2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习教案必考考点8—— 二元一次方程

这是一份2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习教案必考考点8—— 二元一次方程，共14页。教案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四等内容，欢迎下载使用。
【知识点一】解二元一次方程组
【例1】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．x−y=3y+z=4B．x−1y=32x+y=5
C．xy=33x−y=4D．x=3+y3y+4x=4
【例2】下面不是二元一次方程2x+y=3的解的是（ ）
x=−3y=3B．x=2y=−1C．x=−1y=5D．x=3y=−3
【例3】方程x−y=−1与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为x=3y=4，那么这个方程可以是（ ）
A．3x−4y=16B．13x+14y=0
C．4(x+y)=7yD．3x+2y=15
【例4】若x=3y=−2是关于x、y的方程mx−y=14的一个解，则m的值是（ ）
A．4B．−4C．8D．−8
【例5】看关于x，y的二元一次方程组x+y=3kx−y=5k的解也是二元一次方程3x−2y=7的解，则k的值为（ ）
A．−710B．710C．−12D．12
【例6】解方程组：
(1)
(2)
【知识点二】已知二元一次方程组的解求代数式的值
【例1】已知二元一次方程，则的值为（ ）
A．9B．18C．6D．
【例2】关于x、y的方程组的解是，则的值是（ ）．
A．4B．9C．5D．11
【例3】已知关于x，y的二元一次方程组ax−by=12ax+by=3的解为x=1y=−1，那么代数式a−2b的值为（ ）
−2B．2C．3D．−3
【例4】若是二元一次方程的一组解，则的值为 ．
【例5】已知方程组，则的值是 ．
【例6】甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x−by=−2②由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试计算a2023+(−110b)2022的值．
【知识点三】二元一次方程同解问题
【例1】已知方程组与有相同的解，则，的值为
A．B．C．D．
【例2】关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例3】若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解；则的值是______．
【例4】已知关于x 、y的方程组2x−3y=3ax+by=−1和3x+2y=112ax+3by=3的解相同，求3a+b2024 的值．
【例5】如果中的解x、y相同，求m的值．
【例6】已知关于 QUOTE x x， QUOTE y y的二元一次方程组 QUOTE 3x-5y=36,bx+ay=-8 3x-5y=36,bx+ay=-8与方程组 QUOTE 2x+5y=-26,ax-by=-4 2x+5y=-26,ax-by=-4有相同的解.
（1） 求这两个方程组的相同解；
（2） 求 QUOTE (2a+b)2025 (2a+b)2025的值.
【知识点四】换元整体思想解方程组
【例1】已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【例2】关于x．y的方程组ax+by=cmx+ny=d的解为x=1y=2，则方程组ax−1−3by=3cmx−1−3ny=3d的解是（ ）
A．x=4y=2B．x=4y=−2C．x=2y=−23D．x=2y=23
【例3】若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 .
【例4】利用换元法解下列方程组：
(1)3x+y−26x−y=1x+y+6x−y=7；
(2)x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1．
【例5】阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务．
善于思考的李同学在解方程组2(m+2)+3n−23=17(m+2)+6n−23=2时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+2,n−23看成一个整体，设m+2=x，n−23=y．
原方程组可化为2x+3y=17x+6y=2，解得x=0y=13,∴m+2=0n−23=13,∴原方程组的解为m=−2n=1．
任务：
(1)方程组3x−2y=19x−2y=19的解是x=3y=4，则方程组3(a+b)−2(a−b)=19(a+b)−2(a−b)=19的解是______；
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组3(x+y)−4(x−y)=4x+y2+x−y6=1．
【例6】数学方法：
解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
答案解析
【知识点一】解二元一次方程组
【例1】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．x−y=3y+z=4B．x−1y=32x+y=5
C．xy=33x−y=4D．x=3+y3y+4x=4
【答案】D
【例2】下面不是二元一次方程2x+y=3的解的是（ ）
x=−3y=3B．x=2y=−1C．x=−1y=5D．x=3y=−3
【答案】A
【例3】方程x−y=−1与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为x=3y=4，那么这个方程可以是（ ）
A．3x−4y=16B．13x+14y=0
C．4(x+y)=7yD．3x+2y=15
【答案】C
【例4】若x=3y=−2是关于x、y的方程mx−y=14的一个解，则m的值是（ ）
A．4B．−4C．8D．−8
【答案】A
【例5】看关于x，y的二元一次方程组x+y=3kx−y=5k的解也是二元一次方程3x−2y=7的解，则k的值为（ ）
A．−710B．710C．−12D．12
【答案】D
【例6】解方程组：
(1)
(2)
【答案】（1）
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：；
（2）
方程整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
【知识点二】已知二元一次方程组的解求代数式的值
【例1】已知二元一次方程，则的值为（ ）
A．9B．18C．6D．
【答案】B
【例2】关于x、y的方程组的解是，则的值是（ ）．
A．4B．9C．5D．11
【答案】B
【例3】已知关于x，y的二元一次方程组ax−by=12ax+by=3的解为x=1y=−1，那么代数式a−2b的值为（ ）
−2B．2C．3D．−3
【答案】B
【例4】若是二元一次方程的一组解，则的值为 ．
【答案】2021
【例5】已知方程组，则的值是 ．
【答案】 3
【例6】甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x−by=−2②由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试计算a2023+(−110b)2022的值．
【答案】把x=−3y=−1 代入4x−by=−2，得
−12+b=−2，
∴b=10，
把x=5y=4 代入ax+5y=15，得
5a+20=15，，
∴a=−1，
∵a2023+(−110b)2022=−12023+−110×102022=−1+1=0．
【知识点三】二元一次方程同解问题
【例1】已知方程组与有相同的解，则，的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【例2】关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【例3】若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解；则的值是______．
【答案】3
【例4】已知关于x 、y的方程组2x−3y=3ax+by=−1和3x+2y=112ax+3by=3的解相同，求3a+b2024 的值．
【答案】由题意得，2x−3y=3①3x+2y=11②，
由①×2+②×3得，13x=39，
解得x=3，
把x=3代入①得，6−3y=3，
解得y=1，
∴方程组的解集为x=3y=1，
把x=3y=1代入ax+by=−12ax+3by=3得，3a+b=−1③6a+3b=3④，
由③−13×④得，a=−2，
把a=−2代入③得，−6+b=−1，
解得b=5，
∴3a+b2024=−6+52024=−12024=1 ．
【例5】如果中的解x、y相同，求m的值．
【答案】方程组的解x、y的值相同，
联立方程组，
解得，
把代入，得，
解得，．
【例6】已知关于 QUOTE x x， QUOTE y y的二元一次方程组 QUOTE 3x-5y=36,bx+ay=-8 3x-5y=36,bx+ay=-8与方程组 QUOTE 2x+5y=-26,ax-by=-4 2x+5y=-26,ax-by=-4有相同的解.
（1） 求这两个方程组的相同解；
（2） 求 QUOTE (2a+b)2025 (2a+b)2025的值.
【答案】（1） 解：由题意，得 QUOTE 2x+5y=-26,?3x-5y=36,? 2x+5y=-26,?3x-5y=36,?
QUOTE ①+② ①+②，得 QUOTE 5x=10 5x=10，解得 QUOTE x=2 x=2.
把 QUOTE x=2 x=2代入①，得 QUOTE 4+5y=-26 4+5y=-26，解得 QUOTE y=-6 y=-6.
所以这两个方程组的相同解为 QUOTE x=2,y=-6. x=2,y=-6.
（2） 把（1）中所求的相同解 QUOTE x=2,y=-6 x=2,y=-6代入 QUOTE ax-by=-4,bx+ay=-8, ax-by=-4,bx+ay=-8,得 QUOTE 2a+6b=-4,2b-6a=-8. 2a+6b=-4,2b-6a=-8.解得 QUOTE a=1,b=-1 a=1,b=-1
所以 QUOTE (2a+b)2025=(2-1)2025=1 (2a+b)2025=(2-1)2025=1.
【知识点四】换元整体思想解方程组
【例1】已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【例2】关于x．y的方程组ax+by=cmx+ny=d的解为x=1y=2，则方程组ax−1−3by=3cmx−1−3ny=3d的解是（ ）
A．x=4y=2B．x=4y=−2C．x=2y=−23D．x=2y=23
【答案】B
【例3】若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 .
【答案】
【例4】阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务．
善于思考的李同学在解方程组2(m+2)+3n−23=17(m+2)+6n−23=2时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+2,n−23看成一个整体，设m+2=x，n−23=y．
原方程组可化为2x+3y=17x+6y=2，解得x=0y=13,∴m+2=0n−23=13,∴原方程组的解为m=−2n=1．
任务：
(1)方程组3x−2y=19x−2y=19的解是x=3y=4，则方程组3(a+b)−2(a−b)=19(a+b)−2(a−b)=19的解是______；
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组3(x+y)−4(x−y)=4x+y2+x−y6=1．
【答案】（1）解：∵方程组3x−2y=19x−2y=19的解是x=3y=4，
∴a+b=3a−b=4，
解得：a=72b=−12；
故答案为：a=72b=−12；
（2）解：对于3x+y−4x−y=4x+y2+x−y6=1，令m=x+y，n=x−y，
则原方程组可化为3m−4n=4m2+n6=1，
解得：m=2815n=25，
∴x+y=2815x−y=25，
解得：x=1715y=1115．
【例5】利用换元法解下列方程组：
(1)3x+y−26x−y=1x+y+6x−y=7；
(2)x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1．
【答案】（1）解：3x+y−26x−y=1x+y+6x−y=7，
设x+y=m，6x−y=n，则原方程组可化为3m−2n=1①m+n=7②，
①+②×2得5m=15，解得m=3，
将m=3代入②，得3+n=7，解得n=4，
解得m=3n=4，即x+y=36x−y=4，
解得x=1y=2；
（2）解：x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1，
设x+y=6m，x−y=12n，则原方程组可化为3m+4n=7①2m−3n=−1②，
①×3+②×4得17m=17，解得m=1，
将m=1代入②，得2−3n=−1，解得n=1，
解得m=1n=1，即x+y=6x−y=12，
解得x=9y=−3．
【例6】数学方法：
解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【答案】（1）设m+n=x，m−n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=−2y=4，
∴m+n=−2m−n=4，
解得m=1n=−3，
故答案为：m=1n=−3；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x−y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程组的解为x=4y=4；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化简，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
∴m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，
解得：x=10y=−5，
故方程组的解为：x=10y=−5．