初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十三章 三角形13.2 与三角形有关的线段当堂检测题

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题型1 三角形的相关概念
1．（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，，
∵于点，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∴、是直角三角形，
综上，直角三角形有、、、、，一共5个，
故选：C．
2．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习），若，，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的边角关系，实数的大小比较，熟练掌握大边对大角是解题的关键．
根据题意得到，即可得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
3．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）以下是某数学兴趣小组群内进行测试的聊天记录，组长：任意说出一个与三角形有关的结论．嘉嘉：三角形的中线、高、角平分线都是线段．琪琪：三角形的三条角平分线交于一点．亮亮：任意三角形的外角和都是360°．明明：三角形的外角大于任何一个内角．其中回答的结论错误的人是（ ）
A．嘉嘉B．琪琪C．亮亮D．明明
【答案】D
【分析】本题主要考查了与三角形有关的性质与概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键．
根据三角形中线，角平分线，高的定义即可判断选项A、B，根据三角形内角和外角的定义即可判断选项C、D.
【详解】解：∵三角形的中线、角平分线、高都是线段，
∴嘉嘉结论正确，选项A不符合题意；
∵三角形的三条角平分线交于一点，
∴琪琪结论正确，选项B不符合题意；
∵任意三角形的外角和都是360°，
∴亮亮结论正确，选项C不符合题意；
∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此可得：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，但不一定大于相邻的内角，
∴明明结论错误，选项D符合题意．
故选：D．
4．（24-25八年级上·山东威海·期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．先根据角的个数判断三角形的个数，再根据三角形内角和定理，由于有4个直角，2个钝角，则有4个直角三角形和2个钝角三角形，则余下的三角形为锐角三角形．
【详解】解：共有个角，则共有（个）三角形，
而有4个直角，2个钝角，
所以有4个直角三角形和2个钝角三角形，
所以锐角三角形的个数．
故答案为：3．
5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由．
【答案】为钝角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．先根据题意表示出，，根据三角形内角和是，列出方程，求出的度数，即可得出和的度数，根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形即可求解．
【详解】解：∵是的倍，比大，
故，，
即，
∵，
即，
解得：，
故，
，
所以为钝角三角形．
题型2 与三角形高、中线有关的画图问题
6．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，这是9×11的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上，按要求画图：
(1)画出的边上的中线．
(2)画出的边上的高．
(3)若，求边上的高的长度．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)．
【分析】本题考查作图一应用与设计作图，三角形的高，中线的定义等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
（1）根据网络特点找到的中点，连接、两点即可求解；
（2）根据三角形的高的定义画出图形；
（3）利用面积法解决问题即可．
【详解】（1）解：如下图，根据网络特点找到中点，再连接、两点，线段即为所求．
（2）解：如下图，延长，过点作延长线的垂线，交于点，线段即为所求．
（3）解：设边上的高为，
由图题意可知：，，
，
即，
，
即边上的高的长度为．
7．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图：
(1)补全；
(2)请在边上找一点D，使得线段平分的面积，在图上作出线段；
(3)找（要求各顶点在格点上，P不与点C重合），使其面积等于的面积．满足这样条件的点P共 个．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)6
【分析】本题考查图形与平移，掌握平移的性质，是解题的关键．
（1）根据点的位置，确定平移规则，进而补全；
（2）根据三角形的中线平分三角形的面积，得到的中点即为点，连接即可；
（3）根据平行线的距离处处相等，以及同底等高的三角形面积相等，确定出点的位置即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，满足这样条件的点P共有6个；
故答案为：6．
8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图1中过点C画出，并标出格点M；
(2)在图2中过点A画出的中线；
(3)图3中，是的角平分线，在射线上找点E，使得．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）如图，取格点M，连接，则M即为所求；
（2）如图，取格点P，Q，连接，交于N，连接即可；
（3）如图，取格点Q，连接交于N，连接，则，取格点M，H，连接，交于F点，则，连接交射线于E，交于G，则，可得，则，可得，再利用全等三角形的性质可得，，可得.
【详解】（1）解：如图，即为所求，M为格点；
（2）如图，中线即为所求；
（3）如图，线段即为所求；

【点睛】本题考查的是复杂作图，作已知直线的垂线，作三角形的中线，作一条线段等于另一条线段的2倍，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键.
9．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，的顶点都在格点上．

(1)直接写出的面积=________；
(2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
①请在图1中画出的高；
②请在图1中在线段上找一点D，使；
③在图2中画出所有满足条件的面积的面积的格点E．
【答案】(1)9
(2)①见解析；②见解析；③见解析
【分析】（1）用割补法将补全成四边形，再用四边形减去多余的三角形即可得到的面积；
（2）①如图，取格点，，，连接，，，，，且，与分别交于点，，利用可证得，进而证明，即可知点即为所求；
②如图，取格点，，，连接，，，，，，并延长交于，利用可证得，进而证得，即可知点即为所求；
③利用网格，过点作的平行线，则平行线所经过的格点即为满足条件的点，如图，取格点，，，，类比①②可知，进而可证得，取格点，与点同理（过点且，平行线所经过的格点），即可知点，，即为所求．
【详解】（1）解：的面积为．
故答案为：9．
（2）①如图，取格点，，，连接，，，，，且，与分别交于点，，

则由网格可知，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即：如图所示，点即为所求；
②如图，取格点，，，连接，，，，，，并延长交于，

则由网格可知，，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，即，
即：如图所示，点即为所求；
③如图，取格点，，，，类比①②可知，

∴，
∵，则，
∴，即，
∴，
∴，即点即为所求；
取格点，与点同理（过点且，平行线所经过的格点），
综上，点，，即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的高、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
题型3 三角形三边关系的应用
10．（2025·江苏无锡·三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（ ）
A．P，Q，R，SB．P，R，S，QC．Q，S，P，RD．R，P，S，Q
【答案】D
【分析】本题考查线段的性质，三角形的三边关系，根据两点之间线段最短，三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可．
【详解】解：由图，根据两点之间线段最短，可知：的路径长小于的路径长，的路径长小于的路径长；
根据三角形的三边关系，可知：的路径长小于的路径长；
综上：4条路径从最短到最长的正确排列顺序R，P，S，Q；
故选：D．
11．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由三角形的三边关系得到，继而得到，解得，即可得到答案．
【详解】解：分别为三角形的三边，
，
，，
，
解得：，
故选：A．
12．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
过点O作，，，根据角平分线的性质得，再根据，即可判断．
【详解】解：过点O作，，，如图所示，
∵点是的三条角平分线的交点，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
故选：B．
13．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知中，，，则中线的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等知识点．延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可．
【详解】解：延长到，使，则，则连接，
是的中线，
，
在与中，
，
，
，
根据三角形的三边关系得：，
，
，
，
∴
故选：D．
14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ．
【答案】5
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长．
【详解】解：如图，延长交于点，
∵，
∴当点P运动到点时，最大，即为的长．
∵，
∴的最大值等于5．
故答案为：5．
15．（24-25七年级下·福建福州·期末）设的三边的长度均为自然数，且，请你分析以为三边长的三角形可能有哪些，并求出对应的值．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边．根据，得，根据三角形三边关系，求出，根据，求出，根据的长度均为自然数，得出c只能取5或6，然后得出答案即可．
【详解】解：由，得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的长度均为自然数，
∴c只能取5或6，从而
∴共可组成5个三角形．
16．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)等边三角形
【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用；
（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可；
（2）由非负数的性质证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵三边长，
∴
∴
．
；
（2）解：∵且，，
∴且
∴且，即
∴等边三角形．
17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的应用，因式分解的应用，解方程组等知识，有一定的综合性；把方程组中第一个方程分别减去第二个、第三个方程，利用完全平方公式变形得：，左边利用十字相乘法分解因式即可求得的值．关键是由方程组得到．
【详解】解：，
得：，
即，
∴，
分解因式得：，
∴或，
∴或；
∵三角形三边长为a、b、c，
∴，
∴不符合题意，
∴．
题型4 与等腰三角形边、角有关的分类讨论问题（易错）
18．（24-25八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．B．4C．或4D．或4
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可．
【详解】解：设腰长，底边长，
是中线，
，
中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，
或，
或，
解得：或，
当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形；
当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形；
该等腰三角形的底边长为，
故选：A．
19．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．10B．11C．10或11D．12
【答案】C
【分析】先将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴a=3，b=4.
分两种情况讨论：
①当腰为3时，3+3>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为3+3+4=10，
②当腰为4时，3+4>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为4+4+3=11．
综上所述：该等腰三角形的周长为10或11．
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式．
20．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当腰是底的2倍时，底边为，
∵，
∴可以构成三角形；
②当底是腰的2倍时，底边为，
∵，
∴不能构成三角形．
∴的周长=
故答案为：．
21．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）在等腰中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长．
【答案】这个等腰三角形的腰长为
【分析】设，，根据题意可的，然后分当、和、两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案．
【详解】解：设，，
∵为一腰上的中线，
∴，
∵中线将这个三角形的周长分成和两部分，
∴有两种情况：
①当，时，则有
，解得，
∴三边长分别为，，，且，
∴等腰三角形的腰长为；
②当，时，则有
，解得，
此时两腰之和，
故这种情况不存在．
综上所述，这个等腰三角形的腰长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中线、二元一次方程组的应用、三角形三边关系等知识，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题，避免遗漏．
22．（21-22七年级下·四川成都·期末）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰上高所在直线的夹角为40°，则该等腰三角形顶角的度数为 ．
【答案】或
【分析】作出图形，分等腰三角形是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三种情况进行讨论即可．
计算即可得解．
【详解】解：①如图，是锐角三角形时，是的中垂线，是边上的高，，
∴，
在中，
，
在中，
；
②如图，是钝角三角形时，是的中垂线，是边上的高，，
∴，
在中，
，
在中，
，
∴；
③如图，是直角三角形时，是的中垂线，则是边上的高，这时，
与题意不符，此种情况不存在．
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平角的定义，高的定义，中垂线的定义，等腰三角形的定义等知识．难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
23．（21-22八年级上·湖北十堰·期中）在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则底角的度数为 度．
【答案】55或35/35或55
【分析】分高BD和腰AC的交点D在AC上和高BD和腰AC的交点D在CA延长线上两种情况；根据直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，可推导得等腰三角形顶角度数，再根据三角形内角和、等腰三角形两底角相等的性质计算，即可得到答案．
【详解】当高BD和腰AC的交点D在AC上时，如下图，
根据题意，得，
∴
∴底角的度数为
当高BD和腰AC的交点D在CA延长线上时，如下图，
根据题意，得，
∴
∴底角的度数为
故答案为：55或35．
【点睛】本题考查了三角形的高、等腰三角形、直角三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形两锐角互余、三角形内角和的性质，从而完成求解．
题型5 利用三角形的中线求解
24．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，是的中线，，，，则的周长比的周长大 （用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查列代数式，涉及中线性质，三角形周长等知识，先由中线定义得到，再由三角形周长定义，表示出的周长比的周长差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：是的中线，
，
，，，
，
故答案为：．
25．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：连接．
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴时，最小，即当是的高时，
故答案为：．
26．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵点D、E、F分别是线段的中点
∴，，，
∴，，，，，，
∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是．
故答案为：．
27．（24-25七年级下·山西运城·期末）若四边形的面积是12，点M，N，P，Q分别为，，，的中点，与相交于点O，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可．
【详解】解：连接，
∵各边中点分别为M，N，P，Q，
∴，
∴，
，
，
，
，得
，
∴
．
故答案为；6．
28．（24-25七年级下·北京·开学考试）如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】阴影部分的面积是32平方厘米．
【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用．连接，根据三角形中线的性质，求得和的面积都等于，和的面积相等，设和的面积都等于，利用的面积为，列式计算即可求解．
【详解】解：连接，
∵，的面积为120，
∴的面积为，的面积为，
∵为的中点，
∴和的面积都等于，和的面积相等，
设和的面积都等于，
∴的面积等于，
∵，
∴的面积等于，
∵的面积为，
∴，
解得，
∴阴影部分的面积是（平方厘米）．
29．（23-24八年级上·湖南永州·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
(1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）；
(2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______；
(3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______；
(4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．
（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论；
（2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
（3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解；
（4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：与等底等高，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
∴，
故答案为：；
（3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，
设，则，．
，
故答案为：；
（4）解：∵G是的重心，
，
∵，，
，
∵，
，
，
，
∴．
题型6 利用等面积法求高或底
30．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小．
【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵垂线段最短，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为，
故答案为：．
31．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
32．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）10．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用面积法求出即可．
（2）利用面积法求出高与的比即可．
（3）利用面积法求出，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即．
33．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F．求证：．
（1）小毅的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
（2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证：；
【结论运用】
（3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G、H，若，则的值为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4
【分析】本题主要考查了折叠的性质，等角对等边，三角形面积计算，
（1）利用面积转换：即可得证．
（2）连接，利用面积转换即可得证．
（3）过点E作于Q，由平行线的性质证明，再证明，得到，则由（1）可知，据此求解即可．
【详解】解：（1）连接，如图②所示，
，，，，
，
，
；
（2）连接，如图③所示，
，，，，
，
；
（3）如图④，过点E作于Q，
由长方形的性质可得，与平行，
，
，
，
，
由折叠的性质得，
，
，
∵，
．
的值为4．
题型7 三角形高、中线、角平分线综合
34．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
(1)若，求的度数．
(2)若面积为40，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数；
（2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长．
【详解】（1）解：∵，
，
∵平分，
∴，
∵为高，
，
．
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴．
35．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，是的中线，，，．求的面积．
【答案】12.5
【分析】过点作，垂足为，则由角平分线的性质定理可得DM=DE，从而可分别求得△ABD与△ACD的面积，进而可得△ABC的面积；由AF是中线，即可得△ACF的面积是△ABC面积的一半，所以由即可求得结果．
【详解】过点作，垂足为，如图
∵是的角平分线，
∴
∴
∴
∴
∵是的中线
∴
∴
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形中线平分三角形面积的性质，作DM⊥AB是应用角平分线性质定理的关键．
36．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握．
（1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解；
（2）根据三角形高线的定义作出即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解：为的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
37．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，与的周长差为，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键；
（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：是的高，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）是中点，
，
与的周长差为，；
，
，
．
题型8 三角形内角与外角综合
38．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若，求的度数；
（2）若，则 ．
【猜想证明】
（3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示）
【拓展提高】
（4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不变化，理由见解析，结论
（4），理由见解析
【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是以及三角形外角的性质是正确解答的关键．
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可；
（2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；
（3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到；
（4）延长交于点A，将问题转化为（3）即可．
【详解】解：（1）∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
（2）∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
（3）不变化，理由如下：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
即
（4），理由如下：
如图，延长交于点A，
则
∴，
由（3）可得，
∴．
39．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知在中．
(1)若，求的最大内角的度数；
(2)若于点，是的平分线，，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由题意可设，，，根据三角形内角和定理列出方程，解出的值，即可求解；
（2）根据垂直的性质得到，利用直角三角形的性质得出，利用角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】（1）
解：，设，，，
，
，解得：，
，
的最大内角的度数；
（2）
解：，
，，
，
是的平分线，
，
，
．
40．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）【问题探究】
（1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______．
（2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______．
【拓展与应用】
（3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示）
（4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______．
【答案】（1）;（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质；
（1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）求解，再进一步利用内角和定理可得答案；
（3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可；
（4）求解，，可得，由（1）得：．
【详解】解：（1）在中，，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）∵与分别是的两个外角，且，
∴，
∴；
故答案为：．
（3）延长，交于点，
∵，，
同（2）可得，
∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（4）∵，结合折叠，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
由（1）得：．
41．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
①如图，请直接写出与、、之间的关系：
②如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果；
③如图，平分，平分，若，，求的度数；
【答案】①；②；③．
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．
①作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：；
②先根据三角尺可知：，根据的结论可得：，从而得结论；
③先根据第①题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论．
【详解】解：①，理由如下：
过点、作射线，
，，
，
即，
故答案为：；
②，
由①知：，
，
；
③，，
，
平分，平分，
，，
，
．
题型9 三角形折叠中的角度问题
42．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °．
【答案】68
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得，，，
根据对顶角相等，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：68．
43．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，中，，，D点在边AB上运动（与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点若是等腰三角形，则的值为 ．

【答案】或
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解．
【详解】解：将沿翻折至处，
，，，
，，
当，则，
，
；
当，则，
，
，
故答案为：或．
44．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中．
(1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明；
(2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了翻折的性质，三角形外角的性质，平行线的判定知识，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
（1）由折叠的性质得，由已知得出，推出，即可得到结论；
（2）连接，由三角形外角的性质可得，，
再由翻折的性质即可得出结果；
（3）设与相交于点O，由三角形外角的性质可得，，再由翻折的性质即可得出结果．
【详解】（1）∵在中，，
∴．
由折叠，可知，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
（2）．
理由如下：如图，连接，
则，分别是和的外角，
∴，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
（3）．
如图，设与相交于点O，
则是的外角，是的外角，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
45．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与探究：如图，已知，中，，点D为边上一点，连接，将沿直线折叠，得到，作平分交于F．
【尝试发现】
（1）①若，则 ；
②若，则 ；
③若，则 （用含的式子表示）；
【简单应用】
（2）如图1，若，，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图2，若，过点F作的垂线交延长线于点G，在延长线上取点H，使，，试探究，，三条线段之间的数量关系并证明．
【答案】（1）①；②；③；（2）证明过程见详解；（3），理由见解析
【分析】（1）根据折叠的性质得出与全等，进而理由全等三角形的性质解答即可
（2）证明是等腰直角三角形，利用含角的直角三角形的选择解答即可；
（3）证明是等边三角形，证明与全等，进而利用全等三角形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可，
【详解】解：①将沿直线折叠，得到，
，
，，，，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②，
，
解得：；
③，
；
故答案为：①；②；③；
（2）∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
则，
∵，
∴
∴，
∴
在中，，
∴；
（3）．
理由如下：
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
作于点，
∴，
设，，则，，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】此题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，关键是利用参数构建方程解决问题．
题型10 三角板拼接问题
46．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）将一副直角三角尺按如图1方式叠放，点D，B，A在同一直线上（，，，），若将含的三角尺绕顶点A顺时针旋转一周，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的的度数为 ．

【答案】或或或或或．
【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，
根据题意分情况讨论，然后利用直角三角形两锐角互余和平行线的性质求解即可．
【详解】如图所示，当时，

∴
∴
∴；
如图所示，当时，

∴；
如图所示，当时，

∴；
如图所示，当时，

∴
∴；
如图所示，当时，

∴
∴；
如图所示，当时，

∴
∴；
综上所述，的度数为或或或或或．
故答案为：或或或或或．
47．（24-25七年级下·福建三明·期中）综合与实践
学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，小明和小颖将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起．
(1)操作判断
若，则_________；
若，则_________；
(2)性质探究
由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
(3)拓展应用
当且点在直线的上方时，如果这两个三角尺存在一组边互相平行，则的度数为：__________________（写出所有可能的结果）
【答案】(1)；
(2)，证明见解析
(3)或或或或
【分析】（1）根据和的度数，求得的度数，再根据和求得的度数；
（2）根据∠，以及，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得的度数
【详解】（1）解：，，
，
，
；
，
．
故答案为：；
（2）猜想
证明：，
又，
，
即
（3）当时，
∴，
∴
当时，
∴
∴
∴
当时，
∴
∴
∴
当时，
∴，
∴
当时，
∴
故答案为：或或或或．
48．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图1是一副三角尺，，，，，．
(1)如图2，直角顶点与重合，当时，求的度数．
(2)如图3，直角顶点与重合，当点恰好落在上时，在上截取，连接，判断和的数量关系并说明理由．
(3)将三角尺从图4所示的位置开始，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为秒，当旋转到延长线上时，停止旋转．
①如图5．当时，的值是_____秒；
②当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，的值是_____秒．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)①40；②15，45或55．
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角形外角的性质：
（1）过C作，根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）证明，即可得出结论；
（3）①由平行线的性质得到，则，据此可得答案；
②分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：过C作，则
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，
当时，则，
∴，
∴；
当时，延长交于M，则，
∴，
∴；
综上所述，t的值为15或45或55．
49．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，．
(1)求此时的度数；
(2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数；
(3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)秒或秒或秒或秒或
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，全面分类、熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
（1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案；
（2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案；
（3）分五种情况，分别画出图形，利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，过作．
∴，，
∴．
∴，，
∴．
（2）解：如图2，过F作．
∵，，
∴．
∴，，
∴．
（3）解：如图3，当时，
∵，，
∴，
∴．
∴，
解得：．
如图4，当时，
∵，，
∴．
∴，
解得：．
如图5，当时，过作．
∵，，
∴．
∴，．
∴，
解得：．
如图6，当时，
∵，，
∴，
∴
∴，
解得：．
如图7，当时，
∵，，
∴．
∴，
解得：．
综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况．
题型11 探究角度之间存在的关系
50．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。
【答案】；相等的锐角有：
【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴；
在中，∵，即，
∴，
∵，
∴；
在中，∵，即，
∴，
∵，
∴；
∴相等的锐角有：．
51．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）（）如图①，在中，，，垂足为，___________．（填“”“”或“”）
（）如图②，在中，，点分别在上，且，的形状是___________．
（）如图③，在和中，，，，点在同一直线上，与的关系是___________．

【答案】（）；（）直角三角形；（）
【分析】（）利用余角性质即可求解；
（）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解；
（）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：（）∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（）在和中，∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
52．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点．
(1)若，，则_____度；
(2)求证：；
(3)直接写出与，，的数量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，得，，根据解答即可；
（2）根据三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线证明即可；
（3）根据（2）证明可以直接写出结论．
本题考查了三角形内角和定理应用，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，分别为，的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：∵，分别为，的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：∵，分别为，的角平分线，
∴，
∵，
∴．
53．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1，在中，平分．
(1)若为线段上的一个点，过点作交线段的延长线于点．
①若，，则 ；
②猜想与、之间的数量关系，并给出证明．
(2)如图2，若在线段的延长线上，过点作交直线于点，请直接写出与、的数量关系．
【答案】(1)①②，证明见解析
(2)
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角：
（1）①三角形的内角和求出的度数，平分线求出的度数，外角求出的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出的度数即可；②仿照①法，进行求解即可；
（2）利用三角形的内角和定理，角平分线的性质，和三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，证明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
题型12 与三角形有关的热考模型
54．（24-25八年级上·山东临沂·期中）研究三角形的角平分线：
(1)尺规作图：如图1，作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹；
(2)如图2，与的平分线相交于点，若，则的度数是________；
(3)如图3，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，与角平分线有关的三角形的角的计算和三角形的内角和定理，外角定理等知识．熟练掌握是解答本题的关键．
（1）按照尺规作角平分线作即可；
（2）先求出，进而求出，即可求出；；
（3）先求出，进而求出，即可求出．
【详解】（1）
（2）解：，
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：
（3）解：，理由如下：
，，
，
，的角平分线交于点
，，
，
．
55．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D

(1)若，则_________．
(2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）；
(3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由．
(4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由如下：
(4)
【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握其性质定理．
（1）利用求出，再利用角平分线的性质求出，即可求解；
（2）结合（1）的过程得，即可作答．
（3）利用三角形的外角性质得出，，从而可得，，再利用角平分线的性质，即可证明；
（4）与（3）同理先求出，则得，再观察规律，得即可求解．
【详解】（1）解：∵的角平分线和的角平分线交于点D，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：由（2）得出，
故答案为：．
（3）解：依题意，，，
，，
∵的角平分线和的角平分线交于点，
，，
，
；
（4）解：依题意，，，，
∴，，
∵的角平分线和的角平分线交于点，
，，
，
由（3）可知：
，
，
同理得
，
以此类推，得，
故答案为：．
56．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）中，是的角平分线，是的高．
(1)如图1，若，请说明的度数；
(2)如图2（），试说明、、的数量关系；
(3)如图3，延长到点F，和的角平分线交于点G，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题为与三角形有关的角平分线，高线的计算等知识，考查了三角形的内角和定理，外角定理，直角三角形两锐角互余等知识．
（1）根据三角形内角和定理求出， 根据角平分线的定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出；
（3）根据角平分线的定义求出，根据三角形外角定理得到进行等量代换即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：如图2，在中，，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（3）解：∵、分别是和的角平分线，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴
．
57．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明：
（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】
①如图2，已知，求的度数；
【拓展延伸】
②如图3，已知，求的度数．
【答案】（1），证明见解析；（2）①；②．
【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题．
（1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可；
（2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解；
（3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解．
【详解】解：（1）．
证明：如图，连接，并延长至点，
∵，，
∵
∴
∴；
（2）①如图，连接，
由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如图，在直线上取一点，连接，
由①可知，
∵
∴
∵
∴
∴
∴．
58．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：；
【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度；
【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．
【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．

【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：；提升思维： 1080
【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论；
尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案；
拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则；
提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案．
【详解】建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：

由三角形外角性质得：，
；
尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：

由“建立模型”得：，
，
，
在中，，
，
故答案为： 180 ；
拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示：
，
，
在中，，
，
由“尝试应用”得：，
；
提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，
∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：．
故答案为： 1080 ．
59．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷．
(1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明．
(2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数．
(3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数．
(4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
(4)540；
【分析】（1）根据“三角形内角和是“，进行等量代换即可求解；
（2）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可；
（3）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解；
（4）连接，构造三角形、四边形和“8”字模型即可求出七角星内角和，再根据五角星内角和，找出规律即可求出n角星内角和．
【详解】（1）解：，，，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴
；
（3）解：连接，
由（1）得：，
在中，，
即，
即五角星的五个内角之和为．
（4）解：连接，如图所示，
由（1）可得，，
∴
；
∵五角星内角和，七角星内角和，
∴“n角星”的n个内角的和为，
故答案为：540；．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和多边形内角和，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键．
60．（22-23七年级下·吉林长春·期末）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题：
如图①，在中，平分，平分，请你判断和间的数量关系并说明理由．
刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程．
解：结论： _________．
理由：∵平分，平分，
∴．
∴
_________．
【模型发展】如图②，点P是的外角平分线与的交点，请你判断和间的数量关系并说明理由．
【解决问题】如图③，在中，平分，平分，点Q是的外角平分线与的交点．若，则______度．

【答案】探索发现，；模型发展：，理由见解析；解决问题：28
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：
探索发现：根据角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理进行求解即可；
模型发展：由角平分线的定义得到，由平角的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则，进而得到；
解决问题：根据前面的结论进行求解即可．
【详解】解：探索发现：结论：．
理由：∵平分，平分，
∴．
∴
．
故答案为：；；
模型发展：，理由如下：
∵点P是的内角平分线与的交点，
∴，
∵，
∴，
∴；
解决问题：∵点Q是的外角平分线与的交点，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
由模型法则知：，
∴
故答案为：．
61．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，点，分别在，上．
(1)如图1，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则__________°，__________°；
(2)如图2，点是线段延长线上一点，过点作，垂足为点，与的平分线交于点，求与的数量关系；
(3)如图3，若点在内部（点不在线段上），，连接与，与的平分线交于点，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）利用三角形内角和定理及角平分线的定义求解；
（2）连接并延长于点P，根据是的外角，可得，由角平分线的定义可得，
，再根据是的外角，是的外角，依据三角形外角的定义和性质即可求解；
（3）分点G在内与点G在外两种情况，利用四边形内角和定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，分别求解即可．
【详解】（1）解：，，，
；
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
故答案为：，；
（2）解：如图，连接并延长于点P，
，
，
是的外角，
，
，
与的平分线交于点，
，
，
是的外角，是的外角，
，，
，
；
（3）解：分两种情况，
点G在外时，如图，连接，
在四边形中，，，，
，
，，
，
与的平分线交于点，
，
，
在中，，
，
；
点G在内时，如图，连接，
由知，，
在中，，
，
，
，，
，
与的平分线交于点，
，
，
在四边形中，，
，
综上可知，的度数为或．
【点睛】本题考查四边形内角和定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等，综合应用上述知识点，注意分情况讨论是解题的关键．
题型13 与三角形有关的新定义问题
62．（24-25八年级下·山东青岛·期中）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，，
∴
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，，则
______；
(2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______；
(3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______．
(4)在中，，，是边上的高．
求：①与的面积之比；
②若，求和的具体值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)①；②，
【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；
（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
（4）①设，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，然后根据“等高三角形”的面积关系可得结论；
②根据①中面积关系求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作于E，
则，，
∴；
（2）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
（4）解：如图，设，
∵在中，，，是边上的高，
∴，，
∴，
∴，则，
∵与是等高三角形，
∴；
②∵，，
∴，
．
63．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”
【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）．
（2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线．
【应用拓展】
（3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________．
【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或．
【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论；
（2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论；
（3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴和是均等三角形.
（2）在中，，则，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，，，
∴与为均等三角形，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∴为的“均等分割线”．
（3）①∵是等腰三角形，，
当时，，
∵是的均等分割线，
∴，
此时，，满足条件；
②当时，，
∴，
∵是的等角分割线，
∴，
则，
③当时，，
则
那么（舍去），
故的度数为或．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键．
64．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”．
例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”．
(1)已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________；
(2)如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点．
①若，且和互为“创新角”，则___________；
②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数；
③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________．
【答案】(1)
(2)①；②或；③，或．
【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理以及直角三角形的两锐角互余等，注意分情况讨论，是解题的关键．
（1）根据创新角的定义，再结合补角的定义即可解答；
（2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“创新角”的概念，列方程即可解答；
②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和直角三角形两锐角互余，用表示和，列方程，即可解答．
③考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，求得，即可解答．
【详解】（1）解：∵和互为“创新角”，且，若和互补，
，
；
故答案为：；
（2）解：①设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，和互为“创新角”，
，
可得，
解得，
；
②设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，
∵与互为“创新角”，
∴或，
∴或，
解得或；
③设，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴
∴，
∵和互为“创新角”
∴或，
∴或，
∴，或；
综上所述，的度数为或．
. 题型14 与三角形有关的材料阅读问题
65．（24-25八年级上·河北邢台·期末）阅读下面的内容．
请利用嘉嘉、淇淇的思路分别进行说明．
【答案】，见解析
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则．
“嘉嘉”的思路中利用完全平方公式求解即可；“淇淇”的思路，根据勾股定理的逆定理进行判断得出以、，为三边构造的为直角三角形，最后根据三角形三边关系进行判断即可．
【详解】解：“嘉嘉”的思路：
∵,，
∴，
∴，
“淇淇”的思路：
∵，
∴以、，为三边构造的为直角三角形，
∴．
66．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h，
(1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ．
(2)深入探究
如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）
(3)理解与应用
如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键．（1）替代，中的即可；（2）连接，利用计算即可；（2）连接，利用计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
连接，
则，
∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
连接，
则，
∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
67．（24-25八年级上·山西大同·期中）【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图①，在中，，平分，于点，猜想与，之间的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值：
上表中________，于是得到与，之间的数量关系为_______________．
【变式应用】
（2）小明继续研究，在图②中，，，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，求的度数，并直接写出与，之间的数量关系．
【思维发散】
（3）小明突发奇想，交换，两个字母的位置，在图③中，若把（2）中的“是线段上一点”改为“是的延长线上一点”，其余条件不变，当，时，的度数为________．
【答案】（1），；（2），；（3）
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）求出和的大小即可得出的值，再通过找规律的形式得出三者的关系；
（2）分别用和表示出和，即可得出答案；
（3）分别用和表示出和，即可得解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
于是得到与，之间的数量关系为；
（2）如图，过点作于点．
，，
．
．
，，
，．
平分，
．
，
，．
（3）如图，过点作于点．
，，
．
．
由（2）同理可得，
．
，，
．
68．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________；
探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________；
探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________．
【模型应用】
应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示
拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________．
【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二：
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】探索一：如图1，，，
，
故答案为；
探索二：如图2，、分别平分、，
，，
由（1）可得：，，
，
即，
，，
，
故答案为；
探索三：由①，
由②，
①②得：
．
．
故答案为：．
应用一：如图4，由题意知延长、，交于点，
，，，
，，
；
、分别平分、，
，，
，
，
故答案为：，；
应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，
，，，
，
平分，平分，
平分，平分，
由应用一得：，
故答案为：；
拓展一：如图6，由探索一可得：
，，
，，，，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；
拓展二：如图7，
平分，平分的邻补角，
，，
由探索一得：①，②，
②得：③，
③①，得：，
，
故答案为：．
1）对于三角形的相关概念，切记死记硬背，要理解概念的本质属性，复杂的图形应重视图形的分解与组合.
2）在复杂图形中寻找三角形的方法是先以一个顶点为基础，然后改变另外两个顶点依次组成三角形，将含有这个顶点的所有三角形确定完全后，再以其他的顶点为基础，依次找到所有的三角形，要注意去掉重复计数的三角形.有些数三角形的问题可以转化为数线段的问题.
1）一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定：
【小结】三角形的高，一定记住垂足不一定落在三角形的边上，有能落在边的延长线上.
2）一个三角形有三条中线，它们都是线段，都在三角形的内部.
三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.即已知三角形的两边长为a，b，则第三边满足|a-b|＜x＜|a+b|，这种表述方式在解决已知两边求第三边的取值范围问题时有重要作用.
a
3
4
1
2
3
b
5
4
6
5
4
c
5
5
6
6
6
等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
【易错点】边所求结果需满足三角形三边关系.
1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系.
2）中线性质： ①中点将边平分；②中线将面积平分；
③三边中线交点为重心，切记重心的性质.
等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那么这两个表示的面积是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情况下:一种是利用面积公式表示三角形面积，另一种是利用割补法表示三角形的面积.
①三角形的高→90°的角；
②三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形(等底同高)；三角形的中线延长1倍，容易构造平行四边形(倍长中线模型).
③三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角.
1）三角形的内角和为180°；
2）直角三角形中两锐角和为90°；
3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
比较与的大小
“嘉嘉”的思路：
将，两个式子分别平方后，再进行比较．
“淇淇”的思路：
以、，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较．
/度
/度
/度