四川省达州中学2025-2026学年高一上学期数学期末试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合 ，根据对数函数的定义域化简集合 ，再利用并集的定义求解即可
.
【详解】因为 或 ，
，
所以 或 ，
故选：D.
2. 下列函数是奇函数且在区间 上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性和单调性逐项判断即可；
【详解】对于 A，正弦函数 奇函数，且在 内为增函数，又 ，故 A 正确；
对于 B， ，不是奇函数，故 B 错误；
对于 C， 为偶函数，故 C 错误；
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对于 D， 在区间 上是减函数；故 D 错误；
故选：A.
3. 函数 的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由偶函数的图象性质，以及指数函数、三角函数的值域即可求解.
【详解】由题意函数 定义域为全体实数，
且 ，所以函数 是偶函数，排除 CD，
当 时， ，排除 A，经检验，B 选项符合题意.
故选：B.
4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系.
【详解】由 ，则 成立，充分性成立；
由 ，若 ，显然 不成立，必要性不成立；
所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
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5. 若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
6. 设 ，则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用指数函数､幂函数的单调性，得出结论．
【详解】解：∵ ，
函数 是增函数， ，∴ ，∴ ，且
又 ，即 ，
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综上可得， ，
故选：C.
7. 若定义在 R 上的函数 满足 ，且当 时， ，已知函数
，则函数 在区间 内的零点个数为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式及性质，分别作出 与 的图象，根据图象交点个数，即可得答
案.
【详解】因为 ，所以 的周期为 2，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
令 ，则 ，
即求 与 在 上交点个数，
作出 与 图象，如图所示
所以 与 图象在 上有 11 个交点，
则函数 在区间 内的零点个数为 11.
故选：B
8. 已知函数 的图象分别与函数 和 的图象交于 ， 两点，设两交点的
横坐标分别为 ， ，则 的值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反函数及反比例函数的对称性得到点 与点 关于直线 对称，再进一步求解即可.
【详解】设 ， ，
则 .
因为函数 和 互为反函数，图象关于直线 对称，函数 的图象也关于
直线 对称，
所以 ， 关于直线 对称，即 ， ，
又 ，所以 .
故选：C.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知 ， ，则（ ）
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断.
【详解】对于 A，由 ，得 ，而 ，因此 ，A 正确；
对于 B，由 ，得 ，而 ，则 ，B 错误；
对于 C，由 ， ，得 ，C 正确；
对于 D，由 ，得 ，则 ，D 正确.
故选：ACD
10. 下列说法正确 是（ ）
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A. 若α终边上一点的坐标为 ，则
B. 若角α为锐角，则 2α为钝角
C. 若圆心角为 的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
D. 若 且 ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据三角函数的定义判断 A 项；举反例排除 B 项；利用扇形的弧长与面积公式计算可判断 C 项；
根据已知求出 的值，即可得正切值判断 D 项.
【详解】对于 A，因 ，则 ，则 ，故 A 错误；
对于 B，当角α为锐角时，若 ，而 不是钝角，故 B 错误；
对于 C，依题意，扇形的半径为 ，则该扇形的面积为 ，故 C 正确；
对于 D，由 ①两边取平方，可得 ，化简得
，
因 ，故 ，则 ，
由 可得 ②，
联立①②，解得 ，故 .故 D 正确.
故选：CD.
11. 已知函数 是 R 上的偶函数，且 在 上单调递增， ，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于直线 对称 B. a，b，c 的大小关系是：
C. 函数 在区间 上单调递减 D. 关于 x 的不等式 解集为
【答案】ACD
【解析】
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【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断 A；判断 的单调性，可判断 C；利用函数的单调性判断 B；
结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断 D.
【详解】由函数是 上的偶函数，所以函数 的图象关于 y 轴对称，
则函数 的图象关于直线 对称，即 ，A 正确；
因为 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递减，所以 C 正确；
因为 ，
而 ，且函数 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 B 错误；
由于函数 的图象关于直线 对称，且在 上单调递增，在 上单调递减，
故 可化为 ，即 ，
即 ，解得 ，即 的解集为 ，D 正确，
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的零点个数是________.
【答案】3
【解析】
【分析】令 f(x)＝0 求解即可.
【详解】 ，方程有三个解，故 f(x)有三个零点.
故答案为：3.
13. 已知函数 为奇函数，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用奇函数的性质建立方程，直接求解即可.
【详解】因 函数 为奇函数，
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所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 时， .
故答案为：
14. 已知定义域为 的奇函数 的图像是一条连续不断的曲线．对 ，当 时，
总有 ，则满足 的实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】令 ，根据条件可得函数在 上递增，再根据 是奇函数，得到 在上是
偶函数，从而将 ，转化为 求解.
【详解】令 ， ，
因为 ，当 时，总有 ，即 ，
即 ，当 时，总有 ，
所以 在上 递增，
又函数 的图像是一条连续不断的曲线，所以 在上 递增，
又因为 是奇函数，
所以 ，
所以 在 上是偶函数，又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数的取值范围为 .
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故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， ， ．
（1）求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】（1）先求出集合 、集合 ，以及集合 的补集，再根据集合的交集运算和并集运算，即可求出
结果；
（2）由 ，得到 ，按照集合 是否为空集分类讨论，即可求出结果.
【小问 1 详解】
，解得 或 ，则 或 ， .
又由 ，即 ，解得 ，则 ，
所以 ， .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
当 时，则有 ，即 ；
当 时，则有 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 或 .
16. 已知函数 .
（1）填写下表，并画出 在 上的图象；
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0
（2）写出 的解集.
【答案】（1）表格见解析，图象见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令 分别等于 ， ， ， 作图.
（2）整体思想：令 ， 求解即可
【小问 1 详解】
0
0 0
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【小问 2 详解】
由 ， 得 ， ，
故 的解集为
17. 2025 年被称为“智能体元年”，基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技 AI 研发
中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 （满
分 100 分）和有效训练时长 （单位：百 GPU 小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，
得到如下函数关系： .已知初始综合性能评分 ，且函数图象
是连续不断的.
（1）求常数 和 的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为 ， ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标
准化训练效率最高？
【答案】（1） ，
（2）5.
【解析】
【分析】（1）由 ，建立方程解得 ，由函数图象连续建立方程解得 ；
（2）由（1）知函数 ，分别用基本不等式和二次函数 性质求出分段函数的最大值，然后取得函数
在定义域上的最大值，即可得到结论.
【小问 1 详解】
∵ ，即 ，
∵函数图象是连续不断的，
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∴ ，
解得 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
则 ，
当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号
.
当 ，即 时， ，
由二次函数的性质可知，当 ，即 时，函数 取最大值，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴训练时长 （百 GPU 小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
18. 已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）若对 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）由幂函数的概念及单调性列出等式求解即可；
（2）由幂函数的单调性列出不等式即可；
（3）由题意通过 ，及 ，即可求解.
【小问 1 详解】
由幂函数 在 上单调递增，
可得 ，解得 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
因为 在 上单调递增，
则 可化为 ，解得 ，所以 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
由（1）知 ，
因为对 ，使得 都成立，
所以 ，其中 ，
由（1）可得函数 在 上的最大值为 8，所以 ，
因为存在 ，使得 成立，可得 ，
又因为 ，所以 是关于 的单调递增函数，
所以 ，即 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
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19. 已知函数 ， .
（1）证明： 为偶函数；
（2）若函数 的图象与直线 没有公共点，求 a 的取值范围；
（3）若函数 ，是否存在 m，使 最小值为 0.若存在，求出 m
的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）存在， .
【解析】
【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；
（2）根据函数 的图象与直线 没有公共点，用分离参数法；
（3）复合函数问题，用换元法，令 ，讨论 即可.
【详解】解：（1）证明：因为 ，又
，
即 ，
所以 为偶函数.
（2）原题意等价于方程 无解，
即方程 无解.
令 ，
因为 ，
显然 ，
于是 ，即函数 的值域是 .
因此当 时满足题意.
所以 a 的取值范围是 .
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（3）由题意 ， .
令 ，则 .
则 ， .
①当 时， ，
，解得 ；
②当 时，
，解得 （舍去）；
③当 时，
，解得 （舍去）.
综上，存在 ，使得 最小值为 0.
【点睛】方法点睛：
（1）对函数奇偶性的证明用定义： 或 ；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
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