北京市东城区北京市第一七一中学九年级上学期第四次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市东城区北京市第一七一中学九年级上学期第四次月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180度，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方即可．
【详解】解：，
移项得：
方程两边同时加上4得：，
配方得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是进行配方时，方程两边需要加上一次项系数一半的平方．
3. 不透明的袋子中装有2个红球和3个白球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式求值即可．
【详解】解：由于不透明的袋子中装有2个红球和3个白球，共个球，
从中随机摸出一个小球，摸到红球的概率是．
故选C．
4. ，是函数图象上两点，且，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. ，大小不确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题目中的函数解析式可以判断函数图象在第几象限，即可求出答案．
【详解】解：反比例函数，
函数图象在第一象限，随得增大而减小，
，
，
故选C．
5. 如图，在中，是弧的中点，点是上一点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，以及等弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据题意得到，故，即可得到答案．
【详解】解：是弧的中点，
，
等弧所对的圆周角相等，
．
故选C．
6. 已知二次函数，下列关于函数值的说法正确的是（ ）
A. 最大值4B. 最小值4C. 最大值3D. 最小值3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．判断出二次函数开口向上，有最小值，在对称轴处取最小值．
【详解】解：由题意得开口向上，有最小值，
当时，取最小值，
故选D．
7. 如图，，相交于点，且．如果，，那么的值是（ ）

A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，然后利用相似比求出答案即可．
【详解】解：，
，
，
即，
．
故选B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个矩形，小球P从点出发沿直线向点B运动，到达点B时被第一次反弹．每当小球P沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用100除以6，根据商的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴当小球P第次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为．
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标的变化规律，找到小球位置变化规律是解题的关键．
二、填空题
9. 二次函数的图象与轴的交点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】令，求得的值即可.
【详解】令，得，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点，正确计算是解答此题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直接作答即可．
【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点O中心对称的点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据题意得出即可求出答案．
【详解】解：由于关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
12. 如图，的半径为，是的内接三角形，半径于，当时，的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，半径于，根据等腰三角形的“三线合一”，即可求解．
【详解】解：的半径为，
∴，
∵是的内接三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，，
∵半径于，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，等腰直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的综合运用解题的关键．
13. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线表达式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可．
【详解】解：向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握函数的平移规律是解本题的关键．
14. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意知，得出，根据求出的值．
【详解】解：由题意知
和中



解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．
15. 在中，，，，的值为______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据值等于对边比斜边进行求解即可．
【详解】解：在中，，
，
故答案为：．
16. 某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为______；
②该小组人数的最小值为______．
【答案】 ①. 6 ②. 12
【解析】
【分析】①设男生有x人，女生有y人，且x＞y，根据题意列出不等式组，即可求解；
②男生有m人，女生有n人，教师有t人，根据题意列出不等式组，即可求解．
【详解】解：①设男生有x人，女生有y人，且x＞y，根据题意得：
，，
解得：，
∵x、y均为整数，且x＞y，
∴x=6或7，y=5或6；
∴女学生人数的最大值为6
故答案为：6
②设男生有m人，女生有n人，教师有t人，根据题意得：
，
解得：，
∵m，n，t均为整数，且m＞n，
∴，
∴，即t＞2，
∴t的最小值为3，
当t=3时，n=4，m=5，
∴m+n+t=5+4+3=12．
故答案为：12
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】利用零指数幂意义，特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，绝对值的意义求解即可．
详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，绝对值的意义是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】方程移项，利用完全平方公式配方得到结果，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握完全平方公式是解本题的关键．
19. 下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接，；
②分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点O；
③以点O为圆心，长为半径作圆；
④以点A为圆心，长为半径作弧，与在l上方交于点Q；
⑤作直线，所以直线就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，
∵点A，B，P，Q都在上，，
∴___________，
∴，（___________）（填推理的依据）
∴．
【答案】（1）作图见解析；
（2），在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案．
【小问1详解】
（1）如图，直线就是所求作的直线，
【小问2详解】
证明：连接，
∵点A，B，C，D在上，，
∴，
∴（在同圆中，等弧所对的圆周角相等），
∴．
故答案为：，在同圆中，等弧所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，平行线的作图，圆周角定理的应用以及平行线的判定，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，即可求解．
【小问1详解】
证：由题意可得，
判别式，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：设，为一元二次方程的两个实数根，
由该方程恰有一个实数根为非负数可得，即，解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
21. 在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于反比例函数（）的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键．
（1）把点代入函数解析式，即可得到答案；
（2）把点代入函数，求出的值，利用图像即可求出的取值范围．
【小问1详解】
解：由于反比例函数（）的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为：．
【小问2详解】
解：把点代入函数，
得
故一次函数的解析式为
根据图像可知，时，时，对于的每一个值，函数的值大于反比例函数（）的值．
22. 如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接，．
（1）依题意补全图形；
（2）若，线段的长为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出，然后连接，即可得；
（2）根据角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由旋转的性质可得是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：根据线段旋转方法，，如图所示即为所求；
【小问2详解】
解：，，，
，
，
线段绕点逆时针旋转60°得到线段，
且，
是等边三角形，
，，
，
在中，
．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．
23. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为.若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．
（1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
（2）当为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的值．
【答案】（1）见详解；（2）m=-1
【解析】
【分析】（1）先画出树状图，再利用概率公式计算，即可求解；
（2）取一个符合条件的m的值，即可．
【详解】解：（1）画树状图如下：
∵一共有6种可能的结果，，有2种可能，，有3种可能，
∴小明获胜的概率=2÷6=，小刚获胜的概率=3÷6=；
（2）当m=-1时，画树状图如下：
此时，小明和小刚获胜的概率相同．
【点睛】本题主要考查等可能时间的概率，掌握画树状图是解题的关键．
24. 某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，弹珠从箱外投入箱子，弹珠的飞行轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（正方形为箱子正面示意图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行）．某同学将弹珠从点处抛出，弹珠的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．
下面是弹珠的水平距离与竖直高度的几组数据：
（1）弹珠竖直高度的最大值为______；
（2）求出满足的函数关系（）；
（3）若点的坐标为，，则该同学抛出的弹珠______投入箱子．（填“能”或“不能”）．
【答案】（1）
（2）
（3）能
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，读懂题意，求出二次函数的关系式是解题的关键．
（1）观察表格可得弹珠竖直高度的最大值；
（2）用待定系数法求出答案即可；
（3）令得，得到弹珠落在的右侧，令，得或（舍去），又，故可以投入箱子．
【小问1详解】
解：观察表格可知，当时，取最大值，
弹珠竖直高度最大值为；
【小问2详解】
解：由（1）可得函数表达式为，
把代入，
得，
解得，
；
【小问3详解】
解：在中，令得，
，
弹珠落在的右侧，
在中，
令，得，
解得或（舍去），
，
弹珠能弹进箱子．
25. 如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据证出是的平分线，再利用平行证出即可．
（2）利用三角函数求出和，再用计算即可．
【小问1详解】
连接、.
，，，
.
，
，
.
.
，
，
为的半径，
是的切线；
【小问2详解】
连接.
，
.
，
，
为等边三角形，
.
，
，
【点睛】本题考查了切线的判定、平行的性质、角平分线的判定、三角函数的应用等知识点，计算的准确性是解题关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出的取值范围；
（2）已知点，在此抛物线上，其中，若，且，比较，的大小，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及与方程及不等式的关系．
（1）①将代入解析式求解即可；
②将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解；
（2）由，抛物线经过可得得取值范围，从而得到抛物线对称轴，由可得点到对称轴的距离，即可求解．
【小问1详解】
①解：将代入，
得，
解得，
；
②解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
时，；
【小问2详解】
解：将代入，得，
，
，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
，
，
到抛物线对称轴的距离小于到抛物线对称轴的距离，
．
27. 已知正方形，将线段绕点旋转（），得到线段，连接，．
（1）如图1，当点在正方形的内部时，若平分，，则______°，四边形的面积为______；
（2）当点在正方形的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求的度数；
②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；
（2）①见解析，；②
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得出，证明，由全等的性质得出，可求出，过点作于点，求出的面积即可得到答案；
（2）①由题意画出图形，由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案；
②过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论．
【小问1详解】
解：将线段绕点旋转，得到线段，
，
，
正方形，
，
平分，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，
四边形的面积；
【小问2详解】
①解：将线段绕点旋转，得到线段，
，
，
，
，
；
②解：．
过点作交的延长线于点，
平分，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，找到正确的全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点M，N，且，则称线段是的“倍弦线”．
（1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段，，，中，的“倍弦线”是_____________；
（2）的“倍弦线”与直线交于点E，求点E纵坐标的取值范围；
（3）若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出b的取值范围．
【答案】（1），；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）依次连接线段，，，，通过“倍弦线”定义判断即可；
（2）通过M、N均在圆上，可以求得MN的取值范围，进而可以求出PQ的取值范围，结合图形，就可以求出点E纵坐标的取值范围；
（3）先画出P、Q两点的运动轨迹，分别求出直线与两个圆相切时对应的P、S坐标，进而就可以去就出b的取值范围．
【小问1详解】
解：如图，连接AB分别交于点E、F，连接AD分别交于点G、H，连接CD分别交于点K、F，连接CB，
∵CB与没有交点，故CB不符合题意；
观察图像，，故AD不符合题意；
，∴线段AB是的“倍弦线”；
，∴线段CD是的“倍弦线”，
故的“倍弦线”是，；
【小问2详解】
由题意，可得，
∵M、N在圆上，
∴，
∴，
如图，当且点P在直线上时，
∵，
，
∴，
结合图形，点E的纵坐标取值范围为；
【小问3详解】
由题意可得，P、Q的运动轨迹分别是以M为圆心，1为半径的圆和以N为圆心，2为半径的圆，如图所示，
当直线与圆N相切时，如图中的直线RP，切点为Q，
连接NQ，∵直线RP与相切，，
因为R、P在直线上，∴，
∴△QRN是等腰直角三角形，
过点Q作轴垂足为E，则，
设，则，即，解得（负值舍去），
，
则，将其代入中，解得，
∴直线RP的解析式为，
当时，解得，
故，
当直线与圆M相切时，如图中的直线SW，切点为T，
连接MT，∵直线SW与相切，，
因为S、W在直线上，∴，
∴△TWM是等腰直角三角形，
过点T作轴垂足为F，则，
设，则，即，解得（负值舍去），
，
则，将其代入中，解得，
∴直线SW的解析式为，
当时，解得，
故，
综上，b的取值范围为．
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度
2.50
4.25
5.50
6.25
6.50
6.25
5.50