四川省什邡中学2026届高三上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题．（每题 5 分，共 40 分）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助交集定义计算即可得.
【详解】由 ，则 .
故选：C.
2. 已知 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若 ，则 .
故选：C.
3. 已知 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ，则 B 等于（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理进行求解.
【详解】由正弦定理得： ，
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即 ，解得： ，
因为 ，
所以 或 ，
经检验，符合题意
故选：D
4. 在 上，利用单位圆，得到 成立的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断即可.
【详解】如图所示，
在单位圆中，设 ，则 ， ， ，
由图形可得在第一象限 均大于 0， 在第一象限恒成立，即 在第一
象限恒成立，以 为分界线，当 时， 即 ，当 时， 即
；综上 在第一象限无解；
由图形可得在第二象限 大于 0， 均小于 0，所以 在第二象限无解；
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由图形可得在第三象限 小于 0， 大于 0，所以 在第三象限无解；
有图形可得在第四象限 大于 0， 小于 0，且 恒成立，即 在
恒成立，所以 在第四象限的解为 ，
综上 在 的解集为 ，
故选：C
5. 把正方形 沿对角线 折起成直二面角，点 ， 分别是 ， 的中点， 是正方形中心，
则折起后， 的大小为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件可得 两两互相垂直，根据点 ， 分别是 ， 的中点，得到
， ，再分别求得 ，
，代入公式 求解.
【详解】因为 是正方形中心，所以 ，
为二面角 的平面角，
又正方形 沿对角线 折起成直二面角，
即二面角 是直二面角，所以 ，
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因为点 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ， ，
所以
又 ，
所以 .
因为
所以 ，
故选：C.
【点睛】本题主要考查空间向量的立体几何中的应用，属于基础题.
6. 如果一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有
A. 13 项 B. 12 项 C. 11 项 D. 10 项
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：设这个数列有 n 项，则 ，因此
即 ，则 ，故 ；
考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前 n 项和公式；
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7. 已知函数 ，则
A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减
C. 的图像关于直线 x=1 对称 D. 的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知， ，所以 的图象关于直线 对称，故 C 正确，
D 错误；又 （ ），由复合函数的单调性可知 在 上单调递增，在
上单调递减，所以 A，B 错误，故选 C．
【名师点睛】如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数的图象
有对称轴 ；如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函
数 的图象有对称中心 ．
8. 的展开式中， 的系数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 分 析 ： 题 中 为 独 立 项 ， 所 以 展 开 式 中 含 的 为
，其中 中 的系数为
展开式中 与 的系数差．最后再将两部分系数相乘即得所求．
详解：由 ，
得含 的项为 ，
中 的项为
系数为
故选 B.
点睛：本题考查了二项式定理的应用，多项式展开问题要抓住独立项，以此为简化问题的突破点，从而减
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少计算和分类讨论的难度.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知实数 满足曲线 的方程 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 过点 作曲线 的切线，则切线方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】由 表示圆 上的点到定点 的距离的平方，可判定 A 错误；由 表示圆上的点
与点 的斜率 ，设 ，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定 B 正确；由
表示圆上任意一点到直线 的距离的 倍，进而可判定 C 错误；根据点 在圆
上，结合圆的切线的性质，可判定 D 正确.
【详解】由圆 可化为 ，可得圆心 ，半径为 ，
对于 A 中，由 表示圆 上的点到定点 的距离的平方，
所以它的最大值为 ，所以 A 错误；
对于 B 中， 表示圆上的点与点 的斜率 ，设 ，即 ，
由圆心 到直线 的距离 ，解得 ，
所以 的最大值为 ，所以 B 正确；
对于 C 中，由 表示圆上任意一点到直线 的距离的 倍，
圆心到直线的距离 ，所以其最小值为 ，所以 C 错误；
对于 D 中，因为点 满足圆 的方程，即点 在圆 上，
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则点 与圆心连线的斜率为 ，
根据圆的性质，可得过点 作圆 的切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ，所以 D 正确.
故选：BD.
10. 一只不透明的口袋内装有 9 张卡片，上面分别标有 这 9 个数（1 张卡片上标 1 个数)，从中不放回
的依次抽取卡片，每次抽 1 张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件 A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”
记为事件 B，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用全概率公式来判断 A，利用条件概率乘法公式来判断 B，利用条件概率除法公式来判断 C，利
用互斥事件概率和公式来判断 D.
【详解】利用全概率公式计算： ，故 A 正确；
由 ， ，而 ，故 B 错误；
由 ，故 C 正确；
由 ，故 D 正确；
故选：ACD
11. 已知函数 关于 的方程 ，下列判断中正确的是（ ）
A. 时方程 有 3 个不同的实数根
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B. 方程 至少有 2 个不同的实数根
C. 若方程 有 3 个不同的实数根，则 的取值范围为
D. 若方程 有 3 个不同的实数根 ，则 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数图象，结合图象逐个判断即可.
【详解】方程 根的问题可以转换成 和 图象交点问题，
对于 A：由图象可知： 时方程 有 3 个不同的实数根，正确；
对于 B：当 时，结合图象可知，方程无解，故错误；
对于 C：由图象可知 和 由 3 个交点时， 的取值范围为 ，故正确；
对于 D：假设 ，结合图象可知 ，所以 ，故正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知函数 ，则 ______.
【答案】0
【解析】
【分析】分段函数求值，根据自变量取值所在区间确定解析式代入求值.
【详解】已知函数 ，
则 ，所以 ．
故答案为： .
13. 已知圆锥的侧面积（单位： ） 为 2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单
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位： ）是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则
，解得 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
14. 已知函数 是定义在 上的偶函数，记 为函数 的导函数，且满足
，则不等式 的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的导数必为奇函数，可求得 ，再代入不等式构造函数即可求解.
【详解】因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，故 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 是定义在 上的奇函数；
又因为 ，所以 ，即
，
两式相加，再整理得： ，
所以由 得 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
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又因为 ，所以在 上，由 ，解得 ；
又当 时， ，即 ，故 ，即 ，
综上： 的解集为 ，
故 的解集为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的单调递减区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期的计算公式求得参数的值，结合特殊角三角函数值，可得答案；
（2）根据复合函数的单调性，结合正弦函数与一次函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
【小问 1 详解】
由函数 的最小正周期为 ，则 ，解得 ，所以 ，
故 .
【小问 2 详解】
由 的单调递减区间为 ，且 为增函数，
令 ，解得 ，
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所以函数 的单调递减区间为 .
16. 甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得 1
分；如果甲输乙赢，则甲得 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得 0 分，设一轮比赛中甲赢的概率为
，乙赢的概率为 ，求：
（1）在一轮比赛中，甲的得分 的概率分布列（列表表示）；
（2）在两轮比赛中，甲的得分 的均值与方差．
【答案】（1）答案见解析
（2）甲 得分 的均值与方差分别为
【解析】
【分析】（1）根据题意一轮比赛中，甲得分 的可能取值为 ，分别求解概率即可得分布列；
（2）甲在二轮比赛中的得分 可能取值为 ，分别求解概率，根据均值与方程的定义求解即可
得结论.
【小问 1 详解】
一轮比赛中，甲得分 的可能取值为 ，
，
则 的概率分布列为：
【小问 2 详解】
甲在二轮比赛中的得分 可能取值为 ，
，
，
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，
，
所以甲的得分 的均值为 ，
甲的得分 的方差为
，
甲的得分 的均值与方差分别为 .
17. 如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）方法一：先证 平面 CMD,得 ,再证 ，由线面垂直的判定定理可得
DM⊥平面 BMC，即可根据面面垂直的判定定理证出；
（2）方法一：先建立空间直角坐标系，然后判断出 的位置，求出平面 和平面 的法向量，进
而求得平面 与平面 所成二面角的正弦值．
【详解】（1）［方法一］：【最优解】判定定理
由题设知,平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC⊥CD,BC 平面 ABCD,所以 BC⊥平面 CMD,故 BC⊥
DM.因为 M 为 上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DM⊥CM.
又 BC CM=C,所以 DM⊥平面 BMC.而 DM 平面 AMD,故平面 AMD⊥平面 BMC.
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［方法二］：判定定理
由题设知,平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD.因为 ， 平面 ABCD,所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，因为 M 为 上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DM⊥CM.
又 ，所以， 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ．
［方法三］：向量法
建立直角坐标系，如图 2，设 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，所以 ，即 ，
取平面 的一个法向量 ，
同理可得，平面 的一个法向量 ，因为点 在以 为圆心，半径为 的圆上，所
以， ，即 ，而 ，所以平面 平面 ．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz.
当三棱锥 M−ABC 体积最大时，M 为 的中点.
由题设得 ，
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设 是平面 MAB 的法向量,则
即 ，可取 .
是平面 MCD 的一个法向量,因此 ， ，
所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 .
［方法二］：几何法（作平行线找公共棱）
如图 3，当点 M 与圆心 O 连线 时，三棱锥 体积最大．过点 M 作
，易证 为所求二面角的平面角．在 中，
，即面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 ．
［方法三］：【最优解】面积射影法
设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ．
由题可得 在 平面上的射影图形正好是 ．
取 和 的中点分别为 N 和 O，则可得 ， ，所以由射影面积公式有
，所以 ，即面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 ．
［方法四］：定义法
如图 4，可知平面 与平面 的交线 l 过点 M，可以证明 ．分别取 的中点 O，
E，联结 ，可证得直线 平面 ，于是 平面 ，所以 ，故
是面 与面 所成二面角的平面角．
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在 中， ，则 ，所以 ，即面 与面
所成二面角的正弦值为 ．
【整体点评】（1）方法一：利用面面垂直的判定定理寻找合适的线面垂直即可证出，是本题的最优解；
方法二：同方法一，只不过找的线面垂直不一样；
方法三：利用向量法，计算两个平面的法向量垂直即可，思路简单，运算较繁．
（2）方法一：直接利用向量法解决无棱二面角问题，是该类型题的通性通法；
方法二：作平行线找公共棱，从而利用二面角定义找到二面角的平面角，是传统解决无棱二面角问题的方
式；
方法三：面积射影法也是传统解决无棱二面角问题的方式，是本题的最优解；
方法四：同方法二，通过找到二面角的公共棱，再利用定义找到平面角，即可解出．
18. 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为 的直线 与椭圆 有两个
不同的交点 、 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值；
（Ⅲ）设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 .若 、
和点 共线，求 .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据题干可得 的方程组，求解 的值，代入可得椭圆方程；
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（Ⅱ）设直线方程为 ，联立，消 整理得 ，利用根与系数关系及弦长公式
表示出 ，求其最值；
（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合 三点共线，利用共线向量基本
定理得出等量关系，可求斜率 .
【详解】（Ⅰ）由题意得 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（Ⅱ）设直线 的方程为 ，
由 消去 可得 ，
则 ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
则 ，
易得当 时， ，故 最大值为 ；
（Ⅲ）设 ， ， ， ，
则 ①， ②，
又 ，所以可设 ，直线 的方程为 ，
由 消去 可得 ，
则 ，即 ，
又 ，代入①式可得 ，所以 ，
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所以 ，同理可得 ．
故 ， ，
因为 三点共线，所以 ，
将点 的坐标代入化简可得 ，即 ．
【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到 三者之间的关系即可求解；第二问主
要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式 变形为
，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，
关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.
19. 已知函数 .
（1）当 a=-1 时，求曲线 y= 在点 处的切线方程；
（2）若 >a，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数 ，根据导数 几何意义求出切线的斜率，从而可得切线方程.
（2）当 时，可得 得出其单调性，从而得出此时的情况，当 时，
，设 ，讨论出其单调性，得出其符号，打开绝对值，求出
其最值，从而可得出答案.
【小问 1 详解】
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当 时， ，
切点 切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
①当 时， ，此时 ，
令 .
当 时， 在 上单调递减
当 时， 在 上单调递增
所以 ，又 则
又 ，所以
，此时 符合题意.
②当 时，
令 ， ，则 在 上单调递增
又 ，
存在唯一的 使 且
所以
当 时， ，由
则 在 上单调递减，
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当 时， ，由
当 时， 在 上单调递增，则
所以当 时， ，所以 在 上单调递增
所以 ，由题意则
设 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
此时 ，即
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数的几何意义求切线方程，利用导数处理恒成立求参数问题，解答本
题的关键是对参数 分 和 两种情况进行讨论，当 时，设 ，讨论出
其单调性，得出其符号，打开绝对值，从而得出 在 上单调递减， 在 上单调递增，
得到 ，从而求出 的范围，进而求出答案,属于难题.
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