2024-2025学年四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)高二下学期半期考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)高二下学期半期考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列an中，a4=8，且a2，a4，a10构成等比数列，则公差d等于( )．
A. −83B. 0C. 83D. 0或83
2.已知函数f(x)=csx，则limΔx→0fπ2+2Δx−fπ2Δx=( )
A. 2B. 1C. −2D. −1
3.设等差数列{an}前n项和为Sn，等差数列{bn}前n项和为Tn，若SnTn=n−1n+1.则a5b5=( )
A. 23B. 45C. 32D. 54
4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”.在该问题中前5天共分发多少升大米？( )
A. 1200B. 1440C. 1512D. 1772
5.函数f(x)=x2−1ex的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，则数列2f(n)n∈N∗的前n项和是( )
A. nn+1B. 2nn+1C. 2nn−1D. 2(n+1)n
7.若函数f(x)=kx−6lnx+x2在区间[1,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围为( )
A. [4,+∞)B. (−∞,4]C. (4,+∞)D. (−∞,4)
8.已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)，f(−1)=−1，其导函数f′(x)满足xf′(x)−2f(x)>0，则不等式f(x+2025)+(x+2025)2S9>S8，设bn=an⋅an+1⋅an+2，数列bn的前n项和为Tn，则下列结论中正确的是( )
A. 满足Sn>0的最小n值为17B. a8a9⋅a10D. n=8时，Tn取得最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列an中，若a1=2,an+1=nn+1an，则数列an的通项公式为 ．
13.若函数f(x)=x3+bx2+2x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ．
14.已知函数f(x)=x+lnx．f′(x)为函数f(x)的导函数，若f′(x)>kln(x+1)+1对任意x>0恒成立，则整数k的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值12
(1)求a,b的值；
(2)求函数f(x)在区间1e,e上的最值
16.(本小题15分)
如图，A,B,C是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，AC为直径，BB1，CC1均为该圆柱的母线．

(1)证明：平面ABB1⊥平面BCC1B1．
(2)若AC=2，BB1=3，∠ACB=30°，求AC1与平面AB1C所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知数列an满足a1=1,an+1=1−14an，其中n∈N∗．
(1)设bn=22an−1，求证：数列bn是等差数列；
(2)在(1)的条件下，求数列bn3n+1的前n项和Sn；
(3)在(1)的条件下，若cn=6n+(−1)n−1⋅λ⋅2bn，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N∗，都有cn+1>cn，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F．
(1)若点C(p,1)到抛物线准线的距离是它到焦点距离的 3倍，求抛物线的方程；
(2)点C(p,1)，若线段CF的中垂线交抛物线于A，B两点，求三角形ABF面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=13x3+ax2−3a2x，a∈R
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a=1时，以A00,f(0)为切点，作直线l1交f(x)的图像于异于A0的点A1x1,fx1，再以A1为切点，作直线l2交f(x)的图像于异于A1的点A2x2,fx2，…，依此类推，以Anxn,fxn为切点，作直线ln+1交f(x)的图像于异于An的点An+1xn+1,fxn+1，其中n∈N+.求xn的通项公式．
(3)在(2)的条件下，证明：1+1x1+11+1x2+11+1x3+1⋯1+1xn+1f1e，
所以当x∈1e,e时，f(x)max=f(e)=e2−22，f(x)min=f(1)=12．

16.【详解】(1)证明：因为AC为直径，B是上底面圆周上异于A,C的一点，所以AB⊥BC．
因为BB1为该圆柱的母线，所以BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以BB1⊥AB，又BB1∩BC=B，BB1,BC⊂平面BCC1B1．
所以AB⊥平面BCC1B1．
因为AB⊂平面ABB1，所以平面ABB1⊥平面BCC1B1．
(2)设点A在圆柱下底面的射影为A1，连接A1B1．
以B1为坐标原点，B1A1，B1C1，B1B的方向分别为x,y,z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．

因为AC=2，∠ACB=30°，所以AB=1,BC= 3，
所以B1(0,0,0),A(1,0,3),C0, 3,3,C10, 3,0，
AC=−1, 3,0,AB1=(−1,0,−3),AC1=−1, 3,−3．
设平面AB1C的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC=m⋅AB1=0，即−x+ 3y=0−x−3z=0,
取z=−1，得m=3, 3,−1．
由cs〈m,AC1〉=m⋅AC1mAC1=3 13× 13=313，
得AC1与平面AB1C所成角的正弦值为313．

17.【详解】(1)证明：bn+1−bn=22an+1−1−22an−1=221−14an−1−22an−1
=21−12an−22an−1=4an−22an−1=2，
b1=22a1−1=2,∴数列bn是首项为2，公差为2的等差数列，
(2)bn=b1+(n−1)d=2+(n−1)×2=2n，bn3n+1=2n3n+1，
Sn=2×132+2×233+...+2n3n+1①，
13Sn=2×133+2×234+(n−1)3n+1+2n3n+2②，
①−②得：23Sn=232+233++1−23n+2，其中232+233++1，是首项a1=29，
公比q=13的等比数列的前n项和，根据等比数列的前n项和公式Sn=a11−qn1−q，
这里的首项a1=29，公比q=13，项数为n，2×132+2×233+...+2n3n+1=291−13n1−13=131−13n，
所以23Sn=131−13n−2n3n+2，
Sn=121−13n−n3n+1=12−12×3n−n3n+1=12−3+2n2×3n+1．
(3)存在，理由如下：
cn=6n+(−1)n−1⋅λ⋅2bn=6n−λ⋅(−4)n,
cn+1=6n+1+(−1)n⋅λ⋅22n+2=6⋅6n+4λ⋅(−4)n
则cn+1−cn=56n+λ⋅(−4)n=5×6n1+λ⋅−23n，
若对任意的n∈N∗，都有cn+1>cn，
则等价于cn+1−cn=56n+λ⋅(−4)n=5×6n1+λ⋅−23n>0恒成立，
即1+λ⋅−23n>0恒成立，n∈N∗，
当n为偶数时，−23n∈0,49，则λ>−1−23nmax=−94，
当n为奇数时，−23n∈−23,0时，则λcn．

18.【详解】解：(1)抛物线的准线方程是x=−p2，焦点坐标为Fp2,0，
∴|p+p2|= 3 (p−p2)2+1
∵p>0，∴p= 2
∴抛物线的方程为y2=2 2x
(2)由题意知线段CF的中点坐标为M3p4,12，kCF=1−0p−p2=2p，
∴kAB=−p2
∴直线AB的方程为y−12=p2x−3p4
设Ax1,y1，Bx2,y2
由y2=2pxy−12=−p2x−3p4，得y2+4y−3p22−2=0
∴y1+y2=−4，y1y2=−32p2−2
∴|AB|= 1+1kAB2|y1−y2|= 1+4p2× (y1+y2)2−4y1y2= 6(p2+4)p
又|CF|= p−p22+1= p2+42
∴S▵ABF=12×|AB|×12|CF|= 6(p2+4) p2+48p= 68× (p2+4)3p2
令t=p2(t>0)，则f(t)=(t+4)3t，f′(t)=2(t+4)2(t−2)t2
∴当00；当x∈(−3a,a)时，f′(x)0)
g′(x)=11+x−1=−x1+x