四川省什邡中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. 60 B. 30 C. 90 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】由倾斜角的定义即可得出答案.
【详解】直线 的倾斜角为 .
故选：D.
2. 记 虚数单位，复数 ，则 （ ）
A. 5 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数模的计算公式求解.
【详解】复数 ，则 .
故选：A
3. 若 m，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题中，错误的是
A. 若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
B. 若 m⊂α，α∥β，则 m∥β
C. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n
D. 若 m∥n，m∥α，n⊄α，则 n∥α
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：充分利用线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理对四个选项分别分析选择．
解：对于 A，若 m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质容易得到 m∥n；故 A 正确；
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对于 B，若 m⊂α，α∥β，由面面平行的性质，可以得到 m∥β；故 B 正确；
对于 C，若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 可能平行、相交或者异面；故 B 错误；
对于 D，若 m∥n，m∥α，n⊄α，根据线面平行的性质定理和判定定理，可以判断 n∥α；故 D 正确；
故选 C．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
4. 已知 是两个概率大于 0 的随机事件，则下列说法错误的是（ ）
A. 若 是对立事件，则 是互斥事件
B. 若事件 相互独立，则 与 也相互独立
C. 若事件 相互独立，则 与 不互斥
D. 若事件 互斥，则 与 相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项.
【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故 A 正确；
B.若事件 相互独立，则 与 也相互独立，故 B 正确；
C.若事件 相互独立，则 与 可以同时发生，不互斥，故 C 正确；
D. 若事件 互斥，则 与 不能同时发生，即事件 是否发生，对另一个事件 是有影响的，
所以两个事件不相互独立，故 D 错误.
故选：D
5. 设 ，向量 ， ， 且 ， ，则 （ ）．
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先由空间向量垂直和平行的坐标表示计算出 ，再由模长的坐标运算求结果.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，所以 ，
故 ，则 .
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故选：B
6. 若直线 被圆 截得的弦长为 2，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得 ，再利用基本不等式
可得答案.
【详解】圆 化为标准方程为 ，
所以圆心坐标为 ，半径为 ，
可得圆心到直线 的距离为 ，
若直线 被圆 截得 弦长为 2，
则 ，整理得 ，即 ，
又 ，所以
，
当且仅当 即 时等号成立，
则 的最小值为 2.
故选：C.
7. 已知 的外接圆圆心为 O，且 ， ，点 D 是线段 BC 上一动点，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】先根据条件，确定 的形状，再以 为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的
坐标表示 ，再结合二次函数求最小值.
【详解】因为 ，所以 为 中点，
又 为 的外接圆圆心，所以 为直角三角形， ，
又 ，所以 为等边三角形，
如图，以 为原点，建立平面直角坐标系：
则 ， ，设 ， ，
则 ， ，
所以
，（当 时取“ ”）.
故选：C
8. 如图，在四面体 OABC 中， ， ， ，若 ，且 ∥平面
ABC，则实数 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可知，延长 与 交于 ，连接 ，则由题意可得 ∥ ，令 ，
，则利用不同的方法将 用 表示，可求出 ，然后利用三角形相似可求得结
果.
【详解】由条件可知，延长 与 交于 ，连接 ，
因为 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 ∥ ，
令 ， ，
则有 ，
，
根据向量基底表示法的唯一性，
得 解得
∥ ，
， ，
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．
故选：D．
二、多选题.本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 某校为了解高二学生的体能达标情况，抽调了 200 名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的
频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ）
A. a = 0.0175 B. 跳远距离在区间[ 200，260 ]的人数为 150
C. 中位数是 210 D. 平均数是 218
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用频率分布直方图的性质、频率与频数的关系等逐个分析即可.
【详解】对于选项 ，根据频率分布直方图的性质，所有小矩形面积之和为 ，即
，解得 ，故 正确.
对于选项 ，跳远距离在区间[ 200，260 ]的频率为 ，
又抽调了 200 名学生进行立定跳远测试， 跳远距离在区间[ 200，260 ]的人数为 ，故 正
确.
对于选项 ，第一组的频率为 ；第二组的频率为 ；第三组的频率为
；第四组的频率为 ；第五组的频率为 ，
， 中位数在区间 内，
设中位数为 ，则 ，解得 ，故 错误.
对于选项 ， 同一组的数据用该组区间的中点值代表，
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,故 正确.
故选： .
10. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 已知向量 ， ，若 ，则 为钝角
B. 已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是
C. 若直线 经过第三象限，则 ，
D. 已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ， ， ， 四
点共面
【答案】BD
【解析】
【分析】取 可得 ，进而得到 A 错误；由投影向量的计算可得 B 正确；令
可得 C 错误；由空间向量共面定理可得 D 正确；
【详解】对于 A，当 时， ， ， ，
此时 为 ，故 A 错误；
对于 B，向量 在向量 上的投影向量为 ，故
B 正确；
对于 C，令 ，则直线 为 ，且经过第三象限，
但此时 ，故 C 错误；
对于 D，因为 ， ，
所以由向量共面定理的推论可得 ， ， ， 四点共面，故 D 正确；
故选：BD.
11. 如图，棱长为 3 的正方体 ，动点 在正方体 内及其边界上运动，
点 在棱 上，且 ，则下列说法正确的是（ ）
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A. 若 ，且 ，则三棱锥 体积为定值
B. 若 ，则动点 所围成的图形的面积为
C. 若 ，则 的最小值为 3
D. 若动点 满足 ，则 的轨迹的长度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用向量运算、线面垂直性质、正弦定理、空间直角坐标系相关知识，通过对向量关系判断点的
轨迹，利用线面垂直确定点的轨迹图形，由正弦定理和坐标运算求点的轨迹方程及轨迹长度.
【详解】对于 A，因为动点 在正方体 内及其边界上运动，
且 ， ，则动点 的运动轨迹为线段 .
由于 ， 平面 ，所以 平面 .
故三棱锥 的体积为定值，A 正确.
对于 B，在正方形 中， .
在正方体 中，因为 平面 ，又 平面 ，所以 .
因为 ， ， ，且 ， 平面 ，所以 平面
.
动点 在正方体 内及其边界上运动，且 ，
所以动点 围成的图形是矩形 ，其面积为 ，故 B 正确.
对于 C，设 边 上的高为 ，则 .
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由正弦定理可得 ，所以 ，故 .
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系.
则 ， ， .
设 ， ， ， ，则 ， .
又 ，则有 ，整理得 ，
所以动点 的轨迹是以 为球心， 为半径且位于正方体内的部分球面.
又 ，所以 ，故 C 错误.
对于 D，由 ，设 ， ， ，则 ，
即 ，化简得 ，表示以 为球心，半径为 的球.
又 ， ，则 ，即 ，
化简得 ，表示以 为球心，半径为 的球.
两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，两球心距离为 ，半径均为 ，
则交线圆弧对应的圆心角为 ，长度为 ，故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题.本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某学校有青年教师 60 人，中年教师 40 人，老年教师 20 人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容
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量为 的样本，若青年教师抽了 6 人，则样本容量 _____.
【答案】12
【解析】
【分析】由分层抽样比相同即可求解.
【详解】由题意 ，得 .
故答案为：12
13. 已知圆 O： ，直线 l： ，设圆 O 上到直线 l 距离等于 1 的
点的个数为 k，则 ______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式，结合数形结合思想进行求解即可.
【详解】原点 O 到 的距离为 ，
由于 l： 是到原点 O 距离为 1 的直线，
而圆 O： 的半径为 ，如图所示，
于是圆 O 上到直线 l 距离等于 1 的点的个数为 4，因此 ．
故答案为：4
14. 如图，“爱心”图案是由函数 的图像的一部分及其关于直线 的对称图形组成．若
该图案经过点 ，点 是该图案上一动点， 是其图像上点 关于直线 的对称点，连接
，则 的最大值为___________．
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【答案】
【解析】
【分析】先分析图案，得出 的最大值为 图象上的点到直线 的最大距离的 2 倍，再求出 值，
构造直线 的平行线与 相切，求出直线方程进而求出 图象上的点到直线 的最大距离，
从而求出 的最大值．
【详解】 “爱心”图案是由函数 的图象的一部分及其关于直线 的对称图形组成，
的最大值为 图象上的点到直线 的最大距离的 2 倍，
函数 经过点 ， ，解得 ，
设直线 与函数 相切，则 ，联立得 ，
，解得 ，
直线 与直线 间 距离 ，
的最大值为 ．
故答案为： ．
四、解答题.本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，已知三角形的三个顶点为 ，求：
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（1）边 上的中线所在直线的方程；
（2）边 上的高 所在直线的方程；
（注意：最后结果统一用一般式表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求 的中点 ，再根据两点式方程求解即可；
（2）先根据直线垂直的斜率关系得 ，再根据点斜式方程求解即可.
【小问 1 详解】
解：由已知得 中点 ，即 ，
边 上的中线 的两点式方程为 ，即 ；
所以，边 上的中线所在直线的方程为 .
【小问 2 详解】
解：因为 ，
又 ，则 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
所以边 上的高 所在直线的方程为 .
16. 已知经过点 的圆 C 的圆心在 x 轴上，且与 y 轴相切．
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（1）求圆 C 的方程；
（2）若 ， ，点 M 在圆 C 上，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解.
（2）由题意设点 在圆上，则 ， ，由两点之间的距离公式化简可得
，由此即可得解.
【小问 1 详解】
设圆 C： （ ），
由题意得 ，解得 ，
所以圆 C 的方程为 ．
【小问 2 详解】
设 ， ，由 ，得 ，
则 ．
当 时， 取得最小值，最小值为 10；
当 时， 取得最大值，最大值为 34．
故 的取值范围为 .
17. 多项选择题是标准化考试中常见题型，从 ， ， ， 四个选项中选出所有正确的答案（四个选项
中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
（1）甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得 5 分的概率；
（2）现有 2 道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得 5 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ；丙同学
得 5 分的概率为 ，得 2 分的概率为 .乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这 2 道
多项选择题乙比丙总分刚好多得 5 分的概率.
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出样本空间基本事件总数，由古典概型概率计算公式即可求解.
（2）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解.
【小问 1 详解】
甲同学所有可能的选择答案有 11 种：
，其中正确选项只有一个，
样本空间 ,
共 11 个基本事件，
所以他猜对本题得 5 分的概率为 .
【小问 2 详解】
由题意得乙得 0 分的概率为 ，丙得 0 分的概率为 ，
乙比丙刚好多得 5 分的情况包含：
事件 ：乙得 10 分，丙得 5 分，则 ；
事件 ：乙得 7 分，丙得 2 分，则 ；
事件 ：乙得 5 分，丙得 0 分，则 ；
所以乙比丙总分刚好多得 5 分的概率 .
18. 图 1 是直角梯形 ， ， ，四边形 是边长为 4 的菱形，并且
，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如图 2.
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（1）求证：平面 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ，若存在，则 的值；
（3）在（2）的前提下，求出直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到 ⊥BE， ⊥BE，且 ，由勾股定理逆定理求出 AF
⊥ ，从而证明出线面垂直，面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用空间向量求解出点 P 的坐标，
（3）根据（2）可得 ，利用空间向量求线面夹角.
【小问 1 详解】
取 BE 的中点 F，连接 AF， ，
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因为四边形 ABCE 是边长为 4 的菱形，并且 ，
所以 均为等边三角形，
故 ⊥BE， ⊥BE，且 ，
因为 ，所以 ，
由勾股定理逆定理得：AF⊥ ，
又因为 ， 平面 ABE，
所以 ⊥平面 ABED，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ABED；
【小问 2 详解】
以 F 为坐标原点，FA 所在直线为 x 轴，FB 所在直线为 y 轴， 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ， ， ，
即 ，解得： ，
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故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，
其中
则 ，
解得： 或 （舍去），
所以存在点 ，使得 到平面 的距离为 ，此时 .
【小问 3 详解】
由（2）可得： ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. 已知圆 和点
（1）过点 M 作圆 O 的切线，求切线的方程；
（2）已知 ，设 P 为满足方程 的任意一点，过点 P 向圆 O 引切线，切点为 B，试
探究：平面内是否存在一定点 N，使得 为定值?若存在，则求出定点 N 的坐标，并指出相应的定值；
若不存在，则说明理由；
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（3）过点 M 作直线 l 交圆 O 于两个不同的点 C， 线段 CD 不经过圆心 ，分别在点 C，D 处作圆 O 的
切线，两条切线交于点 E，求证：点 E 在一条定直线上，并求出该直线的方程.
【答案】（1） 和
（2）存在，定点 ，定值 或定点 ，定值
（3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）先讨论切线斜率不存在，再由切线斜率存在时，设切线为 ，然后利用
得到 即可；
（2）由题设，若 ，存在 使 为定值，利用 ，得到参数值；
（3）设 ， ， ，则 ， ，然后利用向量数
量积的坐标表示与向量的垂直关系即可.
【小问 1 详解】
当切线斜率不存在时，显然 与圆 相切，
当切线斜率存在时，设切线为 ，由圆心到切线的距离为 1，
所以 ，解得 ，则 ，整理得 ，
综上，切线的方程为 和
【小问 2 详解】
由题设，若 ，则 ，整理得 ，
若存在 ，使 为定值，
又 ， ，
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则 ，
整理得 ，
即 ，
整理得 ，
要使 为定值，则 ，
得 ， ， 或 ， ， ，
综上，存 定点 ，定值 ，或定点 ，定值
.
【小问 3 详解】
设 ， ， ， ， ，
由 ，则 ，即 ，
又 ，故 ，同理 ，
所以直线 CD 为 ，又 M 在 CD 上，所以 ，
故点 E 在直线 上.
【点睛】关键点点睛：第三问，应用切线的性质及向量垂直的坐标表示列方程得 ，
结合 在圆上得到同一直线方程形式为关键.
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