2024-2025学年四川省成都十二中（川大附中）高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都十二中（川大附中）高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果角α的终边经过点P(1,− 3)，则sinα的值等于( )
A. 12B. −12C. − 33D. − 32
2.已知向量a=(1,1)，b=(0,2)，则下列结论正确的是( )
A. a//bB. (2a−b)⊥bC. |a|=|b|D. a⋅b=3
3.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设AB=a，AD=b，则BN=( )
A. −23a+13b
B. 23a−13b
C. −13a+23b
D. 13a−23b
4.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减的是( )
A. y=|sinx|B. y=csxC. y=tanxD. y=csx2
5.已知|a|=3，a,b的夹角为120°，a⋅b=−152，则a在b上的投影向量是( )
A. −56bB. 56bC. 310bD. −310b
6.已知sin(α+π4)=−2425，α∈(π,5π4)，则csα=( )
A. −17 250B. −31 250C. 17 250D. 31 250
7.如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=1,AD= 2，则AC⋅BD=( )
A. 1 B. 2
C. 12 D. 2
8.十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一
个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC= 5−12.根据这些信息，可得cs144°=( )
A. − 5+14
B. −3+ 58
C. 4+ 58
D. 1−2 54
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,00)个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数y=csx的图象重合，求实数m的最小值．
17.(本小题15分)
在三角形ABC中，a=2 3，(2b−c)csA=acsC．
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的周长l的最大值．
18.(本小题17分)
某游乐场的摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T=24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12(可视为点)，在旋转过程中，座舱与地面的距离ℎ与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)求1号座舱与地面的距离ℎ与时间t的函数关系ℎ(t)的解析式；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时t的值；
(3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.A
5.D
6.B
7.A
8.A
9.BC
10.AD
11.CD
12.1
13.5π6
14. 33
15.(1)由题意可得a−3b=(3−3×1,−4−3×2)=(0,−10)，ka+b=(3k+1,−4k+2)，a−mb=(3−m,−4−2m)，
由a−3b//ka+b，得−10(3k+1)=0×(−4k+2)，解得k=−13；
由(a−mb)⊥b，得(3−m)+2(−4−2m)=0，解得m=−1；
所以m+k=−1−13=−43；
(2)a−b=(2,−6)，所以cs=(a−b)⋅a|a−b|⋅|a|=2×3+6×4 22+(−6)2× 32+(−4)2
=302 10×5=3 1010．
16.(1)由题意得f(x)=m⋅n= 3sinωxcsωx+sin2ωx
= 32sin2ωx+12(1−cs2ωx)=sin2ωxcsπ6−cs2ωxsinπ6=sin(2ωx−π6)+12，
根据f(x)的最小正周期为π，可得2ω=2πT=2，解得ω=1，所以f(x)=sin(2x−π6)+12，
因为sin(2x−π6)∈[−1,1]，所以sin(2x−π6)+12∈[−12,32]，即f(x)的值域为[−12,32]；
(2)将f(x)的图象向下平移12个单位长度，可得y=sin(2x−π6)的图象，
然后将所得图象向左平移m(m>0)个单位长度，可得y=sin(2(x+m)−π6)=sin(2x+2m−π6)的图象，
再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，可得y=sin(x+2m−π6)的图象，
结合题意可得y=sin(x+2m−π6)的图象与y=csx的图象重合，
根据诱导公式得2m−π6=π2+2kπ，k∈Z，即m=π3+kπ，k∈Z，取k=0，可得m的最小值是π3．
17.(1)由正弦定理及(2b−c)csA=acsC，得(2sinB−sinC)csA=sinAcsC，
所以2sinBcsA=sinAcsC+csAsinC=sin(A+C)=sinB，
因为sinB≠0，所以csA=12，
又A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccsA，
所以12=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−34(b+c)2=14(b+c)2，
所以b+c≤4 3，当且仅当b=c=2 3时，等号成立，
所以l=a+b+c≤2 3+4 3=6 3，
即△ABC的周长l的最大值为6 3．
18.解：(1)由题意设ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0)，
由于该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，可得A=28，b=30，
则ℎ(t)=28sin(ωt+φ)+30(ω>0)，
又T=24min，可得ω=2πT=π12(rad/min)，
当t=0时，ℎ(t)=30，可得φ=0，
故ℎ(t)=28sinπ12t+30(t≥0)；
(2)令ℎ(t)=16，即28sinπ12t+30=16，整理得sinπ12t=−12，
由0≤t≤24，则0≤π12t≤2π，
所以π12t=7π6或π12t=11π6，解得t=14或t=22，
所以t=14或t=22时，1号座舱与地面的距离为16米；
(3)依题意ℎ1=28sinπ12t+30，ℎ4=28sinπ12(t+6)+30，
所以H=|(28sinπ12t+30)−[28sinπ12(t+6)+30]|
=|28sinπ12t−28sin(π12t+π2)|
=28|sinπ12t−csπ12t|
=28 2|sin(π12t−π4)|，
令π12t−π4=π2+kπ,k∈Z，解得t=9+12k(k∈Z)，
又0≤t≤24，
所以当t=9或21时，H取得最大值28 2．
19.解：(1)由已知△ABC中cs2B+cs2C−cs2A=1，即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1，
故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即A=π2；
(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12×2，
整理得xy+yz+xz=4 33，
则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12×4 33=−2 33；
(3)点P为△ABC的费马点，则∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)．
故实数t的最小值为2+2 3．