四川省成都市第十二中学（川大附中）2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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（时间：120分钟 分值：150分）
命题人：吴东 审题人：付小华
第Ⅰ卷 选择题 共58分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高三年级抽取的人数为（ ）
A. 13B. 12C. 11D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据分层抽样的比例列式求值即可.
【详解】高三年级人数为：；
抽样比为：；
因此，高三年级抽取人数为：.
故选：C
2. 从字母,,,,中不放回依次取两个字母，则取到字母的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意求出基本事件总数,以及“取到字母”所包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式求解.
【详解】从这5个字母中不放回依次取2个字母，属于有序选取，则
第一次取字母，有5种选择，由于不放回，第二次取字母，有4种选择
因此，基本事件总数为：.
第一次取到，对应基本事件：，有4种选择；
第二次取到，对应基本事件：，有4种选择；
因此，“取到字母”包含基本事件数为：.
根据古典概型的概率公式有.
故选：B
3. 平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】结合线面垂直、平行的性质与方向向量、法向量的关系逐一分析选项.
【详解】选项A：，又，故，则A选项正确；
选项B：，又，故，则B选项正确；
选项C：，又，故，则C选项正确；
选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误.
故选：D
4. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功，
故3例心脏手术全部成功的概率为：．
故选：B.
5. 下面四个结论中正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若，则向量的夹角是钝角
C. 若对空间中任一点O，有则四点共面
D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
【答案】AC
【解析】
【分析】易求得对称点可判断A；当反向时可判断B；由，可得四点共面判断C；设，可得，进而可得共面，判断D.
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A正确；
对于B，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，B错误；
对于C，由于对空间中任一点，有，而，故四点共面，C正确；
D选项，设，即，故，
解得，故共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.
故选：AC.
6. 某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（ ）

A. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
B. 芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25%
C. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50%
D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少
【答案】B
【解析】
【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图的数据进行分析，逐项判断即可.
【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，占芯片、软件行业从业者的，
而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例，
故无法确定两者人数的多少，所以选项Ａ不一定正确；
对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为，
所以超过从事这两个行业总人数的，所以选项Ｂ正确；
对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，所以选项C不正确；
对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为，
占芯片、软件行业从业者的，“80前”占比，所以选项Ｄ错误.
故选：B.
7. 已知向量，，则在方向上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算，进而利用投影向量的计算公式求解.
【详解】，
，
在方向上投影向量为：.
故选：C
8. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】记，则，根据空间向量共面定理，知四点共面.所以长度的最小值为点到平面的距离，结合正四面体的性质求得长度的最小值，进而得到长度的最小值.
【详解】正四面体中，，.
因为，所以.
记，则，所以四点共面.
所以当平面时，长度最小.
此时，点为正的中心，.
.
所以长度的最小值为.
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，多选错选得0分.）
9. 一组样本数据，，，…的平均数为，方差为，由，，，组成的样本的平均数为，方差为，由，，，，，组成的样本的平均数为，方差为，若，则（ ）
A. ，，，…，的中位数等于，，，，，的中位数
B. ，，，…，的30%分位数等于，，，，，的20%分位数
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由中位数的概念，百分位数的计算公式、平均数的计算及方差计算公式逐个判单即可；
【详解】的中位数为的中位数为，A正确；
，所以的分位数为，所以的分位数为，B错误；
因为，所以，C正确；
由，化简可得，D正确.
故选：ACD
10. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件两次的点数之和为偶数，两次的点数之积为奇数，第一次的点数大于2，则（）
A. B. C. D. 与相互独立
【答案】ABD
【解析】
【分析】先求基本事件总数，再分别分析各事件的基本事件数，结合概率公式、独立事件的判定条件逐一验证各选项.
【详解】连续抛掷两次骰子，基本事件总数为.
选项A：由于“奇数×奇数=奇数，偶数×任何数=偶数”，因此发生的条件是两次点数均为奇数.
骰子的奇数点数为，共3种，故包含的基本事件数为.
因此：，故选项A正确；
选项B：第一次点数大于2的情况为，共4种，第二次点数无限制，共6种，
故包含的基本事件数为.
因此：，故选项B正确；
选项C： 事件：两次点数之和为偶数（条件是“同奇或同偶”）；
由于事件（两次均为奇数）满足“同奇”，故，
因此：，故选项C错误；
选项D：事件：“两次积为奇数”且“第一次点数大于2”，需满足“第一次是大于2的奇数（，共2种）、第二次是奇数（3种）”，故包含的基本事件数为，
因此：，又，
由于，故与相互独立，故选项D正确.
故选：ABD
11. 两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动（不包括端点），下列说法正确的是（ ）

A. 线段长的最小值为
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 若和的长度保持相等，则平面
D. 若和的长度保持相等，则线段长的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意先建立空间直角坐标系，设的坐标；对于A选项利用向量法求公垂线即可；对于B，三棱锥的顶点可看作棱长为1的正方体的顶点，进而求半径，则用计算即可；对于C，先求的坐标，用向量法判断即可；对于D，求最小值即可.
【详解】因为平面平面，且平面平面,
，平面，根据面面垂直的性质定理知平面，
，从而，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则,0,，,0,，,1,，,1,，
设由知 ，
则.
对于A：要使最小，则是的公垂线，即,
,
故，
解得，
故此时，故，
故的最小值为，故A选项正确；
对于B：三棱锥的顶点可看作棱长为1的正方体的顶点，
所以外接球直径为，，
因此，外接球表面积为，故B错；
对于C：当时，设 ，
则，易知平面一个法向量.
因为，所以，又平面，
于是平面，故C正确；
对于D：由C选项可知，,，
则，
当且仅当时等号成立，所以线段长的最小值为，故D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷 非选择题 共92分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 样本数据3，5，8，2，4，2的方差是___________ ；
【答案】##
【解析】
【分析】先计算出平均数后再计算方差即可得.
【详解】，
.
故答案为：.
13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用基底表示向量、，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】在平行六面体中，，，，
由空间向量数量积定义可得，
，同理可得，
因为，，
所以，.
故答案为：.
14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________
【答案】0.3##
【解析】
【分析】先求出，根据得到，结合，求出，从而得到.
【详解】由题意得，为互斥事件，
即，
，
又①，②，
式子①②相加得，
故，
所以，则.
故答案为：0.3
【点睛】若事件A，B互斥，则有，
若事件A，B不互斥，则有.
四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示：
（1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）
（2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率.
【答案】（1）0.008；平均数为，中位数；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出，再估算平均数和中位数.
（2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率.
【小问1详解】
依题意，，解得，
数学成绩的平均数为
由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数，则，解得；
【小问2详解】
抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人，
记在内的4人为a，b，c，d，在内的1人为A，
从5人中任取3人，，共10个，
选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种，
所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是.
16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，是的中点，作交于点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立恰当坐标系，根据线面垂直的判定定理证明；
（2）根据平面与平面夹角向量求法可得.
【小问1详解】
由题可知两两垂直，因此，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
，则，.
因为，所以.
因为平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知平面，所以平面一个法向量为，
因为,
设平面的一个法向量为，则
.
令，则.
.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响.
（1）若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率.
（2）在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章.
（ⅰ）若，，求甲、乙共获得3枚印章的概率；
（ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为，两人都获得两枚印章的概率为.求甲、乙至少有1人获得印章的概率.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由独立乘法公式即可求解；
（2）（i）由独立乘法、互斥加法公式即可求解；（ii）先求得，再根据乘法公式、对立事件概率公式即可求解.
【小问1详解】
设“甲答对”为事件A，“乙答对”为事件B，设“到第4个问题甲胜”为事件G，
则
.
【小问2详解】
设表示甲在第i个模块答题中答对的事件，表示乙在第i个模块答题中答对的事件（其中，2）.设表示甲在两个模块答题中答对i个的事件，表示乙在两个模块答题中答对i个的事件（其中，1，2）.
（i）根据独立性假定，得
，，
，.
设”甲、乙共获得3枚印章“，则，且与互斥，与，与分别相互独立.
所以.
（ii）设“甲、乙至少有一人获得印章”，
，
，
由已知，
所以，
.
18. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；
（2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值；
（3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题.
【小问1详解】

如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
因为在正中，D是的中点，故，
以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．
故，，，
设平面的法向量为，
则取．
设直线与平面所成角为,
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【小问3详解】
存在点E，理由如下：
设，其中，
所以，，
设平面ADE法向量为，
则取．
且，
则点到平面ADE的距离，
化简得，解得或（舍去）．
综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时．
19. 行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积.其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点，且，，三点不共线，易证是平面的一个法向量.
（1）①若，，求；
②求证：.
（2）记的面积为，证明：.
（3）三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积（用，，表示）.
【答案】（1）①②证明见详解
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）①应用定义代入化简可得；②设平面内任意一向量，应用定义结合行列式转化为向量的坐标运算，证明数量积，及即可；
（2）利用正余弦关系，将三角形面积转化为数量积表示代入坐标整理，同时将也坐标化，二者相等即可证明；
（3）利用已证明结论用向量积表示面积，再应用向量方法表示点到平面的距离即可得体积；
【小问1详解】
①若 ，则，
②
则.
【小问2详解】
，设，
记 的面积为 ，
，
“
故
【小问3详解】
由题可知平面的一个法向量为，则点到平面的距离，
利用 ，则，
其中 ，
故.