2024-2025学年四川省成都十二中（川大附中）高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都十二中（川大附中）高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果角α的终边经过点P(1,− 3)，则sinα的值等于( )
A. 12B. −12C. − 33D. − 32
2.已知向量a=(1,1)，b=(0,2)，则下列结论正确的是( )
A. a//bB. (2a−b)⊥bC. |a|=|b|D. a⋅b=3
3.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设AB=a，AD=b，则BN=( )
A. −23a+13b
B. 23a−13b
C. −13a+23b
D. 13a−23b
4.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减的是( )
A. y=|sinx|B. y=csxC. y=tanxD. y=csx2
5.已知|a|=3，a,b的夹角为120°，a⋅b=−152，则a在b上的投影向量是( )
A. −56bB. 56bC. 310bD. −310b
6.已知sin(α+π4)=−2425，α∈(π,5π4)，则csα=( )
A. −17 250B. −31 250C. 17 250D. 31 250
7.如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=1,AD= 2，则AC⋅BD=( )
A. 1 B. 2
C. 12 D. 2
8.十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一
个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC= 5−12.根据这些信息，可得cs144°=( )
A. − 5+14
B. −3+ 58
C. 4+ 58
D. 1−2 54
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,00)个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数y=csx的图象重合，求实数m的最小值．
17.(本小题15分)
在三角形ABC中，a=2 3，(2b−c)csA=acsC．
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的周长l的最大值．
18.(本小题17分)
某游乐场的摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T=24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12(可视为点)，在旋转过程中，座舱与地面的距离ℎ与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)求1号座舱与地面的距离ℎ与时间t的函数关系ℎ(t)的解析式；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时t的值；
(3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：∵角α的终边经过点P(1,− 3)，
∴|OP|= 12+(− 3)2=2(O为坐标原点)，
∴sinα=− 32．
故选：D．
依题意，可求得|OP|=2(O为坐标原点)，利用任意角的三角函数的定义即可求得sinα的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对于A项，1×2−0×1≠0，错误；
对于B项，2a−b=(2,0)，b=(0,2)，则2×0+0×2=0⇒(2a−b)⊥b，正确；
对于C项，|a|= 2,|b|=2，错误；
对于D项，a⋅b=1×0+1×2=2，错误．
故选：B．
利用向量的平行，垂直，向量的模的运算法则，数量积的运算法则，化简求解判断选项即可．
本题考查向量的运算法则的应用，数量积以及向量共线的充要条件的应用，向量的垂直的判断与应用，是基本知识的考查．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可知，AM=12AB，
AC=AB+AD，设AN=λAC，
∴AN=λ(2AM+AD)，
又点D，N，M三点共线，所以AN=μAM+(1−μ)AD，
∴2λ=μλ=1−μ，
∴λ=13μ=23，
∴AN=13AC，
∴BN=AN−AB=13AC−AB=13AD−23AB=−23a+13b，
故选：A．
由向量的定义，加法法则，平面向量基本定理即可解出．
本题考查了向量的基本知识，相关的运算，学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：对于A：y=|sinx|，将y=sinx的图象x轴翻折到上方，可知周期T=π，在区间(π2,π)上单调递减，所以A对；
对于B：y=csx的周期T=2π，所以B不对．
对于C：y=tanx的周期T=π，在定义域内都是单调递增，所以C不对；
对于D：y=csx2的周期T=2π12=4π，所以D不对．
故选：A．
根据三角函数的性质对各选项依次判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：|a|=3，a,b的夹角为120°，a⋅b=−152，
则|a||b|cs120°=3×|b|×(−12)=−152，解得|b|=5，
故a在b上的投影向量是a×b|b|×b|b|=−15225b=−310b．
故选：D．
结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为α∈(π,5π4)，
所以5π40)，
又T=24min，可得ω=2πT=π12(rad/min)，
当t=0时，ℎ(t)=30，可得φ=0，
故ℎ(t)=28sinπ12t+30(t≥0)；
(2)令ℎ(t)=16，即28sinπ12t+30=16，整理得sinπ12t=−12，
由0≤t≤24，则0≤π12t≤2π，
所以π12t=7π6或π12t=11π6，解得t=14或t=22，
所以t=14或t=22时，1号座舱与地面的距离为16米；
(3)依题意ℎ1=28sinπ12t+30，ℎ4=28sinπ12(t+6)+30，
所以H=|(28sinπ12t+30)−[28sinπ12(t+6)+30]|
=|28sinπ12t−28sin(π12t+π2)|
=28|sinπ12t−csπ12t|
=28 2|sin(π12t−π4)|，
令π12t−π4=π2+kπ,k∈Z，解得t=9+12k(k∈Z)，
又0≤t≤24，
所以当t=9或21时，H取得最大值28 2．
【解析】(1)设1号座舱与地面距离ℎ与时间t的函数关系为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0)，根据已知得A=28，b=30，再由周期性及初始点求ω、φ，即可得解析式；
(2)根据(1)及已知得sinπ12t=−12，结合0≤t≤24求解，即可得答案；
(3)根据解析式，两座舱高度差绝对值H为28 2|sin(π12t−π4)|，结合正弦型函数的性质求H取得最大值时t的值．
本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了数形结合数形和函数思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由已知△ABC中cs2B+cs2C−cs2A=1，即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1，
故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即A=π2；
(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12×2，
整理得xy+yz+xz=4 33，
则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12×4 33=−2 33；
(3)点P为△ABC的费马点，则∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)．
故实数t的最小值为2+2 3．
【解析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C−cs2A=1可得a2=b2+c2，即可求得答案；
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
(3)由(1)结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．