人教版（2024）八年级上册（2024）13.2 与三角形有关的线段综合训练题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）13.2 与三角形有关的线段综合训练题，文件包含培优04求角的思想方法与三角形有关的情景创新题2种题型8重难点突破专项训练原卷版八年级数学上册同步培优备课系列人教版20242025-2026docx、培优04求角的思想方法与三角形有关的情景创新题2种题型8重难点突破专项训练解析版八年级数学上册同步培优备课系列人教版20242025-2026docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。

题型1 求角的思想方法
重难点一 方程思想
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，设，由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，即得，即得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（24-25八年级下·全国·假期作业）等腰三角形的底角比顶角大，求各个角的度数．
【答案】，，
【分析】本题考查等腰三角形的性质。涉及等腰三角形角的度数计算，常借助三角形内角和定理，设未知数建立方程求解．利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理，通过设未知数建立方程求解．
【详解】解：设顶角为x，则底角为．
根据三角形内角和为，可得
，
解得，
∴底角为．
∴三个角分别是，，．
3．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上．
(1)求证：；
(2)连接．若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据得出,根据，问题得证；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：，
，即，
；
（2），
，
，
，
平分，
，
设，则
在中，根据三角形内角和定理，得
，
4．（24-25八年级上·广东广州·期中）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．
(1)在图1中，若，，，求；
(2)在图2中，若，
①求证：．
②若，求的度数．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据折叠的性质可求出，即可求解；
（2）根据折叠的性质可得出，，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，则，最后根据等角对等边即可得证；
②设，则，，，根据等边对等角得出．根据折叠的性质可得出，则，根据三角形外角的性质得出，在中根据三角形内角和定理可求出，则，， 最后在中根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：由折叠性质得：，
∴，
（2）①证明：沿折叠得到，
，
．，
，
，
；
②设，则，，
，
．
折叠，

∴．
，
在中，，
解得
，，
∴．
重难点二 整体思想
5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，和的角平分线和交于点．
(1)【问题呈现】如图①，若，求的度数；
(2)【问题推广】如图②，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 °；
(3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，若，，射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)与之间的数量关系是：或．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解；
（2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解；
（3）依题意分两种情况，分别求解即可得解．
【详解】（1）解：在中，
∵，的角平分线，交于点F，
∴，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴；
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
由折叠性质得：，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴；
故答案为：．
（3）解：∵，分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点，
∴有以下两种情况：
①射线与的平分线相交于点，设射线交于，如图1所示：
由（1）得：，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示：
同理：，
在中，，
∴．
综上所述：与之间的数量关系是：或．
6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明：
（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】
①如图2，已知，求的度数；
【拓展延伸】
②如图3，已知，求的度数．
【答案】（1），证明见解析；（2）①；②．
【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题．
（1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可；
（2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解；
（3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解．
【详解】解：（1）．
证明：如图，连接，并延长至点，
∵，，
∵
∴
∴；
（2）①如图，连接，
由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如图，在直线上取一点，连接，
由①可知，
∵
∴
∵
∴
∴
∴．
7．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，在中，是角平分线，是上的点，相交于点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
（1）先根据得出，，再由平分即可得出结论；
（2）根据三角形外角的性质可得出，，故，再由，即可求出，可得出结论．
【详解】（1）解：，
，，
．
平分，
，
，，
；
（2）由（1）知，，，
．
，，
．
重难点三 转化思想
8．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，求图中的度数之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，多边形内角和．熟练掌握三角形外角的性质，多边形内角和是解题的关键．
如图，由题意知，①，②，③，得， ，整理求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，①，
②，
③，
得， ，
∴，
故答案为：．
9．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图所示，求的度数是 ．

【答案】/540度
【分析】本题考查了多边形内角与外角，根据三角形的内角和定理把求角的和的问题转化为求多边形的内角和的问题．连接，则，则图中所求的几个角的和是五边形的内角和．
【详解】解：连接．

在与中，，
，
在五边形中
．
故答案为：．
10（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ．
【答案】/360度
【分析】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于转化为是解题的关键．根据三角形的外角性质可得，，，，再根据多边形的外角和定理即可求解．
【详解】解：由图形可知：，，，，
，
．
故答案为：．
11．（2023·陕西西安·模拟预测）如图把图（a）称为二环三角形，它的内角和 度；把图（b）称为二环四边形，它的内角和 度；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为 度．（用含n的式子表示）

【答案】 360 720
【分析】连接，可得，再根据四边形的内角和公式即可求解；之间添加两条边，可得，再根据边形的内角和公式即可求解；二环边形添加条边，再根据边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：连接，则，
；
如图，之间添加两条边，可得，
则；
二环边形添加条边，二环边形的内角和成为边形的内角和．其内角和为，

故答案为：360；720；．
【点睛】本考查了多边形内角和定理：（且为整数，熟记多边形内角和定理是解题的关键．
12．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论．
(1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数；
(2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）．
(3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键．
（1）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可；
（2）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解；
（3）构造三角形，利用（2）中的结论可得结论．
【详解】（1）解：（1）由“8字型”可知，，
；
（2）如图3：连接，
由（1）得：，
，
，
即五角星的五个内角之和为．
（3）如图4，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点，
由（3）得，
，
，
，
同理可得，，
，
，
，
．
重难点四 分类讨论问题
13．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】分情况讨论：
如图，，，
∵，，
∴，
∴，即顶角为，
如图，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即顶角为，
如图，
同理可得，
∴，即顶角为，
综上可知：顶角度数为或或．
14．（24-25七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是
【答案】或
【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的高的含义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可．
【详解】解：如图所示，当高在内部时，

∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，，
∴．
如图所示，当高在外部时，

∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
综上所述，或．
故答案为：或．
15．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[分类讨论]如图，BD为的角平分线，若，，E为线段上一点，当为直角三角形时，求的度数．

【答案】或
【分析】利用分类讨论思想：如图1，时可直接求出；如图2，当时，则．
【详解】解：，BD为的角平分线，
，
当时，如图1，
；
当时，如图2，
，
．
【点睛】本题考查的是角平分线定义及三角形内角和定理，理解角平分线定义和掌握三角形内角和定理是解题关键．
重难点五 特殊到一般
16．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究
【感知】如图①，在中，分别是和的角平分线．
【应用】
（1）若，则________；（直接写出答案）若，则________；（直接写出答案）
（2）写出与之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系．
【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）或
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解；
（3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解．
【详解】解：（1）∵分别是和的平分线，，，
∴，
∴．
∵分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（2）；理由如下：
∵分别是和的平分线，
∴，，
∴
；
（3）．
如图，延长，交于点E，由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
即．
17．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，的平分线相交于点O．
(1)若，，求的度数；
(2)若，直接写出______；
(3)若，，请猜想和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理与角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）利用角平分线的定义求出和，再利用三角形内角和定理求解；
（2）根据推出，根据角平分线的定义得出，，最后利用三角形内角和定理求解；
（3）当时，，同（2）可得．
【详解】（1）解：∵的平分线相交于点O，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
由角平分线的定义得，，
∴

；
（3）解：猜想：，理由如下：
同（2）可得当时，，，，
∴

，
即．
18．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，，点在、内部，，则__________；
(2)如图2，，点在、外部（的下方），则、、之间的数量关系为___________．
(3)如图3，直接写出、、、之间的数量关系为__________，并证明．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可．
（2）利用平行线的性质，三角形外角性质解答即可．
（3）连接，并延长到点N，利用三角形外角性质，角的和差解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，角的和，三角形外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：95．
（2）解： ．理由如下：
如图2，∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（3）解：；
理由：连接，并延长到点N，
∵，，
，，
∴．
故答案为：．
19．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1，在中，平分．
(1)若为线段上的一个点，过点作交线段的延长线于点．
①若，，则 ；
②猜想与、之间的数量关系，并给出证明．
(2)如图2，若在线段的延长线上，过点作交直线于点，请直接写出与、的数量关系．
【答案】(1)①②，证明见解析
(2)
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角：
（1）①三角形的内角和求出的度数，平分线求出的度数，外角求出的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出的度数即可；②仿照①法，进行求解即可；
（2）利用三角形的内角和定理，角平分线的性质，和三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，证明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
20．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，如图1，中，平分，平分，与交于点M．
(1)当时．
①求的度数；
②若于N，求图中的值；
(2)若，，求（用含x，y的代数式表示）．
【答案】(1)①②
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，列代数式，关键是由角平分线定义、三角形内角和定理推出，由三角形的外角性质推出，
（1）由角平分线定义得到，由三角形内角和定理推出，即可求出，②由三角形内角和定理求出，得到，得到；
（2）由三角形的外角性质推出，而ニ，即可得到．
【详解】（1）解：平分平分，
，
，
，
，
，
，
于，
，
，由知，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
．
题型2 与三角形有关的情景创新题
重难点一 新定义问题
21．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)在中，，则___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若是“近直角三角形”，，，则___________；
(3)如图②，在中，，在的延长线上是否存在点，使得是“近直角三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是
(2)
(3)存在，的长为3
【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，正确的理解“近直角三角形”是解题的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据“近直角三角形”即可作判断；
（2）根据“近直角三角形”的定义列等式即可解答；
（3）根据是“近直角三角形”，由新定义可得两种情况：或，即可求解．
【详解】（1）解： ，，
，
，
三角形是“近直角三角形”；
故答案为：是；
（2）解：，
不可能是或，
当时，，，不成立；
当时，，，则，
；
故答案为：；
（3）解：存在，
如图，
，，，
，，，
是“近直角三角形”，
或，
①当时，，
，
，
，
；
②当时，，
，
，
，
；
综上，．
22．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”
【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）．
（2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线．
【应用拓展】
（3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________．
【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或．
【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论；
（2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论；
（3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴和是均等三角形.
（2）在中，，则，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，，，
∴与为均等三角形，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∴为的“均等分割线”．
（3）①∵是等腰三角形，，
当时，，
∵是的均等分割线，
∴，
此时，，满足条件；
②当时，，
∴，
∵是的等角分割线，
∴，
则，
③当时，，
则
那么（舍去），
故的度数为或．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键．
23．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线．
(1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数；
(2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数．
【答案】(1)图见解析（答案不唯一）
(2)或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
（1）根据等腰三角形的定义、三角形的三分线的定义画出图形即可得；
（2）先根据等腰三角形的性质可得，，，再设，根据三角形的内角和定理、三角形的外角性质可得，，，则，然后分两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：画图如下：（答案不唯一）
（2）解：∵，，
∴是等腰三角形，，，
∵，
∴是等腰三角形，，
又∵线段，是的三分线，
∴是等腰三角形，
设，
∴，
，
，
∴，
则分以下两种情况：
①当时，是等腰三角形，
则，即，解得；
②当时，是等腰三角形，
则，即，解得；
综上，的度数为或．
24．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”．
例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”．
(1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______；
(2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点．
①若，且和互为“幸福角”，则________；
②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数．
【答案】(1)
(2)① ；②或
【分析】（1）根据题意得①，②，加减消元法求解即可；
（2）①设，求得，根据三角形内角和定理求得，根据和互为“幸福角”，再列式计算即可求解；
②设，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得，，，再根据与互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵和互为“幸福角”，且，
∴①，
∵和互补，
∴②，
得，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①设，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵和互为“幸福角”，且，
∴，即，
∴，
解得；
②设，同理，，
则，
∵，，
∴，
，
∵与互为“幸福角”，
分两种情况，
当，
∴，
解得，
∴；
当，
∴，
解得，
∴；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，一元一次方程的应用．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
重难点二 阅读理解问题
25．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”．例如：某三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“倍角三角形”．反之，若某三角形是“倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
(1)在中，，判断是否是“倍角三角形”，并说明理由；
(2)若某“倍角三角形”有一个角为，求这个“倍角三角形”的最小内角的度数；
(3)如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，且．若是“倍角三角形”，直接写出的度数．
【答案】(1)是“倍角三角形”，理由见解析
(2)
(3)的度数为或
【分析】本题是三角形综合题，主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定及性质，弄清定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
（1）分别求出的三个内角，再由定义进行判断即可；
（2）设最小内角为，另一个内角为，分两种情况讨论：当时，（不符合题意，舍去）；当时，；
（3）证明，再分两种情况讨论：当时，；当时，．
【详解】（1）解：是“倍角三角形”，
理由如下：
在中，，
∴，
∴，即，
∴是“倍角三角形”；
（2）解：设最小内角为，另一个内角为，
当时，，
∴（不符合题意，舍去）；
当时，则，
解得；
综上所述：最小内角为的度数为；
（3）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是“倍角三角形”，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述：的度数为或．
26．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”：
(1)在中，，，是中线，则_______（填“是”或“不是”）的两分线；
(2)如图，在中，，平分，．求证：是的两分线；
(3)图中①、②均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的两分线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数；
(4)已知是可两分三角形，且，为钝角，请直接写出所有可能的度数．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)见解析
(4)符合条件的的度数为或或．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质．
（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质作图求出各角度即可证明；
（3）根据“两分线”的定义画出图形即可；
（4）根据题意分情况讨论作图即可求解．
【详解】（1）解：∵中，，，是中线，
∴，
∴与都是等腰三角形，
∴是的两分线；
故答案为：是；
（2）证明：∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴与都是等腰三角形，
∴是的两分线；
（3）解：“两分线”如图所示，
（4）解：如图中，当是“两分线”时，如果，
则；
如果，，
则；
如果，，
则（不合题意舍去）；

如图中，当是“两分线”时，，，则，
符合条件的的度数为或或．
27．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务．
数学课上，在复习《三角形》这一章时，老师提出如下问题：如图1，在中，平分于点．猜想的数量关系，并说明理由．
“勤奋小组”没有发现数量关系，也没有解题思路，根据自己探究套路，尝试代入具体的数值求的值，对应值如下：
“智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，很快发现的数量关系，并给出证明．
“创新小组”受到他们的启发，提出如下问题：如图2，在图1的基础上，在的延长线上取一点，过点作于点，其它条件不变．当，时，求度数．
任务一：表格中_______．
任务二：完成老师提出的问题．
任务三：如图2，创新小组提出的问题中，_______．
【答案】任务一：；任务二：，见解析；任务三：
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题，掌握相关结论即可.
任务一：求出，根据平分，求出；根据求出，即可求解；；任务二：参考任务一的求解过程即可；见解析；任务三：求出，根据平分，求出；根据 即可求解；
【详解】解：任务一：∵，
∴；
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
任务二：，理由如下：
∵平分，
∴；
又；
∴；
∵，
∴，
∴，
任务三：∵，
∴；
∵平分，
∴；
∵，
∴，又，
∴，
故答案为：
28．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________；
探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________；
探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________．
【模型应用】
应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示
拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________．
【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二：
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】探索一：如图1，，，
，
故答案为；
探索二：如图2，、分别平分、，
，，
由（1）可得：，，
，
即，
，，
，
故答案为；
探索三：由①，
由②，
①②得：
．
．
故答案为：．
应用一：如图4，由题意知延长、，交于点，
，，，
，，
；
、分别平分、，
，，
，
，
故答案为：，；
应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，
，，，
，
平分，平分，
平分，平分，
由应用一得：，
故答案为：；
拓展一：如图6，由探索一可得：
，，
，，，，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；
拓展二：如图7，
平分，平分的邻补角，
，，
由探索一得：①，②，
②得：③，
③①，得：，
，
故答案为：．
重难点三 综合实践与探究
29．（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）已知，D为所在平面上一点，平分，平分．
(1)若D点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？直接写出结论，无需证明．
(2)若D点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
(3)若D点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
(4)若D点是内一点，如图4所示，判断之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明）
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
(4)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理进行计算即可得出答案；
（2）由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，，即可得出，从而得出答案；
（3）由角平分线的定义可得：，，再由，即可得出答案．
（4）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：结论：，
证明：平分，平分，
，，
，
；
（2）解：结论：，
证明：平分，
，
是的外角，是的外角，
，，
，
；
（3）解：结论：，
证明：平分，平分，
，，
，，
．
（4）解：∵，
∴，
∵，
∴
，
∵平分，平分，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
30．（24-25八年级上·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：
如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则．
∵（想一想为什么写出理由），
∴．
（1）如图2，在中，如果，能否证明?
同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；
（2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数．
【答案】见解析；（1）见解析；（2）
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角．
（1）先由折叠得出，再利用三边关系，即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，进而求出，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴；
（1）证明：由折叠知，，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：由折叠知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
31．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由．
（2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由．
（3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由．
（4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由．
【答案】（2），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4）
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．
（1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答；
（2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答；
（3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答；
（4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答．
【详解】解：（1），理由如下：
∵在中，，
∴，
∵是∠ABC的平分线，
∴，
同理可得：
∴，
∵在中，，
∴；
（2），理由如下：
∵是的角平分线，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（3），理由如下：
∵分别平分，
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（4），理由如下：
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
32．（24-25九年级上·山西忻州·期中）如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．

(1)线段，的关系是_____；
(2)如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____；
(3)如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；
(4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不会发生变化，证明见解析；
(4)．
【分析】（1）由平移的性质可得，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”可得四边形为平行四边形，进而可得线段，的关系；
（2）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而可得，，之间的数量关系；
（3）过点作交于点，易得，由平行线的性质可得，，由得到，以此即可求解；
（4）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而得到，，之间的数量关系．
【详解】（1）解：线段是由线段平移得到的，
，，
四边形为平行四边形，
，；
故答案为：，；
（2）解：如图，设与交于点，

∵，
，
，
；
故答案为：；
（3）解：当点在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下：
如图，过点作交于点，

∵，
∴，
，，
，
；
（4）解：如图，设交于点，

∵，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、三角形外角性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键．
33．（23-24八年级上·全国·单元测试）【提出问题】如图所示，已知P是的平分线的交点，你能找到与的关系吗？
【分析问题】在解决这个问题时，小明是这样做的：先找一个例子，如，计算出，随后又举了几个例子，并对结论进行了证明，从而找到与的关系：．
在解决问题的过程中，小明运用了“由特例得到猜想，证明得出一般结论”的方法，请你用这种方法解决下面的问题．
【解决问题】
(1)若P是的三等分线的交点，即，则与的关系为 ，请证明你的结论；
(2)若P是的四等分线的交点，即，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）；
(3)若P是的n等分线的交点，即，，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义．
（1）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可；
（2）同（1）可得出结论；
（3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可．
【详解】（1）解：猜测：；
由示例得，
、分别是、的三等分线，，
，
，
故答案为：．
（2）解：由示例得，
、分别是、的四等分线，，
，
，
故答案为：．
（3）解：，、分别是、的等分线，，，
，
．
∴．
故答案为：．
34．（24-25七年级下·全国·期末）探究与发现：
(1)探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图①，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系；
(2)探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图②，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系；
(3)探究三：若将改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图③，在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理；
探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：延长、交于点，根据前面两问的结论可得，，即可得到．
．
【详解】（1）解：，，
．
（2）解：、分别平分和，
，，
．
（3）解：延长、交于点，
由探究一结论可得，
由探究二结论可得，
∴．
35．（2024八年级上·全国·专题练习）已知与的平分线交于点．
①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由；
③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？
【答案】，理由见解析
，理由见解析
（理由见解析）
【分析】延长交于，设与交于点，由三角形外角的性质可得，，进而可得，再根据角平分线的定义可得，，由三角形的内角和定理可得，据此即可得出结论；
根据，是与的平分线，可设，，由可知，即，则，根据四边形的内角和等于可得，即，将代入整理即可得出结论；
延长交于，根据，是与的平分线，可设，，在中，利用三角形的内角和定理可得，由可知，即，由邻补角互补可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，将代入整理即可得出结论．
【详解】解：，与之间的数量关系是：，理由如下：
如图，延长交于，设与交于点，
是的外角，
，
是的外角，
，
，
是的平分线，
，
是的平分线，
，
，，
又，
，
即：，
整理，得：，
，与之间的数量关系是：；
，与之间的数量关系是：，理由如下：
，为与的平分线，
可设，，
由可知：，
即：，
，
根据四边形的内角和等于，得：，
即：，
将代入上式，得：，
，
，与之间的数量关系是：；
，与之间的数量关系是：，理由如下：
如图，延长交于，
，是与的平分线，
可设，，
在中，，
即：，
，
由可知：，
即：，
由邻补角互补可得：，
是的一个外角，
，
，
将代入上式，得：，
即：，
答：，与之间的数量关系是：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的有关计算，三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，等式的性质，利用邻补角互补求角度等知识点，准确识图，理解角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理及三角形外角的性质进行计算是解题的关键．
36．（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学课上，刘老师列举了下面两个例题：
例1：在等腰中，，求的度数．（只有一个：）
例2：在等腰中，，求的度数．（共有三个：、或）
刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下题目：
(1)变式1：已知在等腰中，，求的度数；
(2)变式2：已知在等腰中，，求的度数；
(3)探索：在解（1）（2）后，小明发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰中，的度数取哪些值时，的度数是唯一的？已知：在等腰中，，当的度数唯一时，求的取值范围．请你帮助小明完成此题．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理并运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）由已知条件可推断为顶角，再利用三角形的内角和定理即可求出的度数；
（2）分三种情况讨论：当为顶角时；当为底角，为顶角时；当为底角，为底角时；利用三角形的内角和定理分别求解即可；
（3）分两种情况讨论：当时；当时，当时；分别作答即可．
【详解】（1）解：，
只能为的顶角，
是等腰三角形，
；
（2）解：分三种情况讨论：
当为顶角时，
则为底角，
；
当为底角，为顶角时，
；
当为底角，为底角时，
；
综上所述，或或；
（3）解：分两种情况讨论：
当时，
此时只能为顶角，为底角且度数唯一；
当时，时，此时为等边三角形，且度数唯一；
综上，当的度数唯一时，的取值范围为或．
1）方程思想：当问题中角度关系较为复杂时，可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构造方程实现未知向已知的转化.
2）整体思想：当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，则可以将其视为一个整体，运用整体思想求值.
3）转化思想：转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决.
4）分类讨论：当图形的形状或位置不明确,可能出现不同情况时,则需要根据可能出现的情况分类讨论求解.
5）特殊到一般.
6）参数思想. 当图形中涉及到的角较多,关系复杂,但某些角之间存在确定数量关系时,为方便起见,可用参数表示相关联的角,设而不求,使运算和表达变得简单明了.