4.4.1根据一次函数的图象确定表达式 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：4.4.1 根据一次函数的图象确定表达式副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：上节课我们学习了一次函数的图象与性质，知道一次函数\(y = kx + b\)的图象是一条直线，且 k 和 b 决定了图象的位置和特征。今天我们反过来探索 —— 如果已知一次函数的图象，如何求出它的表达式（即确定 k 和 b 的值）？核心方法就是 “待定系数法”！幻灯片 2：学习目标理解待定系数法的原理，掌握用待定系数法求一次函数表达式的基本步骤。能根据一次函数图象上的两个点（或特殊点，如与坐标轴的交点）确定函数表达式。能结合一次函数的图象与性质，解决 “已知图象求表达式” 的实际问题，深化数形结合思想，提升数学建模能力。幻灯片 3：知识回顾与情境导入1. 知识回顾一次函数表达式：\(y = kx + b\)（k、b 为常数，\(k ≠ 0\)），其中 k 是比例系数（决定增减性），b 是常数项（决定与 y 轴交点）；一次函数与图象的关系：图象是一条直线，直线上任意一点的坐标 (x,y) 都满足函数表达式；关键特征点：图象与 y 轴交点为 (0, b)，与 x 轴交点为 (-\(\frac{b}{k}\), 0)。2. 情境导入：为什么能通过图象求表达式？问题：已知一次函数的图象经过点 (0, 2) 和 (1, 4)，如何确定它的表达式？分析：一次函数表达式含两个未知常数 k 和 b，根据 “两点确定一条直线”，只要知道图象上两个点的坐标，就能代入表达式列出方程组，解出 k 和 b—— 这就是 “待定系数法” 的核心思路。幻灯片 4：核心方法：待定系数法求一次函数表达式1. 待定系数法的定义先设出一次函数的一般表达式（\(y = kx + b\)），其中 k 和 b 是待确定的系数（“待定”），再根据图象上已知点的坐标，代入表达式列出关于 k 和 b 的方程组，解方程组求出 k 和 b 的值，最终确定函数表达式的方法，叫做待定系数法。2. 待定系数法的基本步骤（四步法）步骤 1：设 —— 设出函数的一般形式设所求一次函数的表达式为\(y = kx + b\)（\(k ≠ 0\)）。步骤 2：代 —— 将已知点的坐标代入表达式已知图象上两个点的坐标 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，分别代入\(y = kx + b\)，得到两个方程：\(\begin{cases}y₁ = kx₁ + b \\y₂ = kx₂ + b\end{cases}\)步骤 3：解 —— 解方程组，求出 k 和 b 的值通过代入消元法或加减消元法，解上述二元一次方程组，得到 k 和 b 的具体数值。步骤 4：写 —— 写出一次函数的表达式将求出的 k 和 b 的值代入\(y = kx + b\)，即可得到所求的一次函数表达式。口诀总结：“设表达式，代坐标，解方程，写结果”幻灯片 5：例题讲解 1：已知图象上两点，求一次函数表达式例题 1：已知一次函数的图象经过点 A (1, 3) 和点 B (2, 5)，求该函数的表达式。解答过程：步骤 1：设表达式设所求一次函数表达式为\(y = kx + b\)（\(k ≠ 0\)）。步骤 2：代坐标将 A (1, 3) 和 B (2, 5) 代入表达式，得方程组：\( \begin{cases} 3 = k×1 + b \quad (1) \\ 5 = k×2 + b \quad (2) \end{cases} \)步骤 3：解方程组用加减消元法：用方程 (2) - 方程 (1)，消去 b：\( 5 - 3 = (2k + b) - (k + b) \)化简得：\(2 = k\)，即\(k = 2\)。将\(k = 2\)代入方程 (1)，得：\(3 = 2×1 + b\)，解得\(b = 1\)。步骤 4：写表达式将\(k = 2\)，\(b = 1\)代入\(y = kx + b\)，得函数表达式为\(y = 2x + 1\)。验证（可选）将 B (2, 5) 代入\(y = 2x + 1\)，左边 = 5，右边 = 2×2 + 1=5，等式成立，说明结果正确。幻灯片 6：例题讲解 2：已知图象与坐标轴的交点，求一次函数表达式例题 2：已知一次函数的图象与 x 轴交于点 (3, 0)，与 y 轴交于点 (0, -6)，求该函数的表达式。解答过程：步骤 1：设表达式设所求一次函数表达式为\(y = kx + b\)（\(k ≠ 0\)）。步骤 2：代坐标（利用特殊点的特征）步骤 3：解方程求 k由\(0 = 3k - 6\)，解得\(3k = 6\)，即\(k = 2\)。步骤 4：写表达式将\(k = 2\)，\(b = -6\)代入，得函数表达式为\(y = 2x - 6\)。关键技巧若已知图象与 y 轴的交点 (0, b)，可直接确定 b 的值，只需再代入一个其他点的坐标，解一元一次方程即可求出 k，简化步骤。与 y 轴交点 (0, -6)：根据一次函数性质，与 y 轴交点的纵坐标为 b，因此直接得\(b = -6\)（无需列方程，简化计算）；将与 x 轴交点 (3, 0) 和\(b = -6\)代入表达式，得：\(0 = 3k - 6\)。幻灯片 7：例题讲解 3：已知图象的平移关系，求一次函数表达式例题 3：已知一个一次函数的图象由正比例函数\(y = 3x\)的图象向下平移 4 个单位长度得到，求该一次函数的表达式。解答过程：步骤 1：回顾平移规律一次函数图象的平移规律：“上加下减”（针对 b），即由\(y = kx\)平移得到\(y = kx + b\)，向下平移 4 个单位，b = -4（向上平移 b 为正，向下为负）。步骤 2：确定 k 和 b步骤 3：写表达式所求一次函数表达式为\(y = 3x - 4\)。验证（可选）正比例函数\(y = 3x\)过 (0,0)，向下平移 4 个单位后，过 (0, -4)，代入\(y = 3x - 4\)，成立；再取 x=1，原函数 y=3，平移后 y=3 - 4 = -1，代入表达式得 y=3×1 - 4 = -1，成立。平移不改变 k 的值（直线平行，倾斜程度不变），因此\(k = 3\)；向下平移 4 个单位，\(b = -4\)。幻灯片 8：学生活动：用待定系数法求一次函数表达式活动任务：已知一次函数的图象经过点 (2, 5) 和 (-1, -1)，用待定系数法求该函数的表达式；已知一次函数的图象与 y 轴交于 (0, 3)，且经过点 (1, 5)，求该函数的表达式；小组讨论：如果只知道一次函数图象经过一个点，能确定它的表达式吗？为什么？参考解答：设\(y = kx + b\)，代入 (2,5) 和 (-1,-1) 得\(\begin{cases}5=2k+b\\-1=-k+b\end{cases}\)，解得 k=2，b=1，表达式\(y=2x+1\)；由 (0,3) 得 b=3，代入 (1,5) 得 5=k+3，k=2，表达式\(y=2x+3\)；不能确定，因为一次函数表达式含 k 和两个未知系数，一个点只能列一个方程，无法解出两个未知数，需两个独立的点才能确定。幻灯片 9：随堂练习已知一次函数的图象经过点 (0, 2) 和 (3, 8)，求该函数的表达式。解答：设\(y = kx + b\)，b=2，代入 (3,8) 得 8=3k+2，k=2，表达式\(y=2x+2\)。已知一次函数的图象经过点 (-2, -3) 和 (1, 3)，求该函数的表达式，并判断点 (2, 5) 是否在该图象上。解答：设\(y = kx + b\)，得\(\begin{cases}-3=-2k+b\\3=k+b\end{cases}\)，解得 k=2，b=1，表达式\(y=2x+1\)；代入 (2,5)，右边 = 2×2+1=5 = 左边，点在图象上。已知一次函数的图象由\(y = -2x + 1\)的图象向上平移 3 个单位长度得到，求新函数的表达式。解答：平移不改变 k，k=-2；向上平移 3 个单位，b=1+3=4，表达式\(y=-2x+4\)。幻灯片 10：课堂小结核心方法：待定系数法：设（\(y = kx + b\)）→ 代（两点坐标）→ 解（方程组求 k、b）→ 写（表达式）；特殊点简化：已知与 y 轴交点 (0, b)，直接得 b，再代入一个点求 k；平移简化：平移不改变 k，根据 “上加下减” 确定 b。关键原理：一次函数表达式由 k 和 b 两个常数决定，需两个独立条件（如两个点的坐标）才能确定；图象上的点的坐标满足函数表达式，这是代入列方程的依据。数学思想：数形结合：将图象上的 “形”（点的坐标）转化为 “数”（方程），通过解方程得到表达式；方程思想：用二元一次方程组解决待定系数问题。幻灯片 11：课后作业基础题：（1）已知一次函数的图象经过点 (1, 4) 和 (2, 7)，求该函数的表达式；（2）已知一次函数的图象与 x 轴交于 (4, 0)，与 y 轴交于 (0, -2)，求该函数的表达式。提升题：（1）已知一次函数的图象经过点 (-3, 0)，且 y 随 x 的增大而减小，写出一个符合条件的函数表达式；（2）已知一次函数的图象经过点 (2, m) 和 (3, 4)，且 m 比 4 小 2，求该函数的表达式。实践题：在平面直角坐标系中画出一次函数的图象，使它经过点 (1, 3) 和 (0, 1)，然后根据图象上的另外两个点（如 x=2 和 x=-1 时的点），用待定系数法求该函数的表达式，验证与图象是否匹配。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 旧识回顾正比例函数y＝kx的图象是什么形状？正比例函数有什么性质呢？2. 一次函数y＝kx＋b的图象是什么形状？一次函数有什么性质呢？是过原点的一条直线.性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k