四川省蓬溪中学2025-2026学年高一上学期第三次质量检测数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
一、单选题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集和交集的概念求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
2. 已知函数 那么 的值是（ ）
A. 8 B. 7
C 6 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】应用分段函数解析式代入求值.
【详解】 ，则
故选：A.
3. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定函数，利用抽象函数及对数函数求出定义域.
【详解】函数 的定义域为 ，函数 中， ，
解得 ，所以所求函数定义域为 .
故选：C
4. 函数 的零点为 1，2，则不等式 的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据三个二次的关系可得系数的值，进而可得一元二次不等式的解集.
【详解】因为函数 的零点为 1，2，所以方程 的根为 ，
由根与系数关系得 .
所以不等式 即为 ， ，
所以不等式的解集为 或 .
故选：D.
5. 已知 ，且 的图象如图所示，则 等于（ ）
A. 4 B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数图象上两点的坐标可得函数解析式，进而求函数值.
【详解】由题中图象知，函数过 ， ，则 ，所以 ．
又 ，所以 （负值舍去），故 ，
．
故选：B
6. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项.
【详解】 ， ， ，所以 ．
故选：A.
7. 已知 ， ，函数 在 R 上单调，则 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分 在 R 上单调递增和单调递减两种情况，得到不等式，求出 a 的取值范围.
【详解】若 在 R 上单调递增，需满足 ，解得 ；
若 在 R 上单调递减，需满足 ，解得 ，
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综上，a 的取值范围是 .
故选：A
8. 已知定义在 上的偶函数 满足对任意 ，都有 ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定单调性，再利用偶函数性质及单调性列出不等式求解.
【详解】由对任意 ，都有 ，得函数 在 上单调递减，
又 是 上的偶函数，则不等式 ，
因此 ，两边平方得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
二、多选题.本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 设 ，则“ ”是“ ” 必要不充分条件
B. 若 ，则
C. 当 时， 的最小值是 2
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
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【分析】对 A 由必要不充分条件的定义可以判断得出；对 B 由不等式的性质可得结果；对 C 可用基本不等
式判断；对 D 由特称量词命题的否定可得结果.
【详解】对于 A：由“ ”不能推出“ ”，但“ ”一定有“ ”，故 A 正确；
对于 B：由 ， ，由同向不等式可加性有 ，即
，故 B 正确；
对于 C：因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 C 不正确；
对于 D：由特称量词命题的否定是全称量词命题，所以 得 ，故 D 正
确.
故选：ABD.
10. 下列选项中，正确的是 （ ）
A. 若 ，则
B. 函数 的图象恒过定点
C. 函数 图象与 的图象有两个交点
D. 已知函数 ，则函数 的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】选项 A，根据不等式的性质求解；选项 B，令 ，解出 的值，将其代入 得解；选项 C，
解方程 的根的个数就是函数 的图象与 的图象的交点个数；选项 D，换元法求
解，设 ，则 ，故求 的值域转化为求 的值域，利用
二次函数的图像求值域即可得解.
【详解】选项 A， ， ， ， ，故选项 A 正确；
选项 B， ， ， ，
函数 的图象恒过定点 ，故选项 B 错误；
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选项 C， ， ， ， 或 ，
， 舍去， ， ，
函数 的图象与 的图象只有一个交点，故选项 C 错误；
选项 D，设 ，则 ，
故 转化为 ，
，对称轴为 ，开口向下，
当 时， ， ， ，
故函数 的值域为 .
故选：AD.
11. 设 函 数 ， 若 函 数 有 四 个 零 点 分 别 为 ， 且
，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先分析分段函数 的图像特征，确定 与 有四个交点时 的取值范围，再根据
交点横坐标的关系判断各选项.
【详解】作出 的函数图像如下，
因为函数 有四个零点，所以函数 的图像有 4 个不同的交点，
，所以 ，故 A 错误；
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由图可得 关于 对称，所以 ，故 B 正确；
由图可得 且 ，则有 ，即 ，所以 ，故 C 正
确，
令 解得 ，所以 ，由 ，得 ，
根据对勾函数性质可知 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题.本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知指数函数的图像过点 ，函数的解析式为______.
【答案】
【解析】
【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出解析式.
【详解】设指数函数为 ， 且 ，将 代入得 ，
解得 ，故函数解析式为 .
故答案为：
13. 已知 ， ，则用 ， 表示 ________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的运算性质以及换底公式即可求解.
【详解】 .
故答案为：
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14. 已知某种放射性元素在有机体体液内浓度 与时间 （年）近似满足关系式 （ ， 为
大于 0 的常数且 ）.若 时， ；若 时， .则据此估计，这种有机体体液内该放射
性元素浓度 为 时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据： ，
）
【答案】
【解析】
【分析】根据条件列方程组求出参数 ，然后令 解方程即可.
【详解】由题知 ，解得 ，所以 ，
由 得 ，
因为 ，所以 ，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度 为 时，大约需要 年.
故答案为：
四、解答题.本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
计算下列各式的值:
15. ；
16. .
【答案】15.
16. 47
【解析】
【分析】1.根据分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算法则化简计算即得.
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2.根据对数 运算性质求解.
15 题详解】
.
【16 题详解】
.
17. 已知集合 .
（1）求 ；
（2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合 ，然后由集合的运算法则计算．
（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．
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【详解】解：（1） ， ， ，
.
（2）当 时， ，即 成立；
当 时， 成立.
综上所述， ．
【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在 中，要注意
的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．
18. 函数 是定义在 上的奇函数、
（1）求 的解析式;
（2）用定义证明函数 在 上为增函数；
（3）解不等式
【答案】（1）
（2）证明过程见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据 得到方程，求出 ，得到解析式；
（2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；
（3）由函数为奇函数得到 ，结合单调性和定义域得到不等式，求出不等式解集
.
【小问 1 详解】
因为 在 上为奇函数，
故 ，即 ，
所以 ，解得 ，故 ，
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【小问 2 详解】
任取 ，
，
因为 ，所以 ，
故 ， ，
所以函数 在 上为增函数；
【小问 3 详解】
，
由（2）知，以函数 在 上为增函数，
所以 ，解得 ，
故不等式解集为
19. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量 U（单
位：千克）与施用发酵有机肥 x（单位：千克）满足如下关系： ，单株发酵有机
肥及其它成本总投入为 元．已知该水果的市场售价为 75 元/千克，且销路畅通供不应求，记该水
果树的单株利润为 （单位：元）．
（1）求函数 的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2）当 时，单株利润最大，为 380 元．
【解析】
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【分析】（1）根据题意可以直接得到利润表达式；
（2）根据定义域求每段函数 利润最大值比较后可得答案.
【详解】（1） ，
即 ，化简 ．
（2）当 时， 为对称轴 开口向上的抛物线，在 单调递增，
所以 ，
当 时， ，当且仅当
即 取等号，
综上所述，当 时，单株利润最大，为 380 元．
20. 设函数 的定义域为 ，若存在 ，使得 成立，则称 为 的一个“准不动点”.
已知函数
（1）若 ，求 的“准不动点”：
（2）若 为 的一个“准不动点”，且 ，求实数 的取值范围：
（3）设函数 若 使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）0 或 1；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，利用换元法计算可得；
（2）依题意可得 在 上有解，参变分离可得 在 上有解，结合对勾函
数的单调性求出 的取值范围，即可得解；
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（3）依题意可得 ，根据 的单调性，求出 的最值，即可
得到 ，换元得到 ，参变分离，结合函数的单调性，计算可得.
【小问 1 详解】
当 时，由 可得， ，
令 ，则 ，解得 或 ，
即 或 ，解得 或 ，
的“准不动点”为 0 或 1；
【小问 2 详解】
由 得， ，
即 在 上有解，
令 ，由 可得 ，则 在 上有解，
故 ，当 时， 在 上单调递增， ，则
，解得 ，
的取值范围 ；
【小问 3 详解】
由 得， ，
即 ，则 ，
又由指数函数的性质可知 在 上单调递增， ，则
，
即 ，
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令 ，则 ，从而 ，则 ，
又 在 上均为增函数，则 ， ，
，即 ，所以实数 的取值范围为 .
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， .
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集.
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