2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复教案习必考考点9—— 二元一次方程在实际问题中的运用

这是一份2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复教案习必考考点9—— 二元一次方程在实际问题中的运用，共19页。教案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四等内容，欢迎下载使用。
【知识点一】古代问题
【例1】我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【例2】《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？小明用二元一次方程组解决此问题，若他已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（ ）
B．C．D．
【例3】中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【例4】“方程”二字最早见于我国数学经典著作《九章算术》，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23，则将中两个方程联立成方程组可表示为 ．
【例5】《九章算术》中记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？
【例6】《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣．其中下卷“雉兔同笼”流传尤为广泛．“雉兔同笼”题为：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？上述“雉兔同笼”问题中，鸡和兔各有多少只？
【知识点二】行程问题
【例1】现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【例2】两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ．
【例3】一条船在同一条河流中顺流航行，每小时行20千米；逆流航行，每小时行16千米，则水流的速度为 千米／小时．
【例4】小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？
【例5】A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
【例6】A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速．
解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为．
(1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____；
(2)根据题意，列出方程组解决问题．
【知识点三】销售利润问题
【例1】某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（ ）
A．230元B．250元C．260元D．300元
【例2】购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（ ）
A．B．C．D．
【例3】初一年级组织爱心义卖，某班销售物品中的笔记本售价为3元/个、笔桶售价为4元/个，经过统计，这两种物品共售卖25元，请问这两种物品各售卖多少个？ ．（写出一种情况即可）
【例4】超市开展“端午佳节至，浓浓粽香情”促销活动，蛋黄肉粽打八折，红豆粽打七折．已知购买一盒蛋黄肉粽和一盒红豆粽打折前需120元，打折后需92元．求打折前蛋黄肉粽和红豆粽。
【例5】某加工厂生产大、小两种型号的书包．5个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元．该工厂每日生产1000个书包，并按照大书包每个75元，小书包每个40元的价格出售，每日可获利润26000元．
(1)该工厂生产的两种书包每个成本各是多少元？
(2)为提高工厂效益，现增加生产线，每日可多生产650个书包，全部卖出后，此时大、小书包利润相同．求额外增加的生产线，每天生产大小书包各多少个？
【例6】某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）第一次和第二次购进的水果全部售完后，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元；
①求购进的甲种水果至少为多少千克？
②第三次购进的甲、乙两种水果的售价分别为22元/千克、35元/千克．由于失水和腐烂，甲种水果减少了a千克，乙种水果减少了1.2a千克．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润为1134元，则常数a的值为 ．
【知识点四】方案问题
【例1】某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例2】中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（ ）
A．6种B．5种C．4种D．30种
【例3】某中学将组织七年级学生春游一天，两同学向公司经理了解租车的价格，公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”王老师说：“我们学校八年级昨天在这个公司租了5辆45座和2辆60座的客车，一天的租金为1600元．”
(1)求45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少？
(2)公司经理问：“你们准备怎样租车”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客东，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，王老师说：“从经济角度考虑，还有别的方案吗”？请你设计最省钱的租车方案，并求出此时的租车总费用？
【例4】为了让我们的校园更加整洁，需要购买甲、乙两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C，D四所学校所购买的数量和总价如表所示．
(1)请求出甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
(2)求P，m，n的值．（注：每所学校甲、乙两种垃圾桶都有购买）
【例5】某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆(两者都要)，若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元．
(1)求和的值．
(2)若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案．
(3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆．
【例6】根据以下素材，探索完成任务．
答案解析
【知识点一】古代问题
【例1】我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【例2】《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？小明用二元一次方程组解决此问题，若他已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（ ）
B．C．D．
【答案】B
【例3】中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【例4】“方程”二字最早见于我国数学经典著作《九章算术》，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23，则将中两个方程联立成方程组可表示为 ．
【答案】x+2y=222x+2y=33
【例5】《九章算术》中记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？
【答案】解：设共人合伙买金，金价为钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【例6】《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣．其中下卷“雉兔同笼”流传尤为广泛．“雉兔同笼”题为：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？上述“雉兔同笼”问题中，鸡和兔各有多少只？
【答案】解：设鸡有x只，兔有y只，
由题意得，，
解得，
答：鸡和兔各有23只，12只．
【知识点二】行程问题
【例1】现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【例2】两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ．
【答案】
【例3】一条船在同一条河流中顺流航行，每小时行20千米；逆流航行，每小时行16千米，则水流的速度为 千米／小时．
【答案】2
【例4】小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？
【答案】设小红的平均速度是，小丽的平均速度是；
根据题意，得，
解得；
答：小红的平均速度是，小丽的平均速度是．
【例5】A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
【答案】（1）解：设甲每小时行x千米．
乙每小时行y千米．
依题意：2060x+2060y=33−3060x=2(3−3060y)
解方程组得x=4y=5
答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米．
（2）相遇前：（3-1.5）÷（115+112）
=1.5÷320
=10（分钟），
相遇后：（3+1.5）÷（115+112）
=4.5÷320
=30（分钟）．
故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米．
【例6】A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速．
解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为．
(1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____；
(2)根据题意，列出方程组解决问题．
【答案】（1）解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为，
则风速度为；逆风速度为．
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：这架飞机无风时的平均速度为，风速为．
【知识点三】销售利润问题
【例1】某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（ ）
A．230元B．250元C．260元D．300元
【答案】C
【例2】购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【例3】初一年级组织爱心义卖，某班销售物品中的笔记本售价为3元/个、笔桶售价为4元/个，经过统计，这两种物品共售卖25元，请问这两种物品各售卖多少个？ ．（写出一种情况即可）
【答案】售卖笔记本3个，售卖笔桶4个
【例4】超市开展“端午佳节至，浓浓粽香情”促销活动，蛋黄肉粽打八折，红豆粽打七折．已知购买一盒蛋黄肉粽和一盒红豆粽打折前需120元，打折后需92元．求打折前蛋黄肉粽和红豆粽。
【答案】设打折前蛋黄肉粽的单价为x元/盒，红豆粽的单价为y元/盒．
根据题意，得x+y=1200.8x+0.7y=92，
解这个方程组，得x=80y=40，
答：打折前蛋黄肉粽的单价为80元/盒，红豆粽的单价为40元/盒．
【例5】某加工厂生产大、小两种型号的书包．5个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元．该工厂每日生产1000个书包，并按照大书包每个75元，小书包每个40元的价格出售，每日可获利润26000元．
(1)该工厂生产的两种书包每个成本各是多少元？
(2)为提高工厂效益，现增加生产线，每日可多生产650个书包，全部卖出后，此时大、小书包利润相同．求额外增加的生产线，每天生产大小书包各多少个？
【答案】（1）解：设该工厂生产的大书包和小书包的每个成本各是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：该工生产的大书包和小书包的每个成本各是40元，20元；
（2）解：设原来每天生产大书包m个，小书包n个，
由题意得，，
解得，
∴原来每天生产大书包400个，小书包600个；
设额外增加的生产线，每天生产大小书包各s个，t个，
由题意得，
，
答：额外增加的生产线，每天生产大小书包各200个，450个．
【例6】某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）第一次和第二次购进的水果全部售完后，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元；
①求购进的甲种水果至少为多少千克？
②第三次购进的甲、乙两种水果的售价分别为22元/千克、35元/千克．由于失水和腐烂，甲种水果减少了a千克，乙种水果减少了1.2a千克．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润为1134元，则常数a的值为 ．
【答案】解：（1）设甲种水果的进价是每千克x元，乙种水果的进价是每千克y元．
由题意得：80x+50y=250040x+70y=2420，
解得：x=15y=26，
答：甲种水果的进价是15元，乙种水果的进价是26元．
（2）①设购进的甲种水果为mkg，则有：
15m+26（150﹣m）≤3240，
解得m≥60，
答：购进的甲种水果至少为60kg．
②设利润为w元，
w＝22（m﹣a）﹣15m+35（150﹣m﹣1.2a）﹣26（150﹣m），
整理得：w＝﹣2m﹣64a+1350，
所以，当m＝60时，w最大为1134；
即：﹣2×60﹣64a+1350＝1134，
解得：a＝1.5，
【知识点四】方案问题
【例1】某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【例2】中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（ ）
A．6种B．5种C．4种D．30种
【答案】B
【例3】某中学将组织七年级学生春游一天，两同学向公司经理了解租车的价格，公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”王老师说：“我们学校八年级昨天在这个公司租了5辆45座和2辆60座的客车，一天的租金为1600元．”
(1)求45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少？
(2)公司经理问：“你们准备怎样租车”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客东，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，王老师说：“从经济角度考虑，还有别的方案吗”？请你设计最省钱的租车方案，并求出此时的租车总费用？
【答案】（1）解：设45座的客车每辆每天的租金为元，则60座的客车每辆每天的租金为元，
依题意，得：，
解得：，
．
答：45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元．
（2）解：设只租60座的客车需要辆，则只租45座的客车需要辆，
依题意，得：，
解得：，
，即参加拓展训练的一共有240人．
设租45座的客车辆，租60座的客车辆，
依题意，得：，
．
，均为正整数，
，．
新方案：租用4辆45座的客车，1辆60座的客车
甲的费用：（元）
乙的费用：（元）
新方案的费用：（元）
租用4辆45座的客车，1辆60座的客车总费用最低，最低费用为1100元．
【例4】为了让我们的校园更加整洁，需要购买甲、乙两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C，D四所学校所购买的数量和总价如表所示．
(1)请求出甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
(2)求P，m，n的值．（注：每所学校甲、乙两种垃圾桶都有购买）
【答案】（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．
依题意得：10x+8y=3325x+9y=286，
解得x=14y=24，
答：甲型垃圾桶的单价是14元/套，乙型垃圾桶的单价是24元/套；
（2）由题意得：p=20×14+16×24=664，
∵14m+24n=350，
整理，得7m+12n=175，
因为m、n都是正整数，
所以m=1n=14或m=13n=7．
【例5】某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆(两者都要)，若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元．
(1)求和的值．
(2)若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案．
(3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆．
【答案】（1）解：设款的单价为万元，款的单价为万元．
根据题意得：
解得：
（2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车，
根据题意得：，
又，均为正整数，
或
共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；
（3）万元，
款中没有享受国补的单价与款中享受国补的单价相同．
设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，款中没有享受国补的共辆，
款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，
，即款中没有享受国补的有辆，
根据题意得：
解得：
，， 均为非负整数，
或
款中享受国补的有或辆．
故答案为：或．
【例6】根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1，设一盒水笔为元，一包笔记本为元，
由题意得，，
解得，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
任务2，设购买水笔盒，购买笔记本包．
由题意得，，
∴，
∵，均为正整数
∴当时，，即购买水笔6盒，笔记本2包．
当时，，即购买水笔4盒，笔记本5包．
当时，，即购买水笔2盒，笔记本8包．
则有三种方案，分别为①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包③购买水笔2盒，笔记本8包；
进货批次
甲种水果（单位：千克）
乙种水果（单位：千克）
总费用（单位：元）
第一次
80
50
2500
第二次
40
70
2420
甲型垃圾桶数量（套）
乙型垃圾桶数量（套）
总价（元）
A
10
8
332
B
5
9
286
C
20
16
p
D
m
n
350
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1
已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2
学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
问题解决
任务1
确定单价
求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2
确定购买数量
将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
进货批次
甲种水果（单位：千克）
乙种水果（单位：千克）
总费用（单位：元）
第一次
80
50
2500
第二次
40
70
2420
甲型垃圾桶数量（套）
乙型垃圾桶数量（套）
总价（元）
A
10
8
332
B
5
9
286
C
20
16
p
D
m
n
350
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1
已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2
学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
问题解决
任务1
确定单价
求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2
确定购买数量
将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？