初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）4 一次函数的应用同步练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）4 一次函数的应用同步练习题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．表格为一次函数的自变量与因变量的几组对应值：
则下列关于该函数图象的说法中正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与坐标轴围成的三角形的面积为18
D．若点和在该函数图象上，且，则
3．在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
4．若一次函数 的图象与直线 平行，且过点 ，则该一次函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．已知一次函数的图像与直线平行，且过点那么此一次函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．已知一次函数y＝ax＋a（a为常数，且a≠0）的图象经过点（1，1），则实数a的值为（ ）
A．1B．C．2D．
7．对任意实数a，直线y=(a−1)x+3−2a一定经过点（ ）
A．B．C．D．
8．一次函数中，与的部分对应值如下表，则不等式的解是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．将直线向上平移个单位长度后，得到的新直线的解析式是 ．
10．已知一次函数的图象经过点和点B，点B是一次函数的图象与x轴的交点，则这个一次函数的解析式是 ．
11．在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图．则小明打了6分钟需付费 元．
12．已知一次函数，自变量的取值范围是，函数值的取值范围是，则这个一次函数表达式是 ．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和．
(1)求一次函数的关系式；
(2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积．
14．如图所示，点A的坐标为，点的坐标为．
(1)求过A，两点直线的函数表达式；
(2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．
15．已知一次函数的图像经过点．
(1)求这个函数的表达式，并判断点是否在此函数图像上；
(2)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．
(3)把该函数图像向下平移6个单位长度所得图像对应的函数表达式是_____．
16．综合与实践
某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，该水杯的单价最高不超过40元．在销售过程中发现，这种水杯的日销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系．
(1)求与的函数关系式．
(2)当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)因原材料价格发生变动．该种水杯的进价变为元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变．在实际销售过程中，发现该种水杯每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值．
…
0
1
2
3
…
…
6
5
4
3
…
0
1
5
3
1
参考答案
1．C
【分析】本题考查了函数图象平移的规律和解析式中参数的求解方法，解题关键是掌握平移规则．将直线向下平移个单位后，解析式变为，代入点即可求解．
【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到，
平移后的图象经过点，
，
解得，
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了一次函数与其系数的关系，求一次函数与坐标轴的交点坐标等等，利用待定系数法求出函数解析式，即可判断其所经过的象限，据此可判断A；求出函数值为0时，自变量的值即可判断B；求出一次函数与两坐标轴的交点坐标即可判断C；根据增减性即可判断D．
【详解】解：把，代入到中得：，
解得，
∴一次函数的解析式为，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，不符合题意；
在中，当时，解得，
∴图象与x轴的交点坐标为，故B说法错误，不符合题意；
∵时，，
∴图象与y轴的交点坐标为，
∴图象与坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法正确，符合题意；
∵在中，，
∴y随x增大而减小，
若点和在该函数图象上，且，则，故D说法错误，不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答．
【详解】解：设过点，的直线解析式为，
把点，分别代入，
得，
∴，
∴，
∵过点，的直线向上平移3个单位长度，
∴平移后的直线解析式为，
当时，则，
即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意；
当时，则，
即在直线上，故D选项不符合题意；
当时，则，
即在直线上，故C选项不符合题意；
故选：B
4．D
【分析】根据平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把点的坐标代入一次函数解析式计算即可得解．本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的k值相等求出一次函数解析式的k值是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象与直线 平行，
∴，
∵一次函数过点
∴
解得，
∴一次函数解析式为．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，关键掌握当k相同，且b不相等，图象平行；
设所求一次函数的解析式为 ，根据图象与直线平行可得，将代入即可解答．
【详解】解：设所求一次函数的解析式为 ，
函数的图象与直线平行，
，
又过点，有，
解得，
一次函数的解析式为，
故选：A．
6．B
【分析】将点（1，1），代入到一次函数解析式即可求得的值．
【详解】一次函数y＝ax＋a（a为常数，且a≠0）的图象经过点（1，1），
,
,
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的特征，将点代入解析式是解题的关键．
7．C
【分析】解析式化为y=a（x-2）-x+3，即可求得．
【详解】解：∵y=ax-x+3-2a= a（x-2）-x+3，
∴当x=2时，y=1，
∴直线y=(a−1)x+3−2a都经过平面内一个定点（2，1）；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标特征适合解析式是解题的关键．
8．C
【分析】先求出一次函数解析式，令y=0，求出x，由表格得到函数的增减性后，再得出y=0时，对应的x的值即可．
【详解】解：由题意可得：
，解得：，
∴，
令，解得：x=，
由表格中数据可得：
函数值y随x的增大而减小，
∴不等式的解集为： x＞0.5，
故选：C．
【点睛】此题考查了一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
9．/
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据“上加下减”的平移规律解答即可求解，掌握一次函数图象的平移规律
是解题的关键．
【详解】解：将直线向上平移个单位长度后，得到的新直线的解析式是，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，根据题意可得出B点坐标，结合A点坐标用待定系数法可求出函数解析式．
【详解】解：因为点B是一次函数的图象与y轴的交点，
所以令，得，即
又一次函数的图象过点
得
解得：
∴.
故答案为：
11．1.8
【分析】本题主要考查了一次函数的应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，分段函数，是解决问题的关键．
根据函数图象，当时，得；当时，根据与代求得，把代入即得．
【详解】解：由图形可得：
当时，元．
当时，设y与x的解析式为．
将与代入，
得：．
解得：．
∴．
∵，
∴小明打了6分钟应付费为元．
故答案为：1.8．
12．或
【分析】分两种情况讨论①，②，待定系数法求出函数解析式即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，分类讨论是解答本题的关键．
【详解】解：①当时，一次函数，
∴随增大而增大，
∵自变量的取值范围是，函数值的取值范围是，
∴函数必过，
∴，解得，
一次函数解析式为：；
②当时，一次函数，
∴随增大而减小，
∵自变量的取值范围是，函数值的取值范围是，
∴函数必过，
则：，解得，
一次函数解析式为：．
综上分析，一次函数解析式为或．
故答案为：或．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，三角形的面积，掌握数形结合思想解题是解题的关键．
（）利用待定系数法解答即可；
（）根据（）所得函数解析式，求出点坐标，进而求出的长度，最后根据三角形面积公式计算即可；
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和，
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴．
14．(1)
(2)2或6
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何的应用等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由点A、B的坐标，可得出的长，结合，可求出的长，然后再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设过A，B两点直线的函数表达式为，
将，代入得：
，解得：，
∴过A，B两点直线的函数表达式为．
（2）解：∵点A的坐标为，点的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴或，
∴或．
综上，的面积为2或6．
15．(1) ； 点B不在图像上；
(2)面积为4；
(3)．
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变化，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的平移规律；
（1）把代入一次函数解析式中，根据待定系数法即可得到函数的表达式，将代入函数表达式，求出对应的y值，再与3进行比较，即可得到结论；
（2）求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可解答；
（3）根据一次函数的平移规律：上加下减即可解答．
【详解】（1）解：把点代入中，得
，
解得，
∴这个函数的表达式是；
当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
（2）令，代入得：
，
令，代入得：
，
∴此函数此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积：；
（3）解：把这条直线向下平移6个单位长度后函数表达式为；
故答案为：．
16．(1)与的关系式为；
(2)该商品每天获得的利润的最大值为450元；
(3)最小值为30．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用等知识点，
(1)根据图中所给的数据，利用待定系数法即可求得其关系式；
(2)根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
(3)根据日销售利润=日销售量（销售单价-成本单价）列出函数解析式，求出函数对称轴为直线，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，，得出，求解即可；
熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】（1）解：设与的关系式为，
将代入解析式得，
，解得，
与的关系式为；
（2）解：设商家获得的利润为，
∴
，
，，
当时，有最大值，最大值为450，
该商品每天获得的利润的最大值为450元；
（3）解：由题意得：
，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
水杯的单价最高不超过40元，
∴，
在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，
，
解得：，
最小值为30．
4.4 一次函数的应用（2）课后作业
一、单选题
1．一次函数与轴相交于点，则关于的方程的解为（ ）
A．B．C．D．无法求解
2．一次函数图象如图，则关于x的方程的解为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，所得图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．某兴趣小组的同学们观察一种植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到（ ）．
A．14B．15C．16D．17
6．甲、乙两车从A地沿直路同向匀速行驶行往B地，现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，y与x的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是（ ）
A．3500米B．3200米C．4375米D．4000米
7．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为（单位：），小乐和小文行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小乐比小文先出发
B．小文提速后的速度为
C．小乐的速度为
D．小文比小乐提前到达客人位置
二、填空题
8．直线（与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ．
9．一次函数（为常数，）的图象如图所示，则关于的方程的解是 ．
10．将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ．
11．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ．
12．如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为 ．
三、解答题
13．“五一”假期，小明和父母开车到距家180千米的西乡旅游．出发前，汽车油箱内储油36升；行驶途中，小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶160千米时，发现油箱余油量为20升．
(1)求：
①汽车平均每千米的耗油量；
②行驶路程x（千米）与剩余油量（升）的关系式；
(2)当千米时，求剩余油量（升）的值；
(3)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警．若往返途中，都未加油．小明一家能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
14．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)甲在空中停留时的高度是 米，甲起飞 秒后，乙开始起飞；
(2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？
(3)若两架无人机所在的高度相差米，直接写出t的值．
15．列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购进A种树苗a棵，所需总费用为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进A种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
16．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点．
(1)求点A的坐标．
(2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点B，C，连接．
①线段的长为______（用含m的代数式表示）．
②若，求的面积．
参考答案
1．C
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．一次函数图象与x轴交点的横坐标等于对应方程的解，据此即可解答．
【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，
关于的方程的解为，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解．
【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为，
∴关于的方程的解是．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题．
由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断．
【详解】解：方程的解是，
经过点．
故选：C．
4．C
【分析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律得到新的函数解析式，再令即可求解．
【详解】将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后得到：，
令，
解得，
所得图象与x轴的交点坐标为．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的平移是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键．
根据图示，设一次函数为，把点代入得到解析式，再把代入即可求解．
【详解】解：根据函数图象设一次函数为，把点代入得，
解得，，
∴一次函数解析式为，
当时，，
当时，，则该植物达到最高高度，
∴该植物最高长到，
故选C ．
6．D
【分析】本题考查了函数图象的实际应用以及行程问题中速度、时间和路程的关系，解题关键是从图象中获取关键信息，明确甲、乙两车的运动时间和路程关系，进而计算出两车的速度．
主要解题思路：从图象得知 100 秒时乙追上甲，此时乙比甲多走 500 米，算出乙比甲快 5 米 / 秒；根据 100 到 160 秒的时间差，得这段乙比甲多走 300 米即 a 的值；由甲 160 到 175 秒走完 a 的路程，算出甲速，进而得乙速，最后求出乙行驶的总路程．
【详解】解：观察图象可知：从开始出发至第100秒，乙车追上甲车，说明在此段时间内乙车比甲车多走500米，因此乙车比甲车的速度快（米/秒），
∴从第100秒至第160秒，乙车比甲车多走（米），
∵至第160秒，乙走完全程；甲从第160秒至175秒也走完全程，此段时间经过的路程也是（米）．
∴甲车的行驶速度为（米/秒），
∴乙车的行驶速度为（米/秒），
因此乙车在整个运动过程中行驶的路程是：（米）．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．
根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解．
【详解】解：结合图象可知，由图象可知，小乐的图象从开始，小文的图象从开始，所以小乐比小文先出发，故A选项错误，不符合题意；
∵当时，，当时，，
∴小文提速前的速度是，
∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴小文提速后速度为，故B选项错误，不符合题意；
故提速后小文行走所用时间为：，
∴，
∴，
∴小乐的速度为，
∴C选项说法正确符合题意；
∴；
∴，故D选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
8．
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据方程与一次函数的关系即可解决问题．
【详解】解：由题知，方程的解可看成一次函数的图象与轴交点的横坐标，
因为直线与轴交于点，
所以的解为．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为时对应自变量的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键．
【详解】解：由图象知，当时，，
∴关于的方程的解为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令，解得即可．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为，
∵此时与x轴相交，则，
∴，即，
∴与x轴的交点坐标是．
故答案为：
11．
【分析】根据方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值解答即可．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，
∴方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程与一次函数的关系，利用数形结合的思想解题是解答本题的关键．
12．
【分析】根据题意和最短路线问题，作关于直线为对称点 ，连接，则的周长的最小；在根据勾股定理可求结果.
【详解】解：如图，
∵函数的图象与轴，轴分别交于两点
∴
∵点为直线上的动点，的周长的最小值
作关于直线为对称点 ，连接与直线交于点D，连接，则的周长的最小；
∴
∵
∴
在中，根据勾股定理得：
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，作出相应的辅助线，利用数形结合的思想解答．
13．(1)①汽车平均每千米的耗油量为升；②
(2)12升
(3)不能，见解析
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的行程问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）①理解题意，进行列式，得汽车平均每千米的耗油量为升，
②结合汽车油箱内储油36升，得行驶路程x（千米）与剩余油量（升）的关系式；
（2）把代入，得，即可作答．
（3）把代入，得，因为，故小明一家不能在汽车报警前回到家．
【详解】（1）解：①∵小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶160千米时，发现油箱余油量为20升．
∴（升）
即汽车平均每千米的耗油量为升；
②依题意，汽车平均每千米的耗油量为升；
∴行驶路程x（千米）与剩余油量（升）的关系式为；
（2）解：依题意，把代入，
得，
∴剩余油量升)的值为12升；
（3）解：不能，理由如下：
依题意，把代入，
得，
解得，
则往返途中，（千米） ，
∵，
∴小明一家不能在汽车报警前回到家．
14．(1)，
(2)米/秒
(3)或或
【分析】本题考查了函数图象的识别、一元一次方程的应用，注意数形结合思想的应用．
（1）根据函数图象结合题意解答可得答案；
（2）根据“速度路程时间”解答即可；
（3）分乙起飞前，乙起飞后高度低于甲米以及高于甲米三种情况解答即可．
【详解】（1）解：（1）由题意得，甲在空中停留时的高度是米，甲出发14秒后乙开始起飞，
故答案为：；；
（2）（米/秒），
答：甲无人机的上升速度为米/秒；
（3）乙无人机的上升速度是：（米/秒），
根据题意得：或或，
解答或或，
因此，当或或时，两架无人机所在的高度相差米．
15．(1)购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵
(2)①；②购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，能够根据一次函数的性质得出最省方案是解题的关键．
（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗棵，根据“若购进A，B两种树苗刚好用去1220元”列出方程求解即可；
（2）①根据所需总费用种树苗的费用种树苗的费用列式可得；
②根据“若购进A种树苗的数量不低于9棵”列出不等式，求出x的取值范围，利用一次函数的性质可得x的值，进而可得最省方案．
【详解】（1）解：设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗棵，根据题意得：
，
解得，
，
答：购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵；
（2）①根据题意得：
；
②，
，且a为正整数，
，
随a的增大而增大，
当时，w最小，且最小值为元，
此时，
答：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元．
16．(1)
(2)①；②28
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理：
（1）联立函数解析式，进行求解即可；
（2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：联立函数，得方程组，解得，
点的坐标为．
（2）①由题意，可知：的横坐标均为，
当时，，
∴；
故答案为：；
②如图，过点作轴于点．
由（1），可得．
在中，由勾股定理，得．
，
．
，
，解得，
∴点，
，
∴．