数学相似图形单元测试同步达标检测题

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参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（ ）
A．正六边形B．矩形和正六边形
C．三角形和矩形D．三角形和正六边形
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；
正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
故选：D．
2．（3分）（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．3，6，4，7B．5，6，7，8C．2，4，6，8D．4，2，10，5
【答案】D
【分析】本题考查了成比例线段．
根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可．
【详解】解：A．前两条的比36=12，后两条的比47，不相等，故不符合题意；
B．前两条的比56，后两条的比78，不相等，故不符合题意；
C．前两条的比24=12，后两条的比68=34，不相等，故不符合题意；
D．前两条的比42=2，后两条的比105=2，相等，故符合题意；
故选：D．
3．（3分）（2025·江苏扬州·三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点AP>PB，如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为（ ）cm
A．3.82B．4.82C．6.18D．6.28
【答案】A
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得PA≈0.618AB，结合PB≈0.618PA求解，即可解题．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点AP>PB，
∴PA≈0.618AB，
∴PB≈0.382AB=3.82cm，
故选：A．
4．（3分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则ABAC的值为（ ）
A．12B．23C．35D．2
【答案】B
【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导AB与AC之比等于所对应的海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得A与B、A与C的海拔差，求比值即可．
【详解】解：经过线段AC且垂直海平面的平面截面图如下，
其中AF、BG、CH垂直海平面，BD垂直AF于点D，BE垂直CH于点E，
则点A的海拔为AF=500m，点B的海拔为BG=300m，点C的海拔为CH=200m，
∴DF=BG=300m，EF=CH=200m，BD∥CE，
图可知A与B的海拔差为AD=AF−DF=AF−BG=500−300=200m，
A与C的海拔差为AE=AF−EF=AF−CH=500−200=300m，
∵BD∥CE，
则ABAC=ADAE=200300=23．
故选：B．
5．（3分）如图，点A0,3，B1,0，将线段AB平移得到线段DC．若∠ABC=90°，BC=2AB，则点C的坐标为（ ）
A．7,2B．7,5C．5,6D．6,5
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点C作CH⊥x轴于点H，先证明△AOB∽△BHC，根据相似三角形的性质可得BHAO=CHOB=BCAB，求出点C的坐标，构造相似三角形是解题的关键．
【详解】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示：
则∠BHC=90°，
∵点A0,3，B1,0，
∴OA=3，BO=1，
∵∠AOB=90°，∠ABC=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠HBC=90°，
∴∠OAB=∠HBC，
∵∠AOB=∠BHC，
∴△AOB∽△BHC，
∴BHAO=CHOB=BCAB，
∵BC=2AB，
∴BH=2OA=6，CH=2OB=2，
∴点C坐标为7,2，
故选：A．
6．（3分）（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图是一块含30°角的三角板，若内外两三角形斜边长的比为1:3，则它们的面积比为（ ）
A．13B．16C．19D．112
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形对应边成比例；相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方．利用相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方求解即可．
【详解】解：∵两个三角形是含30°角的三角板，
∴这两个三角形相似，
∵它们的斜边之比为1:3，
∴它们的面积之比为1:9，
即它们的面积比为19
故选：C．
7．（3分）（2025·河北·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（ ）
A．∠B+∠4=180°B．CD∥ABC．∠1=∠4D．∠2=∠3
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当∠B+∠4=180°时，可证明CD∥BM，由平行线的性质得到∠CDN=∠AME，∠AEM=∠CND，则可证明△MAE∽△DCN，据此可判断A、B；由平行线的性质可得∠1+∠B=180°，则∠B+∠4=180°，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明△MAE∽△DCN．
【详解】解：A、∵∠B+∠4=180°，
∴CD∥BM，
∴∠CDN=∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠CND，
∴△MAE∽△DCN，故A不符合题意；
B、∵CD∥AB，
∴∠CDN=∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠CND，
∴△MAE∽△DCN，故B不符合题意；
C、∵AE∥BC，
∴∠1+∠B=180°，
∵∠1=∠4，
∴∠B+∠4=180°，
∴CD∥BM，
∴∠CDN=∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠CND，
∴△MAE∽△DCN，故C不符合题意；
D、根据∠2=∠3结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN，故D符合题意；
故选：D．
8．（3分）（2025·四川遂宁·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（ ）
A．213B．215C．6D．12013
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键；
先根据勾股定理求出AC，设BG,AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，利用角平分线的性质可得CM=MN，利用等积法求出CM，进而可得BM，证明△ABQ∽△MBC，再根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=5，
∴AC=132−52=12,
由题意可得：BG平分∠ABC，即∠CBG=∠ABG，
设BG,AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，
则CM=MN，
设CM=MN=x，
∵S△ABC=S△MBC+S△ABM，
∴12BC⋅AC=12BC⋅CM+12AB⋅MN，
即5×12=5x+13x，
解得：x=103，即CM=103，
则BM=52+1032=5313，
由作图痕迹可知：AQ⊥BH，
∴∠AQB=∠C=90°，
∵∠CBG=∠ABG，
∴△ABQ∽△MBC，
∴AQCM=ABBM，即AQ103=135313，
解得：AQ=213；
故选：A.
9．（3分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）两个直角三角形的三边长分别为5,12,m和10,24,n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（ ）
A．26+2119B．13+2119
C．13+119或26+2119D．13+2119或26+119
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质与勾股定理，分情况讨论直角三角形的斜边结合不相似是解决本题的关键 ．
分情况讨论直角三角形中直角边和斜边，再结合勾股定理求解m和n，由“不相似”这一条件再进行取舍即可 ．
【详解】解：第一个直角三角形的三边长为5,12,m，
当5和12为直角边，m为斜边时，
由勾股定理可得m=52+122=13，
当5和m为直角边，12为斜边时，
由勾股定理可得m=122−52=119；
第二个直角三角形的三边长为10,24,n，
当10和24为直角边，n为斜边时，
由勾股定理可得n=102+242=26，
当10和n为直角边，24为斜边时，
由勾股定理可得n=242−102=2119；
当两个直角三角形的三边长分别为5,12,13和10,24,26时，
由510=1224=1326可知，两个直角三角形相似，舍；
当两个直角三角形的三边长分别为5,119,12和10,2119,24时，
由510=1192119=1224可知，两个直角三角形相似，舍；
经检验，当两个直角三角形的三边长分别为5,12,13和10,2119,24时，
以及两个直角三角形的三边长分别为5,119,12和10,24,26时，
则m+n=13+2119或m+n=26+119．
故选：D ．
10．（3分）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④BP2+DQ2=PQ2．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠BAP+∠QAD =45°，
∵BM是正方形的外角的平分线，
∴∠MBC=135°，
∴∠BAP+∠APB=45°，
∴∠QAD＝∠APB，
∴②正确；
∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，
∴∠ABP=∠QDA=135°，
∵∠QAD＝∠APB，
∴△ABP∽△QDA，
∴BP：DA=BA：DQ，
∴BP•DQ＝BA2=22=4，
∴①错误；
∵△ABP∽△QDA，
∴BP：DA=BA：DQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴BP：BC=DC：DQ，
∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，
∴∠PBC=∠QDC=45°，
∴△BPC∽△DCQ，
∴∠BCP=∠DQC，
∴∠PCQ=360°-∠BCD-∠BCP-∠DCQ=270°-（∠DQC+∠DCQ）=270°-（180°-∠CDQ）=135°.
∴③正确；
如图，将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接PF．则△ABF≌△ADQ．
∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD．
∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠PAQ=45°．
∴∠PAF=∠PAQ．
又∵AP=AP，
∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ．
∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BPF中，BP2+BF2=PF2，
∴BP2+DQ2=PQ2．
∴④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质．熟练掌握上述性质，灵活运用旋转构图求解是解题的关键.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知a，b，c均不为0，且a+b+c≠0，若b+ca=c+ab=a+bc=mn，则mn的值为 ；
【答案】2
【分析】此题考查了比例的性质．设b+ca=c+ab=a+bc=mn=k，得到b+c=ak，c+a=bk，a+b=ck，得到k(a+b+c)=2(a+b+c)，根据a+b+c≠0得到k=2，即可得到答案．
【详解】解：设b+ca=c+ab=a+bc=mn=k
∴b+c=ak，c+a=bk，a+b=ck
三式相加得，k(a+b+c)=2(a+b+c)
∵a+b+c≠0
∴k=2.
∴mn=k=2，
故答案为：2
12．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，AD∥BE∥FC，AB：BC=2：3，DF=15，则EF的长度是 ．

【答案】9
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得DEEF=ABBC=23，则EF=32+3DF=9．
【详解】解：∵AD∥BE∥FC，
∴DEEF=ABBC=23，
∴EF=32+3DF=9，
故答案为：9．
13．（3分）（2025·北京石景山·一模）如图，将△ABC沿BC边向右平移2个单位长度得到△DEF．若BC=4，阴影部分的面积为6，则△ABC的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，设AC与DE交于点G，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算△ABC的面积即可．掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，设AC与DE交于点G．
∵将△ABC沿BC边向右平移2个单位长度得到△DEF，
∴BE=2，AB∥DE，
∴CE=BC−BE=4−2=2，△GEC∽△ABC，
∴ CECB=24=12，
∵ S△GECS△ABC=CECB2，即6S△ABC=14，
∴S△ABC=24．
故答案为：24．
14．（3分）（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱中的高（点A到点B的距离）为0.3米，踏板长（点D到点E的距离）为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.5米，原来捣头点E着地，现在踏脚点D着地，则捣头点E上升了 米．（E点下面部分的弯头长度忽略不计）
【答案】0.96
【分析】设点E的着地点为F，根据题意，得AB∥EF，则△BAD∽△FED，列出比例式计算解答即可．
本题考查了三角形相似的生活应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设点E的着地点为F，根据题意，得AB∥EF，
∴△BAD∽△FED，
∴BAEF=ADDE，
∵BA=0.3,AD=0.5,DE=1.6，
∴0.3EF=0.51.6，
解得EF=0.96，
故答案为：0.96．
15．（3分）（2025·河北邯郸·三模）如图，在4×4的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点F,G,H,I分别与点D，E连接，得到△FED,△GED,△HED和△IED，这四个三角形中与△ABC相似的是 ．
【答案】△GED
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论．
【详解】解：△ABC的三边长分别为：AB=12+12=2，BC=1，AC=12+22=5；
△DEF的三边长分别为：DE=2，EF=22+12=5，DF=42+12=17，
∵BCED≠ABFE≠ACFD，
∴△ABC与△DEF不相似；
△DEG的三边长分别为：DE=2，EG=22+22=22，DG=42+22=25；
∴BCDE=ABEG=ACDG=12，
∴△ABC∽△DEG；
△DEH的三边长分别为：DE=2，EH=22+32=13，DH=32+42=5，
∴BCDE≠ABEH≠ACDH，
∴△ABC与△DEH不相似；
△DEI的三边长分别为：DE=2，EI=22+42=25，DI=42+42=42,
∴BCDE≠ABEI≠ACDI，
∴△ABC与△DEI不相似；
故答案为：△GED．
16．（3分）如图，点D是等边△ABC边BC上一点，将等边△ABC折叠，使点A与点D重合，折痕为EF（点E在边AB上）．
（1）当点D为BC的中点时，AE:EB= ；
（2）当点D为BC的三等分点时，AE:EB= ．
【答案】 1:1 7:5或7:8
【分析】（1）连接AD，根据三线合一和折叠得到∠DAB=30°,∠ADB=90°，进而得到∠EDB=∠B=60°，再证明△BED为等边三角形即可得到AE=ED=BE即可求出结果；
（2）分两种情况，DC:BD=1:2和DC:BD=2:1，用k表示DC和BD，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出BE，然后用k表示AE即可得到结果．
【详解】解：（1）如图，连接AD，
∵D为BC的中点，△ABC为等边三角形，△AEF折得到△DEF，
∴AD⊥BC,∠DAB=∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°,∠B=60°，
∴∠EDB=90°−30°=60°=∠B，
∴△BED为等边三角形，
∴AE=ED=BE，即AE:EB=1:1，
故答案为：1:1；
（2）当DC:BD=1:2时，
设CD=k,BD=2k，
∴AB=AC=3k，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠EDF=∠A=60°，
∴∠EDB+∠FDC=∠BED+∠EDB=120°，
∴∠BED=∠FDC
∵∠B=∠C=60°，
∴△BED∽△CDF，
∴BEDC=C△BEDC△CDF ，
∴BEk=5k4k，
∴BE=54k,AE=3k−54k=74k，
∴AE:BE=7:5;
当DC:BD=2:1时，
设CD=2k,BD=k，
同上一种情况得： BEDC=C△BEDC△CDF，
∴BE2k=4k5k，
∴BE=85k,AE=3k−85k=75k，
∴AE:BE=7:8，
故答案为：7:5或7:8．
【点睛】本题考查了三角形与折叠问题，等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题关键．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a3=b5=c4≠0，求：
(1)4a+2b5c−6a的值；
(2)若△ABC的周长为24，求各边的长．
【答案】(1)11
(2)a=6,b=10,c=8
【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键．
（1）直接设a=3x，b=5x，c=4x，进而代入求出答案；
（2）直接设a=3x，b=5x，c=4x，利用周长建立方程求解，进而代入求出答案．
【详解】（1）解：∵a3=b5=c4≠0，
设a=3x，b=5x，c=4x，
∴4a+2b5c−6a=12x+10x20x−18x=11；
（2）解：设a=3x，b=5x，c=4x，
∵△ABC的周长为24，
可得3x+5x+4x=24，
解得x=2，
∴ a=6,b=10,c=8．
18．（6分）（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．

(1)如果AB=4,BC=8,DE=6，求EF的长；
(2)如果DE:EF=2:3,AC=15，求AB的长．
【答案】(1)12
(2)6
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键．
（1）由l1∥l2∥l3可得ABBC=DEEF，再代入数据即可得到结论；
（2）由l1∥l2∥l3，可得ABBC=DEEF，可得ABBC=23，结合AC=AB+BC=15，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=4，BC=8，DE=6，
∴48=6EF，
∴EF=12；
（2）解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵DE:EF=2:3，
∴ABBC=23，
∴AC=AB+BC=15，
∴AB=25×15=6．
19．（8分）（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
(1)求证：△ABO∽△BEO；
(2)若AB=10,AC=16，求OE的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)OE的长为92
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意可证平行四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD，由垂直的定义可得∠AOB=∠BOE=90°，由同角的余角相等可得∠OBA=∠OEB，由此即可求解；
（2）根据菱形的性质得到AC⊥BD,OA=8，由勾股定理得到OB=6，由（1）中的相似得到AOBO=BOEO，即86=6EO，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠OEB=90°，
∵BE⊥AB，
∴∠OBE+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠OEB，
∴△ABO∽△BEO；
（2）解：∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=12×16=8，
在Rt△AOB中，OB=AB2−OA2=102−82=6，
由（1）可知△ABO∽△BEO，
∴AOBO=BOEO，
∴86=6EO，
解得，EO=92，
∴OE的长为92．
20．（8分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点．
(1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”）
(2)选择一种正确的方法求证：△ACP∽△ABC．
【答案】(1)小星和小红对，小亮错
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果；
（2）见解析（1）．
【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下：
小星的证明：
∵∠ACP=∠B,∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC；
小红的证明：
∵APAC=ACAB,∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC；
小亮的证明：由ACCP=BCAC，∠A=∠A不能证明△ACP∽△ABC，
∴小星和小红对，小亮错；
（2）证明：小星的证明：
∵∠ACP=∠B,∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC；
小红的证明：
∵APAC=ACAB,∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC．
21．（10分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D．
(1)若AB=3AD，BC=4，求DE的长；
(2)连接BD,CE，求证：△ABD∽△ACE．
【答案】(1)43
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据两角相等证明△BAC∽△DAE，再由对应边成比例即可求解；
（2）由△BAC∽△DAE，得到ABAD=ACAE，变形为ABAC=ADAE，再由夹角相等，即可证明相似．
【详解】（1）解：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠B=∠D，
∴△BAC∽△DAE，
∴DEBC=ADAB，
∵AB=3AD，BC=4，
∴DE4=13，
∴DE=43;
（2）证明：如图，
∵△BAC∽△DAE，
∴ABAD=ACAE，
∴ABAC=ADAE，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
22．（10分）（2025·浙江绍兴·三模）如图，△ABC中，BC=12，S△ABC=36，点D是边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，以DE为边作矩形DEFG，其中点F、G落在边BC上．
(1)当AD=BD时，求矩形DEFG的面积；
(2)当DE经过△ABC的重心时，求矩形DEFG的面积．
【答案】(1)18
(2)16
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键；
（1）过点A作AH⊥BC，得出△DBG∽△ABH，证明△ADE∽△ABC，进而可得DG=12AH，DE=12BC，得出S矩形DEFGS△ABC=12，即可求解．
（2）同（1）可得DG=13AH，DE=23BC，进而得出S矩形DEFGS△ABC=49，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点A作AH⊥BC，
∵AD=BD
∴ADAB=12
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG⊥BC
∴AH∥DG
∴△DBG∽△ABH
∴DGAH=BDAB=12
即DG=12AH
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴DEBC=ADAB=12
∴DE=12BC
∴S矩形DEFGS△ABC=DE×DG12BC×AH=12BC×12AH12BC×AH=12
∵S△ABC=36，
∴矩形DEFG的面积为18
（2）解：DE经过△ABC的重心时，
∴ADAB=23，
同（1）可得DG=13AH，DE=23BC
∴S矩形DEFGS△ABC=DE×DG12BC×AH=23BC×13AH12BC×AH=49
∵S△ABC=36，
∴矩形DEFG的面积为16
23．（12分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑．
【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳．
【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的20m的地面垂直放置一根标杆EF，然后沿水平直线AE后退2m至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度CD=1 m，标杆EF=2 m，求雕塑顶部距离地面的高度AB．
【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高MN=1.7 m，此时相机镜头距离地面的高度GH=1m．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高MP=1.6 m，求此时相机镜头距离地面的高度GQ（精确到0.1m）．
【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度AB为12m；
[应用]此时相机镜头距离地面的高度GQ约为0.9m．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．
[测高]如图②，延长BD，AC交于M，由AB⊥AC，EF⊥AC，DC⊥AC，得到AB∥EF∥DC，推出△CDM∽△ABM∽△EFM，根据相似三角形的性质得到结论；
[应用]延长BH，AG交于T，由AB⊥AG，MN⊥AG，HG⊥AG，得到AB∥MN∥HG，推出△HGT∽△NMT∽△BAT，根据相似三角形的性质得到AT=22TG，设TG=xm，则AT=22xm， TM=1.7xm，求得AG=21xm， MG=0.7xm，过Q作QS⊥AB于S交MN于R，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：[测高]如图②，延长BD，AC交于M，
∵AB⊥AC，EF⊥AC，DC⊥AC，
∴AB∥EF∥DC，
∴△CDM∽△ABM∽△EFM，
∴CMAM=CDAB，EMAM=EFAB，
∴CM20+2+CM=1AB，2+CM20+2+CM=2AB，
∴AB=12（负值舍去），
答：雕塑顶部距离地面的高度AB为22m；
[应用]延长BH，AG交于T，
∵AB⊥AG，MN⊥AG，HG⊥AG，
∴AB∥MN∥HG，
∴△HGT∽△NMT∽△BAT，
∴MNAB=MTAT，HGAB=TGAT，
∴1.722=MTAT，122=TGAT，
∴AT=22TG，
∴TM=1.7TG，
设TG=xm，则AT=22xm，TM=1.7xm，
∴AG=21xm，MG=0.7xm，
过Q作QS⊥AB于S交MN于R，
则AS=RM=QG，SQ=AG，RQ=MG，
∵PR∥BS，
∴△QPR∽△QBS，
∴PRBS=RQSQ，
∴1.6−QG22−QG=0.7x21x，
∴QG≈0.9，
答：此时相机镜头距离地面的高度GQ约为0.9m．
24．（12分）（2025·吉林长春·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=6，AB=8，D为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB运动到点B停止；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC−CD运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）．
(1)当点Q与点D重合时，t的值为________；
(2)用含t的代数式表示CQ长；
(3)PQ将△ABC的分成的两部分，其中的三角形与△ABC相似时，求t的值；
(4)当点Q不与△ABC的顶点重合时，过点Q作QM∥AB交△ABC的边于点M，以PM和QM为边作▱PMQN．连结BD，直接写出BD将▱PMQN分成面积相等的两部分时t的值．
【答案】(1)112
(2)CQ=6−2t0≤t≤32t−63