四川省南充高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120 分钟 总分：150 分）
命题人：陈昀 李思健 唐树民 郭又珲 审题人：陈勇
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的定义求解即可.
【详解】由题可得： ，所以
故选：D
2. 已知函数 是幂函数，且在 上单调递减，则实数 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由幂函数的定义与性质求解即可.
【详解】由于函数 是幂函数，且在 上单调递减，
则 ，且 ，解得 或 （舍），
故选：B.
3. 下列关系中一定是函数关系的是（ ）
A. 空调的销售额和利润的关系 B. 大豆的产量和施肥量的关系
C. 正方形的面积与周长的关系 D. 钢铁的产量和单位生产成本的关系
【答案】C
【解析】
【分析】根据相关关系和函数关系的定义判断各项，即可得.
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【详解】对于空调的销售额与利润、大豆的产量与施肥量、钢铁产量和单位生产成本，
其中一个变量的变化受到多种因素的影响，以上各情况中列出的另一个变量只是其中的一个因素，
所以一个变量的变化对另一个变量的影响具有一定的随机性，故它们都是相关关系，
对于正方形的面积 与周长 ，一个变量的变化对另一个变量影响是确定的， ，即具有函数关系.
故选：C
4. 不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据一元二次表达式进行因式分解，进而可求得解集.
【详解】不等式 变形为 ，
解得 或 .
所以不等式的解集为 .
故选：A.
5. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式进行求解即可.
【详解】因为函数 ，
所以 .
故选：B.
6. 已知函数 是定义在 上不恒为零的奇函数，函数 是定义在 上的偶函数，则下列结论正确
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的是（ ）
A. 为奇函数 B. 为奇函数
C. 为偶函数 D. 为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】由奇偶性的定义逐个判断即可.
【详解】由题意， ， .
A 选项， ，故 为偶函数，A 错误；
B 选项， ，故 为偶函数，B 错误；
C 选项， ，故 为奇函数，C 错误；
D 选项， ，故 为偶函数，D 正确；
故选：D.
7. 已知函数 ，且不等式 解集为 ，若 ，
， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可.
【详解】由题设 是 的两个根，且 ，则 ，可得 ，
所以 ，其图象开口向下且对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，且 ，而 ，
所以 ，即 .
故选：B
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8. ，用 表示 ， 中较大者，记为 .已知函数
，若对 ， ，有 成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设函数的定义得 ，再判断 的区间
单调性，从而得到 上 ，问题化为在 上 成立，结合
一次函数的性质及分类讨论求参数范围.
【详解】当 ，即 ，可得 或 ，
当 ，即 ，可得 ，
所以 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
由 ， ，有 成立，即在 上
成立，
当 时， 在 上单调递减，则 ，可得 ，即
（ 舍），
当 时， ，显然不等式不成立，
当 时， 在 上单调递增，则 ，可得 ，即
（ 舍），
综上， 或 .
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故选：A
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 以下写法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】用列举法表示 A 中集合，根据元素与集合关系可得 A 正确；根据集合间关系的表示法可知 B 错误；
用列举法表示 C 中集合可知 C 正确；根据推出关系可确定两集合的包含关系，知 D 错误.
【详解】对于 A，由 得： ， ， ，A 正确；
对于 B， 表示具有唯一元素 的集合， ，B 错误；
对于 C，由 得： 或 ， ，C 正确；
对于 D， ， ， ，D 错误.
故选：AC.
10. 下列选项叙述正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. “ ”是“ ”的必要不充分条件
C. 若 ，则“ ”的充要条件是“ ”
D. “ ”是“方程 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得
【详解】对于 A，取 ，满足 ，而 ，
因此“ ”不是“ ”的充分条件，故 A 错误；
对于 B， ，而当 时， 成立，显然 不成立，
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则“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 B 正确；
对于 C，取 显然 ，但 ，
因此“ ” 不是“ ”的充要条件，故 C 错误；
对于 D，“方程 有一个正根和一个负根”的等价条件是 ，
所以“ ”是“方程 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故 D 正确.
故选：BD.
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 当 时， 没有最小值
C. 当 时，不等式 恒成立
D. 当 ，且 ， ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用奇偶性定义判断 A；由复合函数的单调性，结合基本不等式求函数 的最小值判定 B；计
算 恒成立判定 C；由 ，根据已知得到 ，结合基本不等式即可判定 D.
【详解】对于 A， 的定义域为 ，
又 ，
所以 为奇函数，故 A 正确；
对于 B，令 ，则 ，由对勾函数性质知： 在 上单调递减，在 上
单调递增，且值域为 ，
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而 在 上递增，
所以 时， 单调递减， 时， 在单调递增，
，故 B 错误；
对于 C，当 时， 恒成立，
所以恒有 成立，故 C 正确；
对于 D，由 ，
因为 ，且 ，
所以 ，故 ，当且仅当 时等号成立，
而 时， ，故等号不成立，所以 ，故 D 正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 命题“ ， ”的否定形式是______.
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称命题即可得解；
【详解】命题“ ， ”为全称量词命题，其否定为： ， .
故答案为： ， .
13. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式求定义域即可.
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【详解】要使函数 有意义，则
，
解得 或 .
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
14. 若定义在 上的函数 同时满足：① 为奇函数；② ；③对任意的
，且 ，都有 ，则不等式 的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，推得 ，得到 是 上的减函数，再由 为奇函
数，
得到 ，得到函数 为偶函数，结合 ，进而求得不等式的解集.
【详解】因为对任意的 ，且 ，都有 ，
不妨设 ，可得 ，
所以 ，所以函数 是 上的减函数，
又因为 为奇函数，即任意 ，都有 ，
则 ，所以函数 为偶函数，
因为 ，则 ，则 ，
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，解得 或 ，
则不等式 的解集为 .
因为 ,则不等式 的解集与不等式 的解集相同，即
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
（1）若 时，求 与 ；
（2）若 时，全集 ，求 .
【答案】（1） ，
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）（2）利用并集、交集、补集的定义直接求解.
【小问 1 详解】
当 时， ，
所以 ， .
【小问 2 详解】
当 时， ， ，
所以 或 .
16. （1）已知命题 ：存在实数 ，使 成立.若命题 是真命题，求实数 的取值
范围；
（2）已知命题 ：任意实数 ，使 恒成立.若命题 是假命题，求实数 的取值范围
.
【答案】（1） ；（2） .
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【解析】
【分析】（1）把存在问题转化为判别式大于等于零，再解一元二次不等式即可；
（2）方法一：根据不等式恒成立得出 ， ，再结合函数单调性计算求解；方法二：应
用二次函数单调性计算最大值即可.
【详解】（1） ：存在实数 ，使 成立，
则 ，
解得 或
所以实数 的取值范围为 .
（2）方法一：任意实数 ，使 恒成立 ，
因为 在 上单调递增，
故 ，
则 ，
根据命题 为假命题，则 ，故实数 的取值范围为 .
方法二： ， ，
因为 在 上单调递增，
故 ，
则 即 ，
根据命题 为假命题，则 ，故实数 的取值范围为 .
17. （1）已知 ， ，且 ，求 的最大值；
（2）已知正实数 ， 满足 ，求 的最小值；
（3）设 ，求 的最小值.
【答案】（1）4；（2）3；（3） .
【解析】
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【分析】（1）根据基本不等式的性质进行求解即可；
（2）根据基本不等式的性质进行求解即可；
（3） 令 ，然后根据基本不等式的性质进行求解即可.
【详解】解：（1） ， ，
，（当且仅当 时取等号）
又
，即 ，
故 ，（当且仅当 时取等号）
所以 的最大值为 4.
（2） 正实数 ， 满足 ，
，
当且仅当 且 即 ， 时取等，
所以 的最小值为 3.
（3）令 ， .
则原式
当且仅当 ， 时取等，
所以 的最小值为 .
18. 如图 1，有一个半径为 2 的半圆，一个等腰梯形 的下底 是 的直径，上底 的端点在圆
周上，记线段 的长度为 ，梯形 的周长为 ．
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（1）写出 与 的函数关系式，并求出它的定义域；
（2）当梯形 的周长取得最大值时，如图 2 所示建立平面直角坐标系，直线 ： 与下底
交于 .记梯形 位于直线 左侧的图形的面积为 ，求函数 的解析式；
（3）在（2）的条件下，当 时，求 的长．
【答案】（1） ， .
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用几何法，根据圆和等腰梯形的性质，列出周长表达式；
（2）利用周长关系式，结合二次函数性质求出周长最大值，进而得出相关参数求出面积，令 ，结
合图形形状讨论求出 解析式；
（3）根据 解析式和已知 值，列方程求 ，进而求出 ．
【小问 1 详解】
如图，过 作 于 ，圆心为 ，连接 ，设 ，则 ，
由 ，得 ，
整理得 ， ，
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，
， ，即 ，解得 ．
与 的函数关系式为 ， ．
【小问 2 详解】
， ，
当 时， 取得最大值，此时 ， ， ， ，
故等腰梯形 的底角为 ，面积为 ，
令 ，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
．
【小问 3 详解】
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，
令 ，则 时， ，解得 （舍去）；
当 时， ，解得 满足条件；
当 时， ，解得 （舍去）或 （舍去），
综上所述， ，故 ．
19. 已知函数 为 上的偶函数， .
（1）求实数 的值；
（2）判定 在 的单调性，并用定义证明；
（3）已知 ， ， ，使 成立，求 的
最大值.
【答案】（1）
（2） 在 单调递减，证明见解析
（3）145
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义求解参数的值即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）先求得 在 上的值域为 ，通过分析 在 上的单调性得到 在
单 调 递 减 ， 在 单 调 递 增 .且 ， ， ， 进 而 由 题 意 得 到
，列出不等式求解即得.
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【小问 1 详解】
因为函数 为 上的偶函数，
所以 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
所以 .
【小问 2 详解】
单调递减，
证明如下：设 ，
则
，
， ， ，
， ，
所以 ，即 ，
所以 在 单调递减.
【小问 3 详解】
由（1）知 ，当 时， 单调递增，
对于 ， 有 值域为 ，
由（2）知 在 单调递减，同理可证 在 单调递增，
故当 时， 在 单调递减，在 单调递增.
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， ， ，
要 ， 使 成立，
则 ，
所以 ，即 ，
故 .
所以 的最大值为 145.
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