3.4.3二元一次方程组的解法——加减消元法（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：3.4.3 二元一次方程组的解法 —— 加减消元法背景图：左侧展示 “加减消元原理”（方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 13 \\ 2x - y = 5\end{cases}\)，标注 “两方程相减消去 x，得 4y=8”）；右侧呈现 “凑系数示例”（方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 11 \\ x + y = 4\end{cases}\)，标注 “第二个方程乘 2 得 2x+2y=8，与第一个方程相减消去 y”），直观体现加减消元的核心操作，下方搭配 “通过加减实现消元的高效解法” 文字提示，明确学习目标。幻灯片 2：目录加减消元法的核心原理（为何加减、如何凑系数）加减消元法的完整操作步骤（四步规范流程）不同类型方程组的加减消元法应用（系数相反、系数相等、系数成倍数、系数无倍数）典型例题解析（基础型、进阶型、复杂型）加减消元法与代入消元法的对比选择易错点警示与规避技巧课堂练习巩固（分层练习）课堂小结与作业布置幻灯片 3：加减消元法的核心原理（为何加减、如何凑系数）为何选择 “加减” 消元当二元一次方程组中某一未知数的系数互为相反数（如 2x 和 - 2x）时，将两方程相加可消去该未知数；若系数相等（如 3y 和 3y），将两方程相减可消去该未知数。这种通过 “加减” 直接消元的方法，无需复杂代数式变形，尤其适用于未知数系数不为 1 的方程组，运算更高效。核心操作：如何 “凑系数”若方程组中某一未知数的系数既不相等也不相反，需通过 “给方程乘适当的数”，使该未知数的系数变为 “相等” 或 “互为相反数”，具体原则：找两个系数的最小公倍数，用最小公倍数分别除以两个系数，得到各自需乘的数；若要使系数互为相反数，给其中一个方程乘 “负数”；若要使系数相等，均乘正数。示例：方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 8 \\ 3x - 2y = 1\end{cases}\)，消去 x：x 的系数为 2 和 3，最小公倍数为 6，给第一个方程乘 3（6÷2=3），第二个方程乘 2（6÷3=2），得\(\begin{cases}6x + 9y = 24 \\ 6x - 4y = 2\end{cases}\)，此时 x 的系数相等，可相减消元。加减消元法的适用场景方程组中未知数系数不为 1 或 - 1，且通过凑系数可快速使某一未知数系数相等或相反（如系数为 2 和 4、3 和 - 3），优先选择加减消元法，避免代入消元法中的分数运算。幻灯片 4：加减消元法的完整操作步骤（四步规范流程）为确保消元准确、计算无误，加减消元法需遵循以下四步规范流程：步骤 1：观察系数，确定消元目标观察方程组中两个方程的未知数系数，选择更容易凑系数的未知数作为消元目标（优先选系数最小公倍数较小的未知数）。示例：方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 19 \\ x - 2y = 1\end{cases}\)，y 的系数为 4 和 - 2，最小公倍数为 4，比 x 的系数（3 和 1，最小公倍数 3）凑系数更简便，故选择消去 y。步骤 2：凑系数，使消元目标的系数相等或互为相反数给两个方程分别乘适当的数，使消元目标的系数变为 “相等” 或 “互为相反数”。示例：延续上例，消去 y：y 的系数为 4 和 - 2，给第二个方程乘 2（4÷2=2），得\(\begin{cases}3x + 4y = 19 \\ 2x - 4y = 2\end{cases}\)，此时 y 的系数为 4 和 - 4（互为相反数），可通过相加消元。步骤 3：加减方程，消去目标未知数，得到一元一次方程若消元目标的系数互为相反数，将两个方程的左右两边分别相加，消去该未知数；若系数相等，将两个方程的左右两边分别相减，消去该未知数；示例：延续上例，将两方程相加：(3x + 4y) + (2x - 4y) = 19 + 2→5x = 21（一元一次方程，y 被消去）。关键提醒：加减时需将方程的 “每一项” 都参与运算（包括常数项），注意符号（减号相当于加负数，如 3x - (2x + 1) = 3x - 2x - 1）。步骤 4：解一元一次方程，回代求另一未知数，写出解解步骤 3 得到的一元一次方程，求出一个未知数的值；将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程（优先选简单的方程），求出另一个未知数的值；用大括号联立两个未知数的值，写出方程组的解，并验证。示例：延续上例，解 5x = 21→x = 4.2（或\(\frac{21}{5}\)）；将 x = \(\frac{21}{5}\)代入 x - 2y = 1，得\(\frac{21}{5}\) - 2y = 1→2y = \(\frac{21}{5}\) - 1 = \(\frac{16}{5}\)→y = \(\frac{8}{5}\)；方程组的解为\(\begin{cases}x = \frac{21}{5} \\ y = \frac{8}{5}\end{cases}\)；验证：3×\(\frac{21}{5}\) + 4×\(\frac{8}{5}\) = \(\frac{63 + 32}{5}\) = \(\frac{95}{5}\) = 19，符合原方程。幻灯片 5：不同类型方程组的加减消元法应用类型 1：某一未知数系数互为相反数（直接相加消元）例题：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ 5x - 3y = 14\end{cases}\)解答：观察系数：y 的系数为 3 和 - 3（互为相反数），选择消去 y；凑系数：无需凑系数，直接相加；加减消元：两方程相加得 7x = 21→x = 3；回代求 y：将 x = 3 代入 2x + 3y = 7，得 6 + 3y = 7→3y = 1→y = \(\frac{1}{3}\)；解：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = \frac{1}{3}\end{cases}\)。类型 2：某一未知数系数相等（直接相减消元）例题：解方程组\(\begin{cases}4x + 2y = 10 \\ 4x - 3y = 5\end{cases}\)解答：观察系数：x 的系数均为 4（相等），选择消去 x；凑系数：无需凑系数，直接相减；加减消元：第一个方程减第二个方程得 (4x + 2y) - (4x - 3y) = 10 - 5→5y = 5→y = 1；回代求 x：将 y = 1 代入 4x + 2y = 10，得 4x + 2 = 10→4x = 8→x = 2；解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。类型 3：某一未知数系数成倍数关系（单方程凑系数）例题：解方程组\(\begin{cases}3x + 5y = 21 \\ x + 2y = 7\end{cases}\)解答：观察系数：x 的系数为 3 和 1（3 是 1 的 3 倍），选择消去 x；凑系数：给第二个方程乘 3，得\(\begin{cases}3x + 5y = 21 \\ 3x + 6y = 21\end{cases}\)；加减消元：第二个方程减第一个方程得 y = 0；回代求 x：将 y = 0 代入 x + 2y = 7，得 x = 7；解：\(\begin{cases}x = 7 \\ y = 0\end{cases}\)。类型 4：系数无倍数关系（双方程凑系数）例题：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 12 \\ 3x - 4y = 1\end{cases}\)解答：观察系数：x 的系数为 2 和 3，最小公倍数 6；y 的系数为 3 和 - 4，最小公倍数 12，选择消去 x；凑系数：给第一个方程乘 3，第二个方程乘 2，得\(\begin{cases}6x + 9y = 36 \\ 6x - 8y = 2\end{cases}\)；加减消元：第一个方程减第二个方程得 17y = 34→y = 2；回代求 x：将 y = 2 代入 2x + 3y = 12，得 2x + 6 = 12→2x = 6→x = 3；解：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)。幻灯片 6：典型例题解析（基础型、进阶型、复杂型）例题 1：基础型（直接加减消元）题目：解方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}\)解答：消元目标：y 的系数为 1 和 - 1（互为相反数），消去 y；相加消元：两方程相加得 2x = 6→x = 3；回代求 y：x = 3 代入 x + y = 5→y = 2；解：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)。例题 2：进阶型（含分母的方程组）题目：解方程组\(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \\ 3x - 2y = 8\end{cases}\)解答：先整理方程（去分母）：第一个方程乘 6 得 3x + 2y = 12，方程组变为\(\begin{cases}3x + 2y = 12 \\ 3x - 2y = 8\end{cases}\)；消元目标：y 的系数为 2 和 - 2（互为相反数），消去 y；相加消元：两方程相加得 6x = 20→x = \(\frac{10}{3}\)；回代求 y：x = \(\frac{10}{3}\)代入 3x - 2y = 8→10 - 2y = 8→y = 1；解：\(\begin{cases}x = \frac{10}{3} \\ y = 1\end{cases}\)。例题 3：复杂型（多步凑系数）题目：解方程组\(\begin{cases}2(x - 1) + 3(y + 1) = 10 \\ 3(x - 1) - 2(y + 1) = 1\end{cases}\)解答：换元简化：设 m = x - 1，n = y + 1，方程组变为\(\begin{cases}2m + 3n = 10 \\ 3m - 2n = 1\end{cases}\)；凑系数消元：消去 n，给第一个方程乘 2，第二个方程乘 3，得\(\begin{cases}4m + 6n = 20 \\ 9m - 6n = 3\end{cases}\)；相加消元：13m = 23→m = \(\frac{23}{13}\)；回代求 n：m = \(\frac{23}{13}\)代入 2m + 3n = 10→\(\frac{46}{13}\) + 3n = 10→3n = \(\frac{84}{13}\)→n = \(\frac{28}{13}\)；还原求 x、y：x = m + 1 = \(\frac{36}{13}\)，y = n - 1 = \(\frac{15}{13}\)；解：\(\begin{cases}x = \frac{36}{13} \\ y = \frac{15}{13}\end{cases}\)。幻灯片 7：加减消元法与代入消元法的对比选择对比维度加减消元法代入消元法核心操作凑系数→加减消元→解一元方程变形代数式→代入消元→解一元方程适用场景未知数系数不为 1，且易凑系数（如 2 和 4、3 和 - 3）某一未知数系数为 1 或 - 1，变形简便优势避免分数运算，消元直接高效无需凑系数，步骤直观简单劣势凑系数需计算最小公倍数，易出错系数不为 1 时，易产生分数运算，增加计算量选择建议系数无 1 且最小公倍数小（如 3 和 6、-2 和 4）系数含 1 或 - 1（如 y = 2x - 3、x = y + 5）示例方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 11 \\ 3x - 2y = 4\end{cases}\)\(\begin{cases}y = x + 2 \\ 2x + 3y = 13\end{cases}\)幻灯片 8：易错点警示与规避技巧常见错误类型错误示例规避技巧凑系数时漏乘常数项给方程 “2x + y = 5” 乘 2，错写为 “4x + y = 5”（漏乘 y 和 5）凑系数时，方程的 “每一项” 都要乘相同的数，乘后检查各项系数（如 2x×2=4x，y×2=2y，5×2=10）加减方程时符号错误方程 1：3x + 2y = 7，方程 2：x - 2y = 1，相减时错写为 3x + 2y - x - 2y = 7 - 1（应为 3x + 2y - (x - 2y) = 7 - 1）相减时给被减方程加括号，按去括号法则展开（减号变号），即 A - (B - C) = A - B + C消元后解一元一次方程错误解 “7x = 28” 时，错得 x = 4（正确，但解 “-5y = 10” 时错得 y = 2，正确应为 y = -2）解一元一次方程时，注意系数符号，除以负数时结果符号需改变，解后代入验证回代时选择复杂方程导致错误回代时选择含分母或多括号的方程，如 “\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2\)”回2025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会用加减消元法解二元一次方程组.2.能根据方程组的特点，恰当地运用代入法和加减法解方程组. 3.进一步体会消元与化归思想的作用及其重要性.◎重点:加减消元法解二元一次方程组.◎难点:选择最简便的方式解方程组. 激趣导入  激趣导入 方程组某一未知数系数互为相反数 当方程组同一个未知数的系数互为相反数时，两个方程　相加　可去消去一个未知数. 相加 方程组某一未知数系数相等 1.当方程组同一个未知数的系数相等时，两个方程　相减　可去消去一个未知数.  2.揭示概念:像这种把两个方程的两边分别　相加或者相减　消去一个未知数的方法，叫做　加减消元法　，简称　加减法　.  相减相加或者相减加减消元法加减法 方程组某一未知数系数成倍数 阅读课本 “例2”的内容，回答下列问题.思考:对于“例2”中的方程组，如果要消去未知数y，又该如何变形？①×3－②.  D2.用加减消元法解方程组: 解:(1)①＋②，得6x＝6，解得x＝1. (2)②－①，得2x＝－2，即x＝－1.  加减法 方法归纳交流　当二元一次方程组中某个未知数的系数　相等或互为相反数　时，这时我们可以将两个方程直接相加或相减达到消元的目的.  y相等或互为相反数 B方法归纳交流　某一未知数的系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数的绝对值相等，再运用加减消元法求解. 代入法和加减法的灵活选择 C方法归纳交流　在方程组中，当某个未知数的系数比较简单时，用　代入法　可能较简便；当某个未知数的系数的绝对值相等或较易化为绝对值相等时，用　加减法　较方便.  代入法加减法 解复杂的二元一次方程组  ①×53＋②，得980x＝980，解得x＝1.   A D C   5.解方程组:解:(1)①－②×4，得11y＝－11，即y＝－1. (2)①＋②，得5x＝10，即x＝2.  D 返回 A 返回  ①－②得2 x －2 y ＝2 m ＋6，所以 x － y ＝ m ＋3，因为 x － y ＝4，所以 m ＋3＝4，解得 m ＝1.【点拨】【答案】B 返回4. [新考法 表格信息法]已知 a ， b 都是有理数，观察下表，可得 m ＝ ⁠.3　 返回     返回 【点拨】A. ①×2－②可以消去 x ，不符合题意；B. ②×(－3)－①可以消去 y ，不符合题意；C. ①×(－2)＋②可以消去 x ，不符合题意；D. ①－②×3无法消元，符合题意.【答案】D 返回 【点拨】利用①× a ＋②× b 消去 x ，则5 a ＋2 b ＝0，故 a ， b 的值可能是2，－5，故选D. 【答案】D 返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！