河北省2025秋九年级数学上册第26章解直角三角形学情评估试卷（含解析冀教版）

这是一份河北省2025秋九年级数学上册第26章解直角三角形学情评估试卷（含解析冀教版），共9页。
第二十六章　学情评估卷 一、 选择题 (本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，则sin A＝(　　) A.eq \f(\r(7),4) B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,5) D.eq \f(3 \r(7),7) 2．下列三角函数值是有理数的是(　　) A．sin 60° B．cos 60° C．tan 60° D．sin 45° 3．如图，点A(2，t)在第一象限，OA与x轴所夹锐角为α，tan α＝2，则t的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D.eq \r(3) 4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos ∠CAB的值为(　　) A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(2 \r(5),5) D.eq \f(\r(10),10) 5．如图，在平行四边形ABCD中，若AB＝a，AD＝b，∠A＝α，则平行四边形ABCD的面积为(　　) A．ab·sin α B．ab·tan α C.eq \f(ab,tan α) D.eq \f(ab,sin α) 6．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan ∠CAB＝1∶eq \r(3)，堤高BC＝5 m，则坡面AB的长是(　　) A．5 m B．10 m C．5 eq \r(3) m D．8 m 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝eq \r(5)，点D为边AB上一点，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在边AB上的点E处．若AE＝3，则BD＝(　　) A.eq \f(\r(5),3) B．1 C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(4,3) 8．已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1＋eq \r(3)，AC＝2，则∠C＝(　　) A．45° B．75° C．90° D．105° 9．如图是我国古代数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cos α的值为(　　) A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 10．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图①所示，点A是栏杆转动的支点，点E是两段栏杆的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18 m，AE＝1.2 m，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)(　　) 二、 填空题 (本大题共3小题，每小题4分，共12分) 11.在△ABC中，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin A－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－cos B))2＝0，则∠C的度数是________． 12．如图，点E是正方形ABCD内一点，已知∠BEC＝90°，tan ∠CBE＝eq \f(1,3)，则tan ∠ABE＝________． 13．如图，准备在宽24 m的迎宾大道AB路边安装路灯，设计要求：路灯的灯臂CD长4 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，灯柱BC与大道路面AB垂直，此时O恰好为AB中点．现在由于道路两边都要装路灯，要求OB＝eq \f(1,4)AB，且灯臂CD缩短为1 m，其他的位置关系不变．则现在路灯的灯柱BC高度应该比原设计高度缩短了________m. 三、 解答题 (本大题共4小题，共48分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(10分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝3 eq \r(2). (1)求AC的长度； (2)求△ABC的面积．(结果保留根号) 15.(12分)无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P与地面上点A之间的距离为80米，从点P处观察点A处的俯角为60°，观察楼顶点C处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC.(结果保留根号) 16．(12分)如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东60°方向步行600米至快递站C取快递．下午第一节网课是美术课，小南拿到快递时距离正式上课只有7分钟了，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732) (1)求快递站C与超市B的距离．(精确到个位) (2)若小南的步行速度为80米/分，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略小南买素描画纸的时间) 17．(14分)如图①，在四边形ABCD中，∠ABE＝∠ECD＝90°，点E是BC上一点且∠AED＝90°. (1)求证：AB·CD＝BE·CE. (2)已知eq \f(BE,AB)＝eq \f(1,2). ①如图②，若点E是BC的中点，求tan ∠DAE的值； ②如图③，AD与BC的延长线交于点F，若∠BAE＝∠F，其他条件不变，求sin ∠EAF的值．  答案 1．B　2.B　3.C　4.B　5.A　6.B 7．B　8.B　9.D　10.A 11．120°　12.3　13.(6 eq \r(3)－6) 14．解：(1)过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝3 eq \r(2)，sin B＝eq \f(CD,BC)， ∴CD＝BC·sin 45°＝3 eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝3. 在Rt△ACD中，∵∠A＝30°， ∴AC＝2CD＝6. (2)由(1)知，在Rt△ACD中，AC＝6，CD＝3， ∴AD＝eq \r(62－32)＝3 eq \r(3). ∴AB＝AD＋BD＝3 eq \r(3)＋3. ∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CD＝eq \f(9 \r(3)＋9,2). 15．解：如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点C作CQ⊥PH于点Q， 易知 CB⊥AB，则四边形 CQHB是矩形，∴HQ＝BC，BH＝CQ.由题意，可得AP＝80米，AB＝70米，易得∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°. ∴在Rt△APH中，PH＝AP·sin 60°＝80×eq \f(\r(3),2)＝40 eq \r(3)(米)，AH＝AP·cos 60°＝40米．∴CQ＝BH＝70－40＝30(米)． ∴在Rt△PCQ中，PQ＝CQ·tan 30°＝10 eq \r(3)米．∴BC＝HQ＝PH－PQ＝40 eq \r(3)－10 eq \r(3)＝30 eq \r(3)(米)．∴大楼的高度BC为30 eq \r(3)米． 16．解：(1)过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， 则∠CDB＝90°，由题意可知，AC＝600米，∠CAD＝90°－60°＝30°， ∴CD＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×600＝300(米)． ∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°， ∴易得BD＝CD＝300米． ∴BC＝eq \r(2)BD＝300 eq \r(2)≈300×1.414＝424.2≈424(米)． 答：快递站C与超市B的距离约为424米． (2)小南上美术网课会迟到．理由如下：在Rt△ACD中，tan ∠CAD＝eq \f(CD,AD)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，∴AD＝eq \r(3)CD＝300 eq \r(3)米，∴AB＝AD－BD＝300 eq \r(3)－300≈219.6(米)．∴BC＋AB≈424.2＋219.6≈644(米)． ∵644÷80＝8.05(分)＞7分， ∴小南上美术网课会迟到． 17．(1)证明：∵∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝∠EDC＋∠DEC＝90°.∴∠AEB＝∠EDC.∴△ABE∽△ECD. ∴eq \f(AB,EC)＝eq \f(BE,CD).∴AB·CD＝BE·CE. (2)解：①∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE. 由(1)知△ABE∽△ECD， ∴eq \f(DE,AE)＝eq \f(EC,AB)＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(1,2). ∴tan ∠DAE＝eq \f(DE,AE)＝eq \f(1,2). ②∵∠BAE＝∠F，∴tan ∠BAE＝tan F，∴eq \f(BE,AB)＝eq \f(AB,BF)＝eq \f(1,2). 设BE＝x，则AB＝2x，BF＝4x， ∴EF＝BF－BE＝4x－x＝3x. 由(1)知△ABE∽△ECD， ∴∠BAE＝∠CED，eq \f(DE,AE)＝eq \f(EC,AB). ∴∠CED＝∠F.∴DE＝DF. 又∵DC⊥EF，∴EC＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(3,2)x. ∴eq \f(DE,AE)＝eq \f(EC,AB)＝eq \f(\f(3,2)x,2x)＝eq \f(3,4). 在Rt△ADE中，设DE＝3a， 则AE＝4a，∴AD＝eq \r(DE2＋AE2)＝eq \r(（3a）2＋（4a）2)＝5a. ∴sin ∠EAF＝sin ∠DAE＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(3a,5a)＝eq \f(3,5).