3.4.2二元一次方程组的解法——代入消元法（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：3.4.2 二元一次方程组的解法 —— 代入消元法背景图：左侧展示 “消元原理示意图”（用箭头标注 “二元一次方程组→代入消元→一元一次方程”，体现 “消去一个未知数，转化为已知形式”）；右侧呈现 “简单示例”（方程组\(\begin{cases}y = x + 3 \\ 2x + y = 9\end{cases}\)，标注 “将 y=x+3 代入第二个方程，得 2x+x+3=9”），直观体现代入消元法的核心操作，下方搭配 “从二元到一元的转化工具” 文字提示，明确学习目标。幻灯片 2：目录代入消元法的核心原理（为何消元、如何消元）代入消元法的完整操作步骤（五步规范流程）不同类型方程组的代入消元法应用（系数为 1/(-1)、系数不为 1）典型例题解析（基础型、进阶型、易错型）代入消元法的常见错误与规避技巧课堂练习巩固（分层练习）课堂小结与作业布置幻灯片 3：代入消元法的核心原理（为何消元、如何消元）为何需要 “消元”二元一次方程组含两个未知数（如 x、y），无法直接求解；而我们已掌握一元一次方程的解法（仅含一个未知数）。因此，“消元” 是关键 —— 通过消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，利用已知方法求解后，再回代求另一个未知数。如何通过 “代入” 实现 “消元”核心思路：从方程组中选一个方程，将其变形为 “一个未知数 = 含另一个未知数的代数式”（如 y = ax + b 或 x = ay + b），再将这个代数式 “代入” 另一个方程，替换对应的未知数，从而消去该未知数，得到仅含一个未知数的一元一次方程。示例：方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - 3y = 1\end{cases}\)，从第一个方程变形得 y = 5 - x，代入第二个方程，替换 y，得 2x - 3 (5 - x) = 1，消去 y，转化为关于 x 的一元一次方程。代入消元法的适用场景当方程组中至少有一个方程的某一未知数系数为 1 或 - 1 时（如 y = 2x - 1、x = 3y + 2），变形过程更简便，优先选择代入消元法；若系数不为 1，也可通过变形使用，但计算量稍大。幻灯片 4：代入消元法的完整操作步骤（五步规范流程）为确保解题过程清晰、不易出错，代入消元法需遵循以下五步规范流程：步骤 1：选方程，定变形对象从方程组的两个方程中，选择某一未知数系数较简单的方程（优先选系数为 1 或 - 1 的方程），确定将其变形为 “一个未知数 = 含另一个未知数的代数式”。示例：方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 11 \\ x - y = 2\end{cases}\)，第二个方程 “x - y = 2” 中 x 的系数为 1，优先选择该方程进行变形。步骤 2：变形方程，用一个未知数表示另一个未知数将选中的方程通过移项、合并同类项等操作，变形为 “未知数 1 = 含未知数 2 的代数式” 或 “未知数 2 = 含未知数 1 的代数式”。示例：延续上例，将 “x - y = 2” 变形为 “x = y + 2”（移项得 x = y + 2），或 “y = x - 2”（移项得 - y = 2 - x，两边乘 - 1 得 y = x - 2），两种变形均可，选择更简便的一种即可。步骤 3：代入消元，得到一元一次方程将变形后的代数式代入另一个未变形的方程，替换对应的未知数，消去一个未知数，得到仅含一个未知数的一元一次方程。示例：延续上例，将 “x = y + 2” 代入第一个方程 “3x + 2y = 11”，替换 x，得 3 (y + 2) + 2y = 11，展开后为 3y + 6 + 2y = 11，合并同类项得 5y + 6 = 11（一元一次方程）。关键提醒：代入时需替换 “另一个方程” 中的所有对应未知数，不可代入原变形方程（否则会得到恒等式，无法求解）。步骤 4：解一元一次方程，求出第一个未知数的值按一元一次方程的解法（去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），求解得到的一元一次方程，得出一个未知数的值。示例：延续上例，解 5y + 6 = 11，移项得 5y = 11 - 6 = 5，系数化为 1 得 y = 1。步骤 5：回代求另一个未知数，写出方程组的解将求出的未知数的值回代到变形后的代数式中（或原方程组的任意一个方程中），求出另一个未知数的值，最后用大括号联立两个未知数的值，写出方程组的解。示例：延续上例，将 y = 1 回代到 “x = y + 2”，得 x = 1 + 2 = 3，因此方程组的解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}\)。验证：将 x=3、y=1 代入原方程组，3×3 + 2×1 = 11（左边 = 右边），3 - 1 = 2（左边 = 右边），解正确。幻灯片 5：不同类型方程组的代入消元法应用类型 1：某一未知数系数为 1 或 - 1（简便型）例题：解方程组\(\begin{cases}y = 2x - 4 \\ 3x + y = 1\end{cases}\)解答：选方程与变形：第一个方程 “y = 2x - 4” 已直接变形为 “y = 含 x 的代数式”，无需额外变形；代入消元：将 y = 2x - 4 代入第二个方程 “3x + y = 1”，得 3x + (2x - 4) = 1；解一元一次方程：3x + 2x - 4 = 1→5x = 5→x = 1；回代求 y：将 x = 1 代入 y = 2x - 4，得 y = 2×1 - 4 = -2；方程组的解：\(\begin{cases}x = 1 \\ y = -2\end{cases}\)。类型 2：未知数系数均不为 1（需先变形为系数为 1 的形式）例题：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 13 \\ 4x - y = 5\end{cases}\)解答：选方程与变形：第二个方程 “4x - y = 5” 中 y 的系数为 - 1，变形为 “y = 4x - 5”（移项得 - y = 5 - 4x，乘 - 1 得 y = 4x - 5）；代入消元：将 y = 4x - 5 代入第一个方程 “2x + 3y = 13”，得 2x + 3 (4x - 5) = 13；解一元一次方程：2x + 12x - 15 = 13→14x = 28→x = 2；回代求 y：将 x = 2 代入 y = 4x - 5，得 y = 4×2 - 5 = 3；方程组的解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)。类型 3：两个方程均需变形（系数均不为 1 或 - 1，较少见）例题：解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 8 \\ 2x - 3y = 1\end{cases}\)解答：选方程与变形：选第一个方程 “3x + 2y = 8”，变形为 “x = \(\frac{8 - 2y}{3}\)”（移项得 3x = 8 - 2y，系数化为 1 得 x = \(\frac{8 - 2y}{3}\)）；代入消元：将 x = \(\frac{8 - 2y}{3}\)代入第二个方程 “2x - 3y = 1”，得 2×\(\frac{8 - 2y}{3}\) - 3y = 1；解一元一次方程：两边乘 3 消分母得 2 (8 - 2y) - 9y = 3→16 - 4y - 9y = 3→-13y = -13→y = 1；回代求 x：将 y = 1 代入 x = \(\frac{8 - 2y}{3}\)，得 x = \(\frac{8 - 2×1}{3}\) = 2；方程组的解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。提醒：此类方程组用加减消元法更简便，但通过代入消元法也可求解，变形时注意分数运算的准确性。幻灯片 6：典型例题解析（基础型、进阶型、易错型）例题 1：基础型（直接变形代入）题目：解方程组\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ 2x - y = 5\end{cases}\)解答：变形：选第二个方程 “2x - y = 5”，变形为 “y = 2x - 5”；代入：将 y = 2x - 5 代入第一个方程 “x + 2y = 5”，得 x + 2 (2x - 5) = 5；求解：x + 4x - 10 = 5→5x = 15→x = 3；回代：y = 2×3 - 5 = 1；解：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}\)。例题 2：进阶型（含括号的方程组）题目：解方程组\(\begin{cases}2(x + 1) = y + 3 \\ 3(y - 1) = 2(x + 5)\end{cases}\)解答：先整理方程（去括号、移项）：第一个方程：2x + 2 = y + 3→y = 2x - 1；第二个方程：3y - 3 = 2x + 10→3y - 2x = 13；代入：将 y = 2x - 1 代入 “3y - 2x = 13”，得 3 (2x - 1) - 2x = 13；求解：6x - 3 - 2x = 13→4x = 16→x = 4；回代：y = 2×4 - 1 = 7；解：\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 7\end{cases}\)。例题 3：易错型（代入时漏代或符号错误）题目：解方程组\(\begin{cases}3x - y = 7 \\ 2x + 3y = 1\end{cases}\)（易出错步骤演示）常见错误：变形错误：将 “3x - y = 7” 错变形为 “y = 3x + 7”（正确应为 y = 3x - 7，移项时符号错误）；代入错误：将 y = 3x - 7 代入 “2x + 3y = 1” 时，错写为 “2x + 3x - 7 = 1”（漏乘 3，正确应为 2x + 3 (3x - 7) = 1）；正确解答：变形：3x - y = 7→y = 3x - 7；代入：2x + 3 (3x - 7) = 1→2x + 9x - 21 = 1；求解：11x = 22→x = 2；回代：y = 3×2 - 7 = -1；解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}\)。幻灯片 7：代入消元法的常见错误与规避技巧常见错误类型错误示例规避技巧变形时符号错误将 “x - y = 3” 错变形为 “y = x + 3”（正确：y = x - 3）移项时遵循 “移项变号” 原则，变形后代入原方程验证（如 x - (x - 3) = 3，左边 = 3，正确）代入时漏代或代错方程将变形后的 y = x - 3 代入原变形方程 “x - y = 3”，得 x - (x - 3) = 3（恒等式，无法求解）严格代入 “另一个未变形的方程”，代入后检查是否消去了一个未知数代入时漏乘系数将 y = 2x - 1 代入 “3x + 2y = 5”，错写为 “3x + 2x - 1 = 5”（漏乘 2）代入多项式时，给多项式加括号，再按分配律展开（如 3x + 2 (2x - 1) = 5）回代时代入错误的代数式求出 x = 2 后，回代到未整理的方程 “2 (x + 1) = y + 3”，计算错误优先回代到 “变形后的最简代数式”（如 y = 2x - 1），减少计算步骤解一元一次方程时计算错误解 “5x + 6 = 11” 时，错得 x = 2（正确：x = 1）分步计算，每一步检查符号和系数，解出后代入一元一次方程验证幻灯片 8：课堂练习巩固（分层练习）基础练习 1：直接变形代入解方程组：\(\begin{cases}y = x + 5 \\ 2x + y = 11\end{cases}\)解方程组：\(\begin{cases}x - 2y = 3 \\ 3x + y = 10\end{cases}\)（提示：将第二个方程变形为 y = 10 - 3x）提升练习 2：含整理步骤的代入解方程组：\(\begin{cases}2x - y = 5 \\ 3(x + 1) = 4(y + 2)\end{cases}\)（先整理第二个方程）解方程组：\(\begin{cases}\frac{x}{2} + y = 3 \\ 2x - 3y = 1\end{cases}\)（先将第一个方程变形为 x = 2 (3 - y)）拓展练习 3：实际问题应用（列方程组并代入求解）某班买了 3 本笔记本和 2 支钢笔共花 34 元，买 1 本笔记本和 1 支钢笔共花 13 元，求笔记本和钢笔的单价各是多少元？（设笔记本 x 元 / 本，钢笔 y 元 / 支）幻灯片 9：课堂小结核心知识总结代入消元法的本质：通过 “变形→代入” 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解；关键步骤：选方程变形→代入消元→解一元方程→回代求另一个未知数→验证；适用场景：方程组中至少有一个方程的某一未知数系数为 1 或 - 1，变形简便。方法技巧总结变形技巧：优先选择系数为 1 或 - 1 的方程变形，减少分数运算；代入技巧：代入时给多项式加括号，2025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.知道二元一次方程组的解的概念，会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解.2.经历探索代入法解二元一次方程组的过程，体会消元与化归思想的作用.3.会用代入消元法解二元一次方程组.◎重点:代入消元法.◎难点:消元与化归思想. 新课导入 上节课我们已经学习了二元一次方程组的相关概念，以及如何根据问题中的等量关系列二元一次方程组.但是，要完全解决问题，只列出二元一次方程组是远远不够的，下面我们就来学习如何得到二元一次方程组的解.新课导入 消元与化归思想 【归纳总结】(1)解二元一次方程组要消元，也就是要消去一个　未知数　，把解二元一次方程组转化为　解一元一次方程　；  (2)使二元一次方程组中每个方程都成立的　两个未知数的值　，叫做二元一次方程组的解.  未知数解一元一次方程两个未知数的值 代入消元法 【归纳总结】从一个方程中求出　某一个未知数的表达式　，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称　代入法　.  代入消元法的一般步骤为:(1)求表达式；(2)代入消元；(3)回代求解.某一个未知数的表达式代入法 1.在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，这个过程体现的数学思想是(　B　)B2.方程3x－5y＝9，用含x的代数式表示y为(　D　)D 根据二元一次方程用其中一个未知数表示另一个未知数 方法归纳交流　用含有x的式子表示y时，应将含有y的式子放在等号的　左边　，其他式子放在等号的　右边　.  左边右边 用代入法解二元一次方程组    观察方程组中的两个方程，看哪个未知数的系数的绝对值最小，就选择含有系数的绝对值最小的未知数的方程进行变形，把系数的绝对值最小的未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.观察方程组中的两个方程，看哪个未知数的系数的绝对值最小，就选择含有系数的绝对值最小的未知数的方程进行变形，把系数的绝对值最小的未知数用含另一个未知数的代数式表示方法归纳交流　用代入法解二元一次方程组时选择哪个方程进行变形？出来. 二元一次方程(组)的解 －1 方法归纳交流　将所给未知数的值代入方程或者方程组中，得到一个关于新的字母的二元一次方程组，求新二元一次方程组的解得到　字母的值　. 0字母的值 A 返回 5　 返回 B 返回 D 返回 【点拨】　　由②得 y ＝2 x －5，然后代入①后化简比较容易.故选D. 【答案】D 返回 【点拨】 由①得 y ＝5－3 x ，③把③代入②，得 x ＋3(5－3 x )＝7，解得 x ＝1， 把 x ＝1代入①，得3×1＋ y ＝5，解得 y ＝2，  返回 【解】由①得 x ＝ y ＋1，③把③代入②，得3( y ＋1)＋2 y ＝8，解得 y ＝1.  返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！