人教A版 (2019)必修 第一册正切函数的性质与图象教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册正切函数的性质与图象教案，共8页。教案主要包含了教学内容分析，教学目标，学情分析，教学过程设计，教学设计说明等内容，欢迎下载使用。
本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后， 又一具体的三角函数．也为解析几何中直线斜率和倾斜角内容做好知识储备，起着承上启下的作用。
在学习必修一和正弦、余弦函数的过程中， 我们积累了一些研究函数问题的方法，如观察函数图象，归纳函数性质等。本节课是利用数形结合的思想方法研究正切函数，用逻辑推理论证正切函数的性质，再利用函数图象加以对比，从性质到图象研究思路，形成研究函数的一般方法。
三角函数与函数概念是特殊与一般的关系，通过联系和类比，形成化归思想，通过逻辑推理使数学思维更合理更严密，并让本节课研究正切函数的方法成为研究一般函数的通法。
重点：掌握正切函数的性质与图象
难点：正切函数的周期性、单调性的探究
二、教学目标
1、理解正切函数周期性、奇偶性、单调性等性质；
2、会利用正切线及正切函数的性质作出正切函数的图象；
3、通过探究正切函数基本性质和图象的研究，渗透数形结合的思想，培养探究问题的能力；
4、培养学生思维的严密性和数学逻辑推理能力。
三、学情分析
学生在前面的学习中，已经掌握了正切和正切线的定义，为本节课的学习提供了知识的保障。学生在必修一中学习了单调性和奇偶性，在学习正弦、余弦函数过程中，又学习了周期性和通过观察具体的图象特征归纳函数性质的方法。在此基础上探究先研究性质在研究函数的图象这个新的角度和方向的合理性是主线，所以本节如何引导学生去用已有的知识和方法来研究正切函数的性质与图象是核心，要明确研究方法和方向，用好智慧课堂手段是关键。
教学方法与策略
主要是探究法，是以回顾复习导入，提出问题，启发学生思考研究的方法，用新
角度，新方向，并引导学习主动交流讨论研究的顺序，寻找最佳方案。在实施过程以教师主导，学生为主体，以智慧课堂为手段，让研究清晰，易理解，深入，合理。
五、教学过程设计
1、回顾引入
1、观看微课复习回顾，给出正切函数的定义 y =tan x ，（x 1 kp , k Î Z ）
2、类比联想：正切函数可否也先研究函数图象再探究性质呢？能否换一个种角度来研究？
3、讨论：研究正切函数，应该先研究哪个性质？其次呢？
设计意图：观看微课，提出类比联想，引导学生思维，提出问题，寻找新角度，从而得出研究新角度——由性质到图象，并讨论确定研究方向，再利用智慧课堂讨论，以达成研究正切函数性质顺序的共识。
2、探究新知
探究 1、正切函数的周期性
利用tan(p +x) =tan x ，得到p 是正切函数的一个周期
设计意图：引导学生回忆，如何判断函数的周期性？回顾周期性概念，正切函数如何判断，让学生写出自己的观点，利用智慧课堂对比，学生总结出结论。
探究 2、正切函数的奇偶性
利用tan(- x) =- tan x 注意：x 1 kp , k Î Z ，正切函数为奇函数
设计意图：通过探究 1 的研究学生有了研究的思想方法，所以利用智慧课堂让学生自己解决探究 2，研究受阻时，可以稍加引导。最后教师总结强调。
探究 3、正切函数的单调性
问：学习正切函数概念时，什么可以刻画正切函数值大小及其变化的？
设计意图：回顾单调性本质，引出正切线可以刻画正切函数值大小及其变化，共同回顾一下正切线，为后面顺利使用做准备。
思考：先研究哪个区间内正切线变化好？
设计意图：回顾微课复习中正弦函数和余弦函数的单调性的研究方法，提出问题，
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利用智慧课堂让学生探究，寻找到 æ ö这个区间，理由就是前面探究 1 的
结果，也是回顾前面知识，并提出可否进一步减小区间长度，回顾探究 2 的结果，通过讨论明确研究方向。
实验作图：学生用课前准备好的稿纸画出这个区间正切线随自变量x 的变化而变化情况，并提炼总结。
探究结果：函数在整个定义域上既不是增函数也不是减函数．
在每一个开区间 kp k Î Z 内，正切函数都是增函数分析提炼：1、正切函数的最小正周期就是
2、正切函数的值域为 R
设计意图：让学生回顾单调性的研究过程，通过自己作图探究正切线的变化情况，
深入思考除单调性还有哪些收获和想法，回应前面研究，起到前后相应效果，让学生对这几性质更进一步理解。
演练 1 ：用“< ，> ”填空
（1）tan1670 tan1730 （2）tan tan
设计意图：巩固和运用探究的结果解决问题，也是对前面性质的一个总结，为后图象研究作准备。
探究 4、正切函数的图象
类比 正弦函数的图象的作法，利用正切线平移区间 - , 的正切线，再利用周期性扩展到整个定义域内和图象。
5
4
3
2
1
3。 -
5
4
-54。 - 4
2 3。 4
3。-2 - 4
。
4
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3。
2
O
-。
。
。 。
- 2
4
2
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
所以，正切曲线是由被相互平行的直线x k , k Z 隔开的无穷多支形状相同曲线组成的。
教师活动：类比正弦函数的图象的作法，作出正切曲线，再引导学生利用图象，归纳函数性质，进行对比验证，明确方法的合理性和一般性。
演练 2：关于正切函数 y=tanx , 下列判断不正确的是( )
A.是奇函数且是周期函数
B.在整个定义域上是增函数
C.在定义域内无最大值和最小值
D.平行于x 轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等
设计意图：进一步明确正切函数的性质，尤其是单调性和周期性，以及它们的特点，整体上对正切函数有个更清晰的认识。
演练 3：求函数y tan的定义域、周期和单调区间。
设计意图：类比正弦函数、余弦函数性质的运用，形成化归，巩固正切函数民性质的运用，形成思想能力。
3、课堂小结：
（1）正切函数的性质与图象。
（2）研究函数从性质到图象和从图象到性质的两种思想，从特殊函数到任意函数的特殊到一般的数学思想，
4、作业
统一作业：校本作业
分层作业：1、直线 y a 与函数f tan 0) 的图象的相邻两个交点
的距离为 2π,若 f(x) 在(m, m)(m 0) 上是增函数，则 m 的取值范围是
2 、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的 x 的集合．
（1） tan x 0 （2）tan x 0
设计意图：分层作业，让不同层次的学生都能有自己的收获，都可以巩固自己课堂上所学，都能有收获感，从而对后面学习充满期待。
六、教学设计说明
利用微课回顾，引出正切函数的性质和图象的思想，类比正弦函数的研究是从图象到性质，引导学生思考。确定思想后， 通过正切函数研究顺序的讨论确定顺序，而这就是对研究函数一个思路的梳理，让学生理解探究的思想依据。这是整节课的主线。
在探究正切函数的性质和图象的过程中，从周期性到奇偶性再到单调性，思路清晰自然，要让学生注意周期性的特点和重要性，及p 只是正切函数的一个周期，通过周期性的研究，学生就清楚探究函数一个性质的手法和过程，从而奇偶性完全可以让学生自己探究。在单调性中区间的选择是既是探究也是前面性质的总结，也是后面图象前期准备，所以教师应该高度重视。
教师在总结中提炼数学思想方法和素养很重要，让学生识认到从“性质 ”到“图象 ”，再从“图象”到“性质”两种研究的特点，形成化归，掌握一般方法和理论是深层目的。