四川省仁寿第一中学（北校区）2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的并集的定义，将两个集合的范围合并即可得解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
2. 已知 ，则 定义域为（ ）
A. R B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的具体形式，列不等式，即可求解.
【详解】由条件可知 ，得 ，且 .
所以函数的定义域为 ，且 .
故选：C
3. 下列函数是偶函数，且在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】对 A：可得 在 时单调递减；对 B： 的定义域为 ，故 为非奇
非偶函数；对 C：结合偶函数定义与单调性定义判定即可得；对 D：可得 不是偶函数.
【详解】对 A：当 时， 单调递减，故 A 错误；
对 B： 的定义域为 ，故 为非奇非偶函数，故 B 错误；
对 C： 是定义域为 的偶函数，且当 时， ，
即 在 上单调递增，故 C 正确；
对 D： 的定义域为 ，但 ，
故 不是偶函数，故 D 错误.
故选：C
4. 函数 的零点一定位于区间（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】解： ，
又因为函数 在区间 上都是增函数，
所以 在区间 上为增函数，所以其零点一定位于区间 .
故选：C.
5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性，结合中间值比较大小即可.
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【详解】易知 ，
又 ， 在 上单调递减，所以 .
又 ，所以 .
故选：A.
6. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇函数的定义得 为奇函数，再由基本初等函数的单调性可得 为增函数，从而得
，即可求解.
【详解】因为 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以 为奇函数，
易知 在定义域上单调递增，
由 ，得到 ，
所以 ，解得 ，
故选：A.
7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是 ，当血氧饱和度低于
时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型： 描述血氧饱和
度 随给氧时间 t（单位：时）的变化规律，其中 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知 ，给氧
1 小时后，血氧饱和度为 .若使得血氧饱和度达到 ，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到 0.1，参考数据： ， ）
A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1
【答案】A
【解析】
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【分析】依据题给条件列出关于时间 的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数即可.
【详解】设使得血氧饱和度达到 ，给氧时间至少还需要小时 ，
由题意可得 ， ，得到 ，
两边同时取自然对数得 ，
，
则 ，
则给氧时间至少还需要小时 .
故选：A
8. 已知函数 ， ，若 ， ，使得
，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数 在区间 上的值域，再利用集合的包含关系列式求解.
【详解】当 时，函数 ，则 ，
因此函数 在 上的值域为 ，函数 在 上递增，
因此函数 在 上的值域为 ，即 ，
由 ， ，使得 ，
得函数 在 上的值域是函数 在 上的值域的子集，即 ，
则 ，解得 ，
所以实数 a 的取值范围是 .
故选：C
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 均为实数，则下列命题中正确的是（ ）
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A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】举例说明判断 A；利用不等式的性质推理判断 BCD.
【详解】对于 A，取 ，满足 ，而 ，A 错误；
对于 B，由 ，得 ，B 正确；
对于 C，由 ，得 ，则 ，C 正确；
对于 D，由 ，得 ，D 错误.
故选：BC
10. 已知 ，则函数 与 的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先化简 的解析式，然后根据函数定义域及两个函数的单调性进行判断即可．
【详解】∵ ，
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∴ ，
又 ，定义域为 ，A 选项错误；
∴函数 与 的单调性相同，结合各选项可得 B，D 符合题意，C 不符合题意．
故选：BD
11. 下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. 函数 的最大值为
B. 若 ，则 的值为
C. 函数 减区间是
D. 已知 ， ， ，则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A 选项，利用指数函数的单调性进行求解即可；
对于 B 选项，首先运用指对互化公式，再结合换底公式及对数的运算性质进行求解即可；
对于 C 选项，利用复合函数的单调性进行判断即可；
对于 D 选项，利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可.
【详解】对于 A，因 ，
因为函数 为减函数，故得 ，即 A 正确；
对于 B，由 ，可得
则 ，故 B 正确；
对于 C，由 ，可得 ，解得 ，
即函数的定义域为 ，
设 ，显然该函数在 上单调递增，在 上单调递减，
而 在定义域上为增函数，
故函数 的减区间为 ，即 C 错误；
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对于 D， ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ，即 D 正确.
故选：ABD .
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知幂函数 ，且 ，则实数 ________．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件先求出 得出幂函数解析式，然后求出函数值即可.
【详解】因 ， ，
即 ，解得 ，
所以 ，则 ，
故答案为： .
13. 已知 ，且 ，则 __________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意，由函数的解析式可得 ，结合 即可求解.
【详解】 ，
则
则有 ，
若 ，则
故答案为：
14. 已知函数 在 上单调递增，则 a 的取值范围是______．
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【答案】
【解析】
【分析】根据复合命题单调性可知， 是函数 单调递增区间的子集，列式求
实数 的取值范围.
【详解】由 ，得 或 ，
即函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，
因为函数 为定义域上的单调增函数，
在 上递增，
函数 单调增区间为 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式的值：
（1）
（2） .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案.
（2）根据对数的运算法则，即可求得答案.
【小问 1 详解】
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；
【小问 2 详解】
.
16. 已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合 B，进而求出交集和并集；（2）根据 是 的充分不必要条件得到 A 是 B 的
真子集，进而得到不等式组，求出实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
．
当 时，
所以 ， ；
【小问 2 详解】
是 的充分不必要条件
∴A 是 B 的真子集，故
即
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所以实数 m 的取值范围是 .
17. LED 灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种 LED 灯需投入的年固定成
本 为 4 万 元 每 生 产 万 件 该 产 品 ， 需 另 投 入 变 动 成 本 万 元 ， 在 年 产 量 不 足 6 万 件 时 ，
，在年产量不小于 6 万件时， ．每件产品售价为 6 元．假设该产
品每年的销量等于当年的产量．
（1）写出年利润 (万元)关于年产量 (万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本
－变动成本)
（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）当年产量为 10 万件时，年利润最大，最大年利润为 15 万元．
【解析】
【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分 和 即可求出 L(x)的解
析式；
(2)根据二次函数和基本不等式分别求出 L(x)在 和 时的最大值，比较即可得到答案．
【小问 1 详解】
∵每件产品售价为 6 元，∴ 万件产品的销售收入为 万元，
依题意得，当 时， ，
当 时， ．
∴
【小问 2 详解】
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当 时， ，当 时， 取得最大值 ．
当 时， ，当且仅当 ，即 时，
取得最大值 15．
∵ ，∴当年产量为 10 万件时，年利润最大，最大年利润为 15 万元．
18. 已知函数 为奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集；
（3）设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数定义计算即可得；
（2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式；
（3）计算出 及 的值域后，对任意的 ，总存在 ，使得 成立即
为 的值域为 的值域的子集，计算即可得.
【小问 1 详解】
因 函数 为奇函数，所以 ，
即 定义域上恒成立，
整理得 ，故 ；
【小问 2 详解】
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解法一：由（1）知 ，
所以函数 在 和 上单调递减，
且当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ；
所以此时不等式的解集为 ；
解法二：因为 ，
令 ，则 可化简为 ，
即 ，即 ，
解得 ，即 ．
所以此时不等式的解集为 ；
【小问 3 详解】
在 的值域 ，
又 ， ，
设 ， ，则 ，
当 时，取最小值为 ，当 时，取最大值为 ，
即 在 上的值域 ，
又对任意的 ，总存在 ，使得 成立，即 ，
所以 ，解得 .
19. 我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
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为奇函数，已知函数 ，其中 ．
（1）证明：若函数 为奇函数，则实数 和 均为定值；
（2）当 ， ， ， 时，
（ⅰ）求函数 图象的对称中心；
（ⅱ）求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义 ， 求证即可；
（2）（ⅰ）法一：设函数 图象的对称中心为 ，设
，根 据（1）的结论即可
求得 ， ，进而得解；
法二：设 ，通过计算可得 ，根据 为奇函数即可求解；
（ⅱ）根据 与 关于 对称即可求解.
【小问 1 详解】
证明：因为 为奇函数，并且定义域为 R，
所以 ，所以 ，则 ，
而 ，则 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
综上若函数 为奇函数，则实数 d 和 f 为定值，均为 0．
【小问 2 详解】
（ⅰ）（法一）因为 ， ， ， ，
所以 ，
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设函数 图象的对称中心为 ，
设 ，由题可知函数 为奇函数，
因为
，
若 为奇函数，由（1）可得 ，解得 ， ，
则函数 图象的对称中心为 ．
（法二）因为 ， ， ， ，所以 ，
设 ，
所以
，
因为 的定义域为 R，并且 ，
所以 为奇函数，根据题可得函数 的图象关于 中心对称．
（ⅱ）因为 ，
所以 与 关于 对称，
所以 ．
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