° - 50° - 60° = 70°，∠ACD = 1/2×70° = 35°。图形展示：画出三角形 ABC，标注∠A = 50°，∠B = 60°，CD 为∠ACB 的平分线，标出∠ACD = 35°。课堂小练：时钟在 6 点整时，时针与分针所成的角度是（ ）°。在三角形 DEF 中，∠D = 40°，∠E = 70°，EG 平分∠DEF，求∠DEG 的度数。（答案：1. 180°；2. ∠DEF = 70°，∠DEG = 1/2×70° = 35°）幻灯片 7：例题讲解 1（复杂度分秒换算与和差综合）题目呈现：（1）将 12°36′48″换算成度；（2）计算 35°42′ + 25°18′30″ - 10°25′15″。分析引导：第（1）题是小单位化大单位，需从秒开始逐步向度换算；第（2）题是角的和差混合计算，先算加法，再算减法，注意度分秒分别运算，满 60 进 1 或借 1 当 60。解题过程：（1）换算 12°36′48″成度：第一步：将秒换算成分：48″÷60 = 0.8′；第二步：将分（36′ + 0.8′ = 36.8′）换算成度：36.8′÷60 ≈ 0.613°；第三步：得出结果：12° + 0.613° ≈ 12.613°（保留三位小数，根据题目要求保留小数位数）。（2）计算 35°42′ + 25°18′30″ - 10°25′15″：第一步：先算加法 35°42′ + 25°18′30″：度：35° + 25° = 60°；分：42′ + 18′ = 60′ = 1°；秒：0″ + 30″ = 30″；加法结果：60° + 1° + 30″ = 61°0′30″。第二步：再算减法 61°0′30″ - 10°2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 掌握角的度量单位及换算，并能进行角的度数的计算.2. 掌握直角、平角、周角的度数，会计算钟表上的角度问题.重点：度、分、秒的换算及角的计算.难点：角的度数的计算.你知道如何衡量一个角的大小？测量线段的工具有直尺等，那你知道有什么工具可以度量角的大小？量角器经纬仪角的分类问题 用量角器可以量出角的度数， 那么“ 1 度”到底是多大呢 ? 把一个周角 (即它的旋转量) 分为 360 等份，每一等份叫做 1 度，记做 1°.1 度的概念角的分类AOB2. 时钟的分针每 60 分钟转一圈 (360 度)，那么每分钟转 度，转 90 度需 分钟，时针每小时转 度.61530 1. 下列关于平角、周角的说法正确的是 ( 　) A．平角是一条直线 B．周角是一条射线 C．反向延长射线 OA，就形成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角C 由于角的度数不一定都是整数，所以我们引入了更小的单位来度量角.角的单位换算角的单位是 60 进制！度 (°)分 (′)秒 (″)【科普小视频】例1 用度、分、秒表示 54.26°. 又 0.26° = 0.26×60′ = 15.6′ = 15′ + 0.6′， 而 0.6′ = 0.6×60″ = 36″，因此，54.26° = 54°15′36″. 例2 用度表示 48°25′48″ . 25′48″ = 25′ + 48″ = 25′ + 0.8′ = 25.8′， 因此，48°25′48″ = 48.43°. 1. 度、分、秒互化：(1) 57.32°= ° ′ ″； (2) 17°6′36″ = °. 17.11例3 计算：(1) 37°28' + 24"35'；(2) 83°20' - 45°38' 20".解：(1) 37°28' + 24°35' = 61°63' = 62°3'.(2) 83°20' - 45°38' 20" = 82°79'60" - 45°38'20" = 37°41'40". 2. 计算：(1) 20°26′ + 35°54′； (2) 90° - 43°18′.解：(1) 20°26′ + 35°54′ = 55°80′ = 56°20′.(2) 90° - 43°18′ = 89°60′ - 43°18′ = 46°42′.例4 小红早晨 8：30 出发，中午 12：30 到家，则小红出发时时针和分针的夹角为　　 ，到家时时针和分针的夹角为　　　　.解析：与 12 点整相比，8：30 时，时针转过了(8＋ )×30°＝255°，分针转过了 30×6°＝180°，所以夹角为 255°－180°＝75°.同理 12：30 时，时针和分针的夹角为 165°.75°165° 3. 钟表在 3 点半时，它的时针和分针所成的锐角是 度.【解析】 可以画出草图，如图所示，要注意的是 3 点半时，分针指在正下方 6 处，而时针并非指在 3 处，而是在 3 与 4 的正中间，所以分针和时针的夹角为90°－ ×30°＝75°.75确定相应钟表上时针与分针所成的角度开动脑筋30°120°90°0°巴黎时间北京时间东京时间伦敦时间角的度量与计算 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！