人教版（2024）八年级上册（2024）13.2.1 三角形的边一课一练

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1．下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cmB．5cm，2cm，7cm
C．1cm，1cm，2cmD．3cm，4cm，5cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、2+3＝5，长度是2cm，3cm，5cm线段不能构成三角形，故A不符合题意；
B、5+2＝7，长度是5cm，2cm，7cm线段不能构成三角形，故B不符合题意；
C、1+1＝2，长度是1cm，1cm，2cm线段不能构成三角形，故C不符合题意；
D、3+4＞5，长度是3cm，4cm，5cm线段能构成三角形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系．
2．一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，则第三条边长可能为（ ）
A．2B．3C．8D．11
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题，
【解答】解：设三角形第三边长是x，
∴7﹣4＜x＜7+4，
∴3＜x＜11，
∵x为整数，
∴x可能为8．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
3．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA＝13m，PB＝7m，那么A，B之间的距离不可能是（ ）
A．8mB．12mC．17mD．21m
【分析】由三角形三边之间的关系可得PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即6m＜AB＜20m，再结合各选项数据即可得出答案．
【解答】解：由三角形三边之间的关系可得：
PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
即：6m＜AB＜20m，
∴A，B之间的距离不可能是21m，
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．如图所示，从点A到点G，下列路径最短的是（ ）
A．A→B→F→GB．A→C→F→GC．A→D→F→GD．A→E→F→G
【分析】根据三角形两边之和大于第三边可知A→B→F→G路径最短．
【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边可知A→B→F→G路径最短．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形三边之间的关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
5．王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把（ ）分为两截．
A．6cm的木条B．8cm的木条
C．两根都可以D．两根都不行
【分析】利用三角形的三边关系可得答案．
【解答】解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，
如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，
而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
6．（2023•吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 三角形具有稳定性 ．
7．若长度分别为3，5，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是 5（答案不唯一） ．（写出一个符合题意的数即可）
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【解答】解：∵长度分别为3，5，x的三条线段能组成一个三角形，
∴根据三角形三边关系可知：5﹣3＜x＜5+3，
即2＜x＜8，
则x的值可以是5，
故答案为：5（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
8．一个三角形的两条边相等，周长为18cm，三角形一边长4cm，求其它两边长？
【分析】分两种情形讨论求解即可：①若4cm为底边．②若4cm为腰长；
【解答】解：①若4cm为底边，则另外两边均为12（18﹣4）＝7（厘米）；
②若4cm为腰长，则另一腰为4厘米，底边为18﹣4×2＝10（厘米），
∵4+4＜10，
∴此时不能构成三角形，舍去．
因此其他两边的长分别为7cm、7cm．
【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．如图，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得
AB+AD＞ BD ，PD+CD＞ PC ．
将不等式左边、右边分别相加，得
AB+AD+PD+CD＞ BD+PC ，即AB+AC＞ PC+BP
【分析】根据三角形的三边关系和不等式的性质解答．
【解答】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，
得AB+AD＞BD；
PD+CD＞PC．
将不等式左边、右边分别相加，
得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，
得AB+AC＞PC+BP．
故答案为：BD；PC；BD+PC；PC+BP．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
10．小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米．
（1）请用含m的式子表示第三条边长；
（2）第一条边长能否为10米？为什么？
【分析】（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；
（2）当m＝10时，三边长分别为10，17，5，根据三角形三边关系即可作出判断．
【解答】解：（1）∵第一条边长为m米，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米
∴第二条边长为（2m﹣3）米，
∴32﹣m﹣（2m﹣3）＝（35﹣3m）米；
∴第三条边长为（35﹣3m）米；
（2）不能，
因为当m＝10时，三边长分别为10，17，5，
由于10+5＜17，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，熟知熟知三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边是解题的关键．
11．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
【分析】设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x，由BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，求出x的取值范围，即可解答．
【解答】解：设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x，
根据题意得：AB＝2m，BC＝8m，CD＝3m，
∵BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，即5m＜AB+x＜11m，
∴3m＜x＜9m，
∴在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为4m，
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，利用三边关系确定第三边的取值范围．
12．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 4 ．
【分析】根据“倍长三角形”的定义求出第三边的长，再根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：当第三条边的长是2的2倍时，第三条边的长为4，
当第三条边的长是3的2倍时，第三条边的长为6，
∵2+3＜6，
∴长为2，3，6的三条线段不能组成三角形，
∴第三条边的长为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
13．已知△ABC的三边长分别为3，a，7（a为整数），且关于x的不等式组x+42≥7x−a＜2无解，则满足条件的a的和为 26 ．
【分析】先利用三角形三边关系得出a的取值范围，再解不等式组得出a的取值范围，进而得确定a的所有可能取值，最后求和即可．
【解答】解：根据题意，∵△ABC三边长分别为3，a，7（a为整数），
∴根据三角形三边关系得，7﹣3＜a＜3+7，即4＜a＜10，
∵关于x的不等式组x+42≥7x−a＜2无解，
∴整理得x≥10x＜2+a无解，则2+a≤10，
解得：a≤8，
∴4＜a≤8，
∴a的值为5，6，7，8，
∴满足所有条件的a的和为：5+6+7+8＝26．即满足条件的a的和为26．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
14．（1）已知4是3a﹣2的算术平方根，2﹣b的立方根为﹣2，求a+b的值；
（2）已知a，b，c为△ABC的边长，b，c满足(b−4)2+c−3=0，且a为方程|a﹣4|＝1的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，求出a，b的值，进而求出a+b的值；
（2）根据非负性求出b，c的值，绝对值的意义，求出a的值，分两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵4是3a﹣2的算术平方根，2﹣b的立方根为﹣2，
∴3a﹣2＝16，2﹣b＝﹣8，
∴a＝6，b＝10，
∴a+b＝16；
（2）由题意得，b﹣4＝0，c﹣3＝0，
∴b＝4，c＝3，
∵|a﹣4|＝1，
∴a＝5或3，
当a＝5，b＝4，c＝3时，a2＝b2+c2，则△ABC是直角三角形，周长为12，
当a＝3，b＝4，c＝3时，a＝c，则△ABC是等腰三角形，周长为10．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，立方根，非负数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．如图，有一根长度为18cm的木条，从两端各截取长度为x cm的木条．
（1）若得到的三根木条能组成等边三角形，求x的值；
（2）若得到的三根木条能组成三角形，写出x的取值范围．
【分析】（1）抓住等边三角形三条边相等的性质，通过简单的方程即可求解．
（2）根据三角形三边关系，列出不等式，然后根据不同情况分别求解化简，最终得出 x 的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据题意可知：三条边分别为x cm、x cm、（18﹣2x）cm．
∴x＝18﹣2x．
解得：x＝6．
即x的值为6．
（2）根据题意可知：三根木条长度分别为x cm、x cm、（18﹣2x）cm．
由三角形三边关系可得：
∴x+(18−2x)＞x|x−(18−2x)|＜x．
①当x﹣（18﹣2x）≥0，即x≥6时．
则x+(18−2x)＞xx−(18−2x)＜x，
解得：x＜9．
∴6≤x＜9．
②当x﹣（18﹣2x）＜0，即x＜6时．
则x+(18−2x)＞x(18−2x)−x＜x，
解得：92＜x＜9．
∴92＜x＜6．
综上所述：92＜x＜9．
【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形的三边关系的综合应用，能够熟练运用三角形三边关系列出不等式，并能够考虑多种情况下不等式的求解是解决本题的关键．